Review
Định lý. Tất cả những hàm sau liên tục trên miền
xác định
Hàm đa thức
Hàm phân thức hữu tỷ
Hàm căn thức
Hàm mũ
Hàm logarithm
Hàm lượng giác
Hàm lượng giác ngược
6 trang |
Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 347 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Toán cao cấp - Bài 4: Đạo hàm, vi phân, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
1
ĐẠO HÀM, VI PHÂN
HÀM MỘT BIẾN
Lecture 4
Nguyen Van Thuy
Review
Định lý. Nếu khi x gần a và
thì
Định lý.
( ) ( ) ( )f x g x h x
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x h x L
lim ( )
x a
g x L
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x L f x L f x
10/31/2010 4-2 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Review
Định nghĩa. Hàm f được gọi là liên tục tại a nếu
f gián đoạn tại a nếu f không liên tục tại a
f liên tục trên khoảng (a, b) nếu f liên tục tại mọi
điểm thuộc khoảng đó
Ví dụ. Tìm a để hàm số sau
liên tục tại x=1
lim ( ) ( )
x a
f x f a
2
2
2
1
arctan , 1
( 1)
( )
3
, 1
1
x
x
f x
x x a
x
x
10/31/2010 4-3 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Review
Định lý. Tất cả những hàm sau liên tục trên miền
xác định
Hàm đa thức
Hàm phân thức hữu tỷ
Hàm căn thức
Hàm mũ
Hàm logarithm
Hàm lượng giác
Hàm lượng giác ngược
10/31/2010 4-4 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Review
7 dạng vô định
Các giới hạn cơ bản
Ví dụ. Tính
0 0.0
0
, , , ,1 ,
0
0,
1/
0 0
sin 1
lim 1, lim 1 , lim(1 )
u
u
u u u
u
e u e
u u
0
tan 2
) lim
x
x
a
x
1
) lim 1
2
x
x
b
x
10/31/2010 4-5 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Hệ số góc của tiếp tuyến
Mối liên hệ giữa hệ số a với góc tạo bởi trục hoành
và đường thẳng (d): y = ax+b?
Hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm A(xA,yA)
và B(xB,yB)?
Hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C):
y=f(x) tại điểm P(a,f(a))?
0
( ) ( )
limtt
h
f a h f a
k
h
10/31/2010 4-6 Toan C1-Nguyen Van Thuy
2
Hệ số góc của tiếp tuyến
10/31/2010 4-7 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Vận tốc tức thời
Một chất điểm chuyển động cách gốc O tại thời
điểm t là s = f(t)
Vận tốc trung bình từ thời điểm t=a đến thời điểm
t=a+h
Vận tốc tức thời tại thời điểm t=a
( ) ( )f a h f a
v
h
0
( ) ( )
( ) lim
h
f a h f a
v a
h
10/31/2010 4-8 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Vận tốc tức thời
10/31/2010 4-9 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Đạo hàm
Định nghĩa. Đạo hàm của hàm số f tại a, ký hiệu
f’(a), được xác định bởi
nếu giới hạn đó tồn tại
Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C):
y=f(x) tại điểm P(a,f(a))
y = f’(a)(x-a) + f(a)
0
( ) ( )
'( ) lim
h
f a h f a
f a
h
10/31/2010 4-10 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Đạo hàm
Ví dụ. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
1) f(x) = x2 + x, tính f’(3).
2) . Tính f’(2). ( )f x x
2
0 0
2
0 0
(3 ) (3) (3 ) (3 ) 12
'(3) lim lim
7
lim lim( 7) 7
h h
h h
f h f h h
f
h h
h h
h
h
10/31/2010 4-11 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Đạo hàm
Ký hiệu đạo hàm của hàm số y = f(x)
Chú ý. f’(a) nghĩa là giá trị tại x=a của hàm f’
Ví dụ. f(x) = sinx, phát biểu “f’(0) = 0 bởi vì f(0)=0
là hằng số, và đạo hàm của hằng số là zero” đúng
hay sai?
'( ) ' ( ) ( ) ( )x
dy df d
f x y f x Df x D f x
dx dx dx
10/31/2010 4-12 Toan C1-Nguyen Van Thuy
3
Đạo hàm
Các công thức đạo hàm cơ bản
1
2 2
2 2
2 2
'
( ) ' ', ( ) ' ', (ln ) '
(sin ) ' 'cos , (cos ) ' 'sin
(tan ) ' '(1 tan ), (cot ) ' '(1 cot )
' '
(arcsin ) ' , (arccos ) '
1 1
' '
(arctan ) ' , (arccot ) '
1 1
u u uu u u e e u u
u
u u u u u u
u u u u u u
u u
u u
u u
u u
u u
u u
10/31/2010 4-13 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Đạo hàm
Các tính chất của đạo hàm
Ví dụ
'
2
( ) ' ' ', ( . ) ' . '
' '
( ) ' ' ',
u v u v c u c u
u u v uv
uv u v uv
v v
1 cos 1 cos 1 cos( ) .(1 cos ) ' .sinx x x
d
e e x e x
dx
ln ln cos ?
d
x
dx
10/31/2010 4-14 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Khi nào đạo hàm tồn tại?
Giới hạn này có thể không tồn tại
Nếu f’(a) tồn tại hữu hạn, f được gọi là khả vi tại a
Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a.
0
( ) ( )
'( ) lim
h
f a h f a
f a
h
10/31/2010 4-15 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Đạo hàm
Ví dụ
f(x)=|x| có và không có đạo hàm
tại x=0.
1, 0
'( )
1, 0
x
f x
x
10/31/2010 4-16 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Đạo hàm cấp cao
Công thức
( ) ( 1)'' ( ') ', ''' ( '') ',..., ( ) 'n ny y y y y y
( )
1
1 ( 1) !
( )
n n
n
n
x a x a
( )(sin ) sin
2
nx x n
( )(cos ) cos
2
nx x n
( )( )ax n n axe a e
( )(sin ) sin
2
n nax a ax n
( )(cos ) cos
2
n nax a ax n
10/31/2010 4-17 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Đạo hàm cấp cao
Công thức Leibniz
Tổng quát
Ví dụ. a) Tính b) Tính
( ) ' ' '
( ) '' '' 2 ' ' ''
( ) ''' ''' 3 '' ' 3 ' '' '''
fg f g fg
fg f g f g fg
fg f g f g f g fg
( ) ( ) ( ) (0)
0
!
( ) , ,
!( )!
n
n k k n k k
n n
k
n
fg C f g f f C
k n k
2 (100)( )xx e
( )
2
2 1
5 6
n
x
x x
10/31/2010 4-18 Toan C1-Nguyen Van Thuy
4
Vi phân
Vi phân của hàm số y=f(x) tại x: dy=f’(x)dx
Vi phân cấp n
( )
( )
( ).( )
( ).
n n n
n n
d y y x dx
y x dx
10/31/2010 4-19 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Quy tắc L’Hospital
Định lý. Nếu có dạng khi xa và tồn tại
thì
Chú ý. Quá trình xa có thể thay bởi xa+, xa-,
x, x-
Ví dụ
( )
( )
f x
g x
0
,
0
'( )
lim
'( )x a
f x
g x
( ) '( )
lim lim
( ) '( )x a x a
f x f x
g x g x
3 20 0 0 0
sin 0 1 cos 0 sin 0 cos 1
lim lim lim lim
0 3 0 6 0 6 6x x x x
x x x x x
x x x
10/31/2010 4-20 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Quy tắc L’Hospital
Ví dụ
30
arctan
lim
0
0
)
x
x x
a L
x
2
ln
) lim
x
x
b L
x
1
1
) lim
1 lnx
x
c L
x x
) l ( )0im .
x
x
d L xe
1/(2 2)
1
) i )1l m (x
x
e L x
0
0
) li 0m ( )x
x
f L x
01/) lim( ) ( )x x
x
g L x e
10/31/2010 4-21 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Đạo hàm của hàm ẩn
Định nghĩa. Hàm số y = y(x) cho bởi
phương trình F(x,y) = 0 được gọi là hàm ẩn.
Ví dụ. Cho hàm số y = y(x) xác định bởi
phương trình x2 + y2 = 2.
Phương trình trên xác định hai hàm ẩn
2 22 , 2y x y x
10/31/2010 4-22 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Đạo hàm của hàm ẩn
Để tính đạo hàm của hàm ẩn, chú ý rằng
Chú ý. y là hàm số theo x, còn x là biến số
Ví dụ. Tính y’(x) biết x2 + y2 = 2
Lấy đạo hàm theo x cả hai vế, ta được
'
( , ) 0 ( , ) 0
x
F x y F x y
2 2 ' 0 '
x
x yy y
y
10/31/2010 4-23 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Đạo hàm của hàm ẩn
Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của
đường cong cardioid
tại (0, 1/2)
2 2 2 2 2(2 2 )x y x y x
10/31/2010 4-24 Toan C1-Nguyen Van Thuy
5
Đạo hàm của hàm ẩn
Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của
đường cong lemniscate
tại (3, 1)
2 2 2 2 22( ) 25( )x y x y
10/31/2010 4-25 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số
Định nghĩa. Hàm số y = y(x) cho dưới dạng
x = x(t), y = y(t) được gọi là hàm số cho
dưới dạng tham số
Ví dụ. Hàm số y = y(x) cho bởi x = sint, y =
cost, –/2 t /2
Đó là hàm số
21 , 1 1y x x
10/31/2010 4-26 Toan C1-Nguyen Van Thuy
1 -1 0
x
y
Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số
Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham
số
Ví dụ. Cho hàm số y = y(x) xác định bởi
'( )
'( )
'( )
'( )
'( )
dy y t dt
dx x
y t
y x
x tt dt
'( ) sin , '( ) cos
cos , s
'( ) '( ) / '( ) / cot
in
x t a t y t b t
x a t y b t
y x y t x t b a t
10/31/2010 4-27 Toan C1-Nguyen Van Thuy
Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số
Ví dụ. (câu 89) Tìm y’(x) tại x0 = 2 của hàm
số y = y(x) cho bởi phương trình tham số
a) 1/2 b) 1 c) 5/e2 d) đều sai
Giải. x0=2=2e
t t=0
2
2 tx e
y t t
10/31/2010 4-28 Toan C1-Nguyen Van Thuy
' 2
0'
( ) ' 1 2 1
'( ) '( 2)
(2 ) ' 2 2
t
t t
t
y t t t
y x y x
x e e
Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số
Ví dụ (câu 86). Tìm đạo hàm y’=y’(x) của
hàm số y=y(x) được cho bởi pt tham số
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-29
2ln(1 )
2 2arctan
x t
y t t
2
2
2
) '
1
t
a y
t
2
2
2
) '
1
t
b y
t
) 'c y t ) 'd y t
Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số
Đạo hàm cấp 2 của hàm số cho dưới dạng
tham số
Ví dụ (câu 92). Tính y’’(x) tại x0 = /4 của
hàm số y = y(x) cho bởi phương trình tham
số
a) 0 b) 1 c) 2 d) 1 – 16/2
arctan
ln
x t
y t
'
'
( '( ))
''( ) t
t
y x
y x
x
10/31/2010 4-30 Toan C1-Nguyen Van Thuy
6
Bài tập
Câu 85 câu 104
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-31