Bài giảng Toán cao cấp - Bài 5: Đạo hàm, vi phân

1 ĐẠO HÀM, VI PHÂN Ứng dụng của đạo hàm Lecture 5 Nguyen Van Thuy Review-Đạo hàm  Định nghĩa. Đaọ hàm của hàm số 𝑓 taị 𝑎  Phương trình tiếp tuyến taị điểm 𝑀(𝑎, 𝑓(𝑎)) 𝑦 = 𝑓’(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) 0 ( ) ( ) '( ) lim h f a h f a f a h    11/21/2010 4-2 Toan C1-Nguyen Van Thuy Review-Vi phân của hàm số  Tại x=a 𝑑𝑦 𝑎 = 𝑦′ 𝑎 𝑑𝑥  Tại x 𝑑𝑦 = 𝑦′ 𝑥 𝑑𝑥 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-3 Review-Quy tắc L’Hospital  Định lý. Nếu 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) có dạng 0 0 , ∞ ∞ khi 𝑥𝑎 và tồn tại lim 𝑥→𝑎 𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥) = 𝐴 thì lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥) = 𝐴  Chú ý: 𝐴 có thể hữu hạn hoặc vô hạn 11/21/2010 4-4 Toan C1-Nguyen Van Thuy Ứng dụng khảo sát hàm số  Tìm tiệm cận  Tìm khoảng tăng, giảm  Tìm cưc̣ trị  Tính lồi lõm, điểm uốn  Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-5 Ứng dụng khảo sát hàm số  Câu 206. Cho hàm số 𝑦 = ln 𝑥+1 +𝑥2 𝑥−𝑥2 . Đồ thị hàm số này a) Có tiệm cận đứng 𝑥 = 0 b) Có tiệm cận xiên 𝑦 = 𝑥 c) Có tiệm cận ngang 𝑦 = −1 d) Không có tiệm cận 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-6 2 Ứng dụng khảo sát hàm số  Câu 178. Cho hàm số 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥. Khẳng định nào sau đây đúng a) 𝑦 tăng trên ℝ b) 𝑦 giảm trên ℝ c) 𝑦 tăng trên (1, +∞), giảm trên 0,1 d) 𝑦 tăng trên (0, +∞) 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-7 Ứng dụng khảo sát hàm số  Câu 183. Cho hàm số 𝑦 = 2ln (1 + 4𝑥2) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛2𝑥. Khẳng định nào sau đây đúng a) y đạt cực đại tại 𝑥 = 1 8 b) y đạt cực tiểu tại 𝑥 = 1 8 c) y đạt cực đại tại 𝑥 = 1 16 d) y đạt cực tiểu tại 𝑥 = 1 16 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-8 Đa thức Maclaurin  Bài toán. Tìm đa thưć 𝑃(𝑥) bậc ≤ 𝑛 sao cho 𝑓’(0) = 𝑃’(0) 𝑓’’(0) = 𝑃’’(0) 𝑓 𝑛 (0) = 𝑃 𝑛 (0)  Đa thức Maclaurin cấp n của hàm 𝑓 𝑃 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑓′(0) 1! 𝑥 + 𝑓′′(0) 2! 𝑥2 +⋯+ 𝑓 𝑛 (0) 𝑛! 𝑥𝑛 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-9 Đa thức Maclaurin  Ví dụ. Tìm đa thức Maclaurin của hàm 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 đến 𝑥, 𝑥2, 𝑥3  Kết quả  𝑔 𝑥 = 1 + 𝑥  𝑕 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 2!  𝑝 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 2! − 𝑥3 3! 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-10 Đa thức Maclaurin 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-11 Đa thức Maclaurin 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-12 Xung quanh tiếp điểm 3 Khai triển Maclaurin  Khai triển Maclaurin của hàm 𝑓(𝑥) 𝑃 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑓′(0) 1! 𝑥 + 𝑓′′(0) 2! 𝑥2 +⋯+ 𝑓 𝑛 0 𝑛! 𝑥𝑛 + 𝑂(𝑥𝑛)  𝑂 𝑥𝑛 : vô cùng bé cấp cao hơn 𝑥𝑛  Với 𝑥 rất gần 0 thì 𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 0 + 𝑓′(0) 1! 𝑥 + 𝑓′′(0) 2! 𝑥2 +⋯+ 𝑓 𝑛 0 𝑛! 𝑥𝑛 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-13 Các khai triển Maclaurin cơ bản  𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 1! + 𝑥2 2! + 𝑂(𝑥2)  𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥 − 𝑥3 3! + 𝑂 𝑥4  𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 − 𝑥2 2! + 𝑥4 4! + 𝑂 𝑥5  𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑥 + 𝑥3 3 + 𝑂 𝑥4  𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑥 − 𝑥3 3 + 𝑂(𝑥4)  ln 1 + 𝑥 = 𝑥 − 𝑥2 2 + 𝑥3 3 − 𝑥4 4 + 𝑂(𝑥4)  1 1+𝑥 = 1 − 𝑥 + 𝑥2 + 𝑂(𝑥2)  1 1−𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑂(𝑥2) 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-14 Khai triển Maclaurin  Câu 238. Viết khai triển Maclaurin của hàm 𝑦 = 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 đến số hạng 𝑥3 a) 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 2 + 𝑂 𝑥3 b) 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 2 + 𝑥3 6 + 𝑂 𝑥3 c) 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 2 − 𝑥3 6 + 𝑂 𝑥3 d) 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 2 + 𝑥3 3 + 𝑂 𝑥3 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-15 Khai triển Maclaurin 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-16 Maple taylor(exp(sin(x)),x=0,3) GeoGebra KhaitrienTaylor(exp(sin(x)),0,3) Khai triển Maclaurin  Câu 249. Khi 𝑥 → 0, VCB 𝑒𝑥 − 1 − 𝑥 − 𝑥2 2 tương đương với 𝑎) − 𝑥3 3 𝑏) 𝑥3 3 𝑐) − 𝑥3 6 𝑑) 𝑥3 6 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-17 Đa thức Taylor  Bài toán. Tìm đa thưć 𝑃(𝑥) bậc ≤ 𝑛 sao cho 𝑓’(𝑎) = 𝑃’(𝑎) 𝑓’’(𝑎) = 𝑃’’(𝑎) 𝑓 𝑛 (𝑎) = 𝑃 𝑛 (𝑎)  Đa thức Taylor cấp n của 𝑓(𝑥) tại 𝑥 = 𝑎 𝑃 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓′ 𝑎 1! (𝑥 − 𝑎) + ⋯+ 𝑓 𝑛 (𝑎) 𝑛! (𝑥 − 𝑎)𝑛 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-18 4 Khai triển Taylor  Khai triển Taylor của hàm 𝑓(𝑥) tại 𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑘 𝑎 𝑘! 𝑛 0 (𝑥 − 𝑎)𝑘+𝑅𝑛(𝑥)  Phần dư  𝐷ạ𝑛𝑔 𝑃𝑒𝑎𝑛𝑜: 𝑅𝑛 𝑥 = 𝑂 𝑥 − 𝑎 𝑛  𝐷ạ𝑛𝑔 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒: 𝑅𝑛 𝑥 = 𝑓 𝑛+1 𝑐 𝑛+1 ! (𝑥 − 𝑎)𝑛+1 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-19 Áp dụng khai triển cơ bản  Ví dụ. Viết khai triển Maclaurin của hàm số sau đến cấp 3 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 1 − 𝑥  Ví dụ. Viết đa thưć sau dưới dạng đa thưć theo 𝑥 − 1 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 3𝑥3 + 𝑥2 + 7  Bài tâp̣: 238  257 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-20