Bài giảng Toán cao cấp - Bài 3: Vô cùng bé - Hàm liên tục

Hàm liên tục  Định lý. Tất cả những hàm sau liên tục trên miền xác định  Hàm đa thức  Hàm phân thức hữu tỷ  Hàm căn thức  Hàm mũ  Hàm logarithm  Hàm lượng giác  Hàm lượng giác ngược

pdf4 trang | Chia sẻ: thanhle95 | Ngày: 15/07/2021 | Lượt xem: 58 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Toán cao cấp - Bài 3: Vô cùng bé - Hàm liên tục, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
1 VÔ CÙNG BÉ-HÀM LIÊN TỤC Lecture 3 Nguyen Van Thuy Nội dung  Review  Vô cùng bé  Ứng dụng tìm giới hạn  Hàm liên tục 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-2 Review-Giới hạn bên trái 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-3 L f(x) a x x y O lim ( ) x a f x L   a x lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x f x L      Review-Giới hạn bên phải 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-4 x a lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x f x L      L f(x) x a x y O lim ( ) x a f x L   Review  Định lý (kẹp). Nếu khi x gần a và thì  Định lý Toan C1-Nguyen Van Thuy ( ) ( ) ( )f x g x h x  lim ( ) lim ( ) x a x a f x h x L     lim ( ) x a g x L    10/31/2010 2-5 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x L f x L f x         Review  7 dạng vô định  Các giới hạn cơ bản Toan C1-Nguyen Van Thuy 0 0.0 0 , , , ,1 , 0 0,     0 1/ 0 0 1 sin 1 lim 1 , lim 1 ( ) lim(1 ) ( 0 )1 u u u u u u e u u u e                      10/31/2010 2-6 2 Vô cùng bé  Định nghĩa. Nếu thì (x) được gọi là vô cùng bé khi xa  Ký hiệu: (x): VCB(xa)  Ví dụ   1-cosx, x2 là các vô cùng bé khi x0 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-7 lim ( ) 0 x a x   2 0 0 lim(1 cos ) 0, lim 0 x x x x      So sánh các vô cùng bé  Định nghĩa. Giả sử (x), (x) là các VCB khi xa và giả sử  Nếu L=0 thì (x) được gọi là VCB cấp cao hơn (x), ký hiệu (x)=O((x))  Nếu L= thì (x) được gọi là VCB cấp thấp hơn (x)  Nếu L0 và hữu hạn thì (x) và (x) được gọi là hai VCB cùng cấp 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-8 ( ) lim ( )x a x L x    Vô cùng bé tương đương  Nếu L=1 nghĩa là thì (x), (x) được gọi là hai VCB tương đương, ký hiệu (x)(x)  Ví dụ. sinx và x là các VCB khi x0 và nên 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-9 ( ) lim 1 ( )x a x x    0 sin lim 1 x x x  sin x x Các VCB tương đương cơ bản  Khi u0 thì 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-10 2 sin 1 cos 2 tan 1u u u u u u u e u   ln(1 ) arcsin arctan 1 1 1n u u u u u u u u n    Tính chất của VCB tương đương  (x)(x) (tính phản xạ)  (x)(x), (x)(x)  (x)(x) (tính bắc cầu)  Nếu (x)=O((x))  (x)+(x)(x)   10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-11 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x              1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) lim lim ( ) ( ) ( ) ( )x a x a x x xx x x x x             Ứng dụng tính giới hạn  Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao. Khi tính giới hạn tỷ số 2 VCB mà tử và mẫu là tổng các VCB khác cấp thì ta chỉ giữ lại các VCB cấp thấp nhất ở tử và mẫu  Ví dụ. Câu 28 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-12 3 2 3 20 arcsin 2arcsin 3arcsin lim 2 ) 0 ) 1 ) 2 ) 3 x x x x L x x x a L b L c L d L           3 Ví dụ  Câu 29  Câu 37 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-13 2 20 (1 cos ) lim sin tan 1 1 ) 0 ) 1 ) ) 2 4 x x L x x x a L b L c L d L        2 3 20 1 cos ln(1 tan 2 ) 2arcsin lim 1 cos sin ) 0 ) 1 ) 2 ) 3 x x x x L x x a L b L c L d L             Hàm liên tục  Định nghĩa. Hàm f được gọi là liên tục tại a nếu  f gián đoạn tại a nếu f không liên tục tại a  f liên tục trên khoảng (a, b) nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó Toan C1-Nguyen Van Thuy lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) x a x a x a f x f a f x f x f a          10/31/2010 2-14 Hàm liên tục  Chú ý. Hàm f liên tục tại a phải thỏa 3 điều kiện  f(a) xác định (nghĩa là aDf)  tồn tại  Toan C1-Nguyen Van Thuy lim ( ) x a f x  lim ( ) ( ) x a f x f a   10/31/2010 2-15 Hàm liên tục  Ví dụ. Đồ thị của hàm f như hình vẽ sau. Tại những điểm nào hàm số không liên tục? Tại sao? Toan C1-Nguyen Van Thuy 10/31/2010 2-16 Hàm liên tục  Định lý. Tất cả những hàm sau liên tục trên miền xác định  Hàm đa thức  Hàm phân thức hữu tỷ  Hàm căn thức  Hàm mũ  Hàm logarithm  Hàm lượng giác  Hàm lượng giác ngược Toan C1-Nguyen Van Thuy 10/31/2010 2-17 Hàm liên tục  Ví dụ  gián đoạn tại t=1 và liên tục tại tất cả các điểm còn lại  g()=tan gián đoạn tại , n và liên tục tại tất cả các điểm còn lại  liên tục trên , vì Toan C1-Nguyen Van Thuy ( ) 1 t f t t   1 ( ) 2 n   sin , 0 ( ) 1, 0 x x f x x x       0 sin lim 1 (0) x x f x   10/31/2010 2-18 4 Hàm liên tục  Ví dụ. Với giá trị nào của c thì hàm số sau liên tục trên ?  Ví dụ. Tìm a, b để hàm số sau liên tục trên  Toan C1-Nguyen Van Thuy 2 3 2 , 2 ( ) , 2 cx x x f x x cx x        2 2 4 , 2 2 ( ) 3,2 3 2 , 3 x x x f x ax bx x x a b x                10/31/2010 2-19
Tài liệu liên quan