Bài giảng Toán cao cấp - Bài 4: Đạo hàm, vi phân

1 ĐẠO HÀM, VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Lecture 4 Nguyen Van Thuy Review  Định lý. Nếu khi x gần a và thì  Định lý. ( ) ( ) ( )f x g x h x  lim ( ) lim ( ) x a x a f x h x L     lim ( ) x a g x L   lim ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x L f x L f x         10/31/2010 4-2 Toan C1-Nguyen Van Thuy Review  Định nghĩa. Hàm f được gọi là liên tục tại a nếu  f gián đoạn tại a nếu f không liên tục tại a  f liên tục trên khoảng (a, b) nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó  Ví dụ. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x=1 lim ( ) ( ) x a f x f a   2 2 2 1 arctan , 1 ( 1) ( ) 3 , 1 1 x x f x x x a x x           10/31/2010 4-3 Toan C1-Nguyen Van Thuy Review  Định lý. Tất cả những hàm sau liên tục trên miền xác định  Hàm đa thức  Hàm phân thức hữu tỷ  Hàm căn thức  Hàm mũ  Hàm logarithm  Hàm lượng giác  Hàm lượng giác ngược 10/31/2010 4-4 Toan C1-Nguyen Van Thuy Review  7 dạng vô định  Các giới hạn cơ bản  Ví dụ. Tính 0 0.0 0 , , , ,1 , 0 0,     1/ 0 0 sin 1 lim 1, lim 1 , lim(1 ) u u u u u u e u e u u             0 tan 2 ) lim x x a x 1 ) lim 1 2 x x b x       10/31/2010 4-5 Toan C1-Nguyen Van Thuy Hệ số góc của tiếp tuyến  Mối liên hệ giữa hệ số a với góc tạo bởi trục hoành và đường thẳng (d): y = ax+b?  Hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm A(xA,yA) và B(xB,yB)?  Hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C): y=f(x) tại điểm P(a,f(a))? 0 ( ) ( ) limtt h f a h f a k h    10/31/2010 4-6 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2 Hệ số góc của tiếp tuyến 10/31/2010 4-7 Toan C1-Nguyen Van Thuy Vận tốc tức thời  Một chất điểm chuyển động cách gốc O tại thời điểm t là s = f(t)  Vận tốc trung bình từ thời điểm t=a đến thời điểm t=a+h  Vận tốc tức thời tại thời điểm t=a ( ) ( )f a h f a v h    0 ( ) ( ) ( ) lim h f a h f a v a h    10/31/2010 4-8 Toan C1-Nguyen Van Thuy Vận tốc tức thời 10/31/2010 4-9 Toan C1-Nguyen Van Thuy Đạo hàm  Định nghĩa. Đạo hàm của hàm số f tại a, ký hiệu f’(a), được xác định bởi nếu giới hạn đó tồn tại  Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y=f(x) tại điểm P(a,f(a)) y = f’(a)(x-a) + f(a) 0 ( ) ( ) '( ) lim h f a h f a f a h    10/31/2010 4-10 Toan C1-Nguyen Van Thuy Đạo hàm  Ví dụ. Tính đạo hàm bằng định nghĩa 1) f(x) = x2 + x, tính f’(3). 2) . Tính f’(2). ( )f x x 2 0 0 2 0 0 (3 ) (3) (3 ) (3 ) 12 '(3) lim lim 7 lim lim( 7) 7 h h h h f h f h h f h h h h h h                  10/31/2010 4-11 Toan C1-Nguyen Van Thuy Đạo hàm  Ký hiệu đạo hàm của hàm số y = f(x)  Chú ý. f’(a) nghĩa là giá trị tại x=a của hàm f’  Ví dụ. f(x) = sinx, phát biểu “f’(0) = 0 bởi vì f(0)=0 là hằng số, và đạo hàm của hằng số là zero” đúng hay sai? '( ) ' ( ) ( ) ( )x dy df d f x y f x Df x D f x dx dx dx       10/31/2010 4-12 Toan C1-Nguyen Van Thuy 3 Đạo hàm  Các công thức đạo hàm cơ bản 1 2 2 2 2 2 2 ' ( ) ' ', ( ) ' ', (ln ) ' (sin ) ' 'cos , (cos ) ' 'sin (tan ) ' '(1 tan ), (cot ) ' '(1 cot ) ' ' (arcsin ) ' , (arccos ) ' 1 1 ' ' (arctan ) ' , (arccot ) ' 1 1 u u uu u u e e u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u                        10/31/2010 4-13 Toan C1-Nguyen Van Thuy Đạo hàm  Các tính chất của đạo hàm  Ví dụ   ' 2 ( ) ' ' ', ( . ) ' . ' ' ' ( ) ' ' ', u v u v c u c u u u v uv uv u v uv v v             1 cos 1 cos 1 cos( ) .(1 cos ) ' .sinx x x d e e x e x dx       ln ln cos ? d x dx 10/31/2010 4-14 Toan C1-Nguyen Van Thuy Khi nào đạo hàm tồn tại?   Giới hạn này có thể không tồn tại  Nếu f’(a) tồn tại hữu hạn, f được gọi là khả vi tại a  Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a. 0 ( ) ( ) '( ) lim h f a h f a f a h    10/31/2010 4-15 Toan C1-Nguyen Van Thuy Đạo hàm  Ví dụ  f(x)=|x| có và không có đạo hàm tại x=0. 1, 0 '( ) 1, 0 x f x x      10/31/2010 4-16 Toan C1-Nguyen Van Thuy Đạo hàm cấp cao   Công thức ( ) ( 1)'' ( ') ', ''' ( '') ',..., ( ) 'n ny y y y y y    ( ) 1 1 ( 1) ! ( ) n n n n x a x a         ( )(sin ) sin 2 nx x n        ( )(cos ) cos 2 nx x n        ( )( )ax n n axe a e ( )(sin ) sin 2 n nax a ax n        ( )(cos ) cos 2 n nax a ax n        10/31/2010 4-17 Toan C1-Nguyen Van Thuy Đạo hàm cấp cao  Công thức Leibniz  Tổng quát  Ví dụ. a) Tính b) Tính ( ) ' ' ' ( ) '' '' 2 ' ' '' ( ) ''' ''' 3 '' ' 3 ' '' ''' fg f g fg fg f g f g fg fg f g f g f g fg          ( ) ( ) ( ) (0) 0 ! ( ) , , !( )! n n k k n k k n n k n fg C f g f f C k n k        2 (100)( )xx e ( ) 2 2 1 5 6 n x x x        10/31/2010 4-18 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4 Vi phân  Vi phân của hàm số y=f(x) tại x: dy=f’(x)dx  Vi phân cấp n ( ) ( ) ( ).( ) ( ). n n n n n d y y x dx y x dx   10/31/2010 4-19 Toan C1-Nguyen Van Thuy Quy tắc L’Hospital  Định lý. Nếu có dạng khi xa và tồn tại thì  Chú ý. Quá trình xa có thể thay bởi xa+, xa-, x, x-  Ví dụ ( ) ( ) f x g x 0 , 0   '( ) lim '( )x a f x g x ( ) '( ) lim lim ( ) '( )x a x a f x f x g x g x   3 20 0 0 0 sin 0 1 cos 0 sin 0 cos 1 lim lim lim lim 0 3 0 6 0 6 6x x x x x x x x x x x x                          10/31/2010 4-20 Toan C1-Nguyen Van Thuy Quy tắc L’Hospital  Ví dụ 30 arctan lim 0 0 ) x x x a L x         2 ln ) lim x x b L x            1 1 ) lim 1 lnx x c L x x         ) l ( )0im . x x d L xe   1/(2 2) 1 ) i )1l m (x x e L x    0 0 ) li 0m ( )x x f L x   01/) lim( ) ( )x x x g L x e    10/31/2010 4-21 Toan C1-Nguyen Van Thuy Đạo hàm của hàm ẩn  Định nghĩa. Hàm số y = y(x) cho bởi phương trình F(x,y) = 0 được gọi là hàm ẩn.  Ví dụ. Cho hàm số y = y(x) xác định bởi phương trình x2 + y2 = 2.  Phương trình trên xác định hai hàm ẩn 2 22 , 2y x y x     10/31/2010 4-22 Toan C1-Nguyen Van Thuy Đạo hàm của hàm ẩn  Để tính đạo hàm của hàm ẩn, chú ý rằng  Chú ý. y là hàm số theo x, còn x là biến số  Ví dụ. Tính y’(x) biết x2 + y2 = 2  Lấy đạo hàm theo x cả hai vế, ta được   ' ( , ) 0 ( , ) 0 x F x y F x y   2 2 ' 0 ' x x yy y y      10/31/2010 4-23 Toan C1-Nguyen Van Thuy Đạo hàm của hàm ẩn  Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong cardioid tại (0, 1/2) 2 2 2 2 2(2 2 )x y x y x    10/31/2010 4-24 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5 Đạo hàm của hàm ẩn  Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong lemniscate tại (3, 1) 2 2 2 2 22( ) 25( )x y x y   10/31/2010 4-25 Toan C1-Nguyen Van Thuy Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số  Định nghĩa. Hàm số y = y(x) cho dưới dạng x = x(t), y = y(t) được gọi là hàm số cho dưới dạng tham số  Ví dụ. Hàm số y = y(x) cho bởi x = sint, y = cost, –/2  t  /2  Đó là hàm số 21 , 1 1y x x     10/31/2010 4-26 Toan C1-Nguyen Van Thuy 1 -1 0 x y Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số  Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số  Ví dụ. Cho hàm số y = y(x) xác định bởi '( ) '( ) '( ) '( ) '( ) dy y t dt dx x y t y x x tt dt   '( ) sin , '( ) cos cos , s '( ) '( ) / '( ) / cot in x t a t y t b t x a t y b t y x y t x t b a t           10/31/2010 4-27 Toan C1-Nguyen Van Thuy Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số  Ví dụ. (câu 89) Tìm y’(x) tại x0 = 2 của hàm số y = y(x) cho bởi phương trình tham số  a) 1/2 b) 1 c) 5/e2 d) đều sai  Giải. x0=2=2e t  t=0 2 2 tx e y t t      10/31/2010 4-28 Toan C1-Nguyen Van Thuy ' 2 0' ( ) ' 1 2 1 '( ) '( 2) (2 ) ' 2 2 t t t t y t t t y x y x x e e         Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số  Ví dụ (câu 86). Tìm đạo hàm y’=y’(x) của hàm số y=y(x) được cho bởi pt tham số 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-29 2ln(1 ) 2 2arctan x t y t t       2 2 2 ) ' 1 t a y t   2 2 2 ) ' 1 t b y t    ) 'c y t ) 'd y t  Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số  Đạo hàm cấp 2 của hàm số cho dưới dạng tham số  Ví dụ (câu 92). Tính y’’(x) tại x0 = /4 của hàm số y = y(x) cho bởi phương trình tham số  a) 0 b) 1 c) 2 d) 1 – 16/2 arctan ln x t y t    ' ' ( '( )) ''( ) t t y x y x x  10/31/2010 4-30 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6 Bài tập  Câu 85  câu 104 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-31