Bài giảng Toán cao cấp - Bài 8: Tích phân suy rộng Phương trình vi phân

1 TÍCH PHÂN Tích phân suy rộng Phương trình vi phân Lecture 8 Nguyen Van Thuy Review-Tích phân xác định  Tính chất  Công thưć Newton-Leibniz ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )]. '( ) [ ( )]. '( ) x a v x u x f t dt f x f t dt f v x v x f u x u x                  12/16/2010 ( ) ( ) ( ) : ( ) b b a a f x dx F b F a F x   Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-2 Review ( ) [ ( ) {( , ) | , ( ) ( )} ( )] b a S x y a x b g x y f x A S f x g x dx        12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-3 Review 12/16/2010 2 ( ) b y a V xf x dx 2[ ( )] b x a V f x dx  Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-4 Tích phân suy rộng loại 1  Định nghĩa 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +∞ 𝑎 = lim 𝑡→+∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑡 𝑎  Nếu giơí haṇ ở vế phải tồn taị hữu haṇ thì tích phân suy rộng ở vế trái được goị là hội tụ. Ngươc̣ lại, tích phân suy rộng được gọi là phân kỳ 12/16/2010 a t  Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-5 Tích phân suy rộng loại 1  Ví dụ (452). Tính 12/16/2010 1 2 0 1 dx I x    Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-6 2 Tích phân suy rộng loại 1  Tương tự 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 −∞ = lim 𝑡→−∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑡 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +∞ −∞ = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 −∞ + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +∞ 𝑎 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-7 Tích phân suy rộng loại 1  453. Tính 12/16/2010 0 2 2 2 , 1 1 dx dx I I x x         Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-8 Tích phân suy rộng loại 1  Ví dụ Vậy, tích phân hội tụ  Vậy, tích phân phân kỳ 12/16/2010 2 2 11 1 1 1 lim lim lim 1 1 tt t t t dx dx I x x x t                            1 1 1 lim lim ln | | lim ln | | t t t t t dx dx J x t x x            Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-9 Tích phân suy rộng loại 1  Ví dụ  (466) Tính  (464) Tính 12/16/2010 2ln e dx I x x    2 2 0 8arctan 1 xdx I x    3 3 32 ) ) ) ) 3 3 24 a I b I c I d I        ) 1 ) 2 ) ) 2a I b I c I d I e     Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-10 Tích phân suy rộng loại 1  451. Tính 𝐼 = 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 0 −∞ 𝑎) 𝐼 = −1 𝑏) 𝐼 = 1 𝑐) 𝐼 = −2 𝑑) 𝐼 = 2 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-11 Tích phân suy rộng loại 1  Chú ý 𝐼 = 𝑑𝑥 𝑥𝛼 +∞ 𝑎 12/16/2010 Hội tụ ⇔ 𝛼 > 1 Phân kỳ ⇔ 𝛼 ≤ 1 𝑎 > 0 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-12 3 Tiêu chuẩn so sánh  Giả sử  Nếu phân kỳ thì phân kỳ  Nếu hội tụ thì hội tụ  Ví dụ (478) Tích phân hội tụ khi  a) >1 b) <1 c)  tùy ý d) ko có  12/16/2010 ( ) a f x dx   ( ) a g x dx   ( ) a g x dx   ( ) a f x dx   0 ( ) ( ),f x g x x a    2 0 sin 1 x dx x    Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-13 Tiêu chuẩn so sánh  Giả sử và (L0 và hữu hạn) Khi đó, 2 tích phân và có cùng tính chất  Ví dụ (474) Tích phân hội tụ khi a) 1 d) ko có  12/16/2010 ( ) lim ( )x f x L g x  ( ) a f x dx   ( ) a g x dx   3 ( 1)( 2) x dx x x x     0 ( ) ( ),f x g x x a    Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-14 Tích phân suy rộng loại 2  Xét tích phân 𝐼 = 𝑑𝑥 𝑥 1 0  Nhận xét lim 𝑥→0+ 1 𝑥 = +∞ 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-15 Tích phân suy rộng loại 2  Cách tính 𝐼 = 𝑑𝑥 𝑥 1 0 = lim 𝜀→0+ 𝑑𝑥 𝑥 1 𝜀 = lim 𝜀→0+ 2 𝑥 1 𝜀 = lim 𝜀→0+ (2 − 2 𝜀) = 2 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-16 Tích phân suy rộng loại 2  𝑓 không xác định tại 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = lim 𝜀→0+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎+𝜀  𝑓 không xác định tại 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = lim 𝜀→0+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏−𝜀 𝑎 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-17 Tích phân suy rộng loại 2  Ví dụ  (467) Tính  (472) Tính 12/16/2010 2 3 1 1 dx I x    1 0 lnI xdx  ) 1 ) 0 ) 1 ) 2a I b I c I d I     3 3 ) ) 1 ) ) 2 4 a I b I c I d I     Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-18 4 Tích phân suy rộng  Maple  Loại 1 int(f(x),x=a..infinity) int(f(x),x=-infinity..a) int(f(x),x=-infinity..infinity)  Loại 2 int(f(x),x=a..b) 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-19 Phương trình vi phân tách biến  Dạng 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑦 𝑑𝑦  Cách giải 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 + 𝐶  Maple 12/16/2010 >with(DEtools) >dsolve(D(y)(x)=f(x)/g(y)) Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-20 Phương trình vi phân tách biến  554. Tìm nghiệm tổng quát của ptvp 𝑑𝑥 1 + 𝑥2 + 𝑑𝑦 1 − 𝑦2 = 0 𝑎) arcsin 𝑥 + arctan 𝑦 = 𝐶 𝑏) arcsin 𝑥 − arctan 𝑦 = 𝐶 𝑐) arctan 𝑥 + arcsin 𝑦 = 𝐶 𝑑)arctan 𝑥 + ln |𝑦 + 1 − 𝑦2| = 𝐶 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-21 Phương trình vp tuyến tính cấp 1  Dạng 𝑦′ + 𝑝 𝑥 . 𝑦 = 𝑞(𝑥)  Công thức nghiệm tổng quát 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑞(𝑥)𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶  12/16/2010 >with(DEtools) >dsolve(D(y)(x)+p(x)*y(x)=q(x)) Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-22 Phương trình vp tuyến tính cấp 1  595. Tìm nghiệm tổng quát của ptvp 𝑥𝑦′ + 2𝑦 = 3𝑥 𝑎) 𝑦 = 𝑥 + 𝐶 𝑥2 𝑏) 𝑦 = 𝑥 + 𝐶𝑥2 𝑐) 𝑦 = 𝑥3 + 𝐶𝑥2 𝑑) 𝑦 = 𝑥3 + 𝐶 𝑥2 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-23 Pt vi phân tuyến tính cấp 2  Dạng 𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0 (1)  Cách giải  Lập phương trình đặc trưng 𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘 + 𝑐 = 0 (2)  Nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt 𝑘1, 𝑘2 ∈ ℝ 𝑦 = 𝐶1𝑒 𝑘1𝑥 + 𝐶2𝑒 𝑘2𝑥 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-24 5 Pt vi phân tuyến tính cấp 2  Nếu (2) có nghiệm kép k0 thì nghiệm tổng quát của (1) là 𝑦 = 𝑒𝑘0𝑥 𝐶1𝑥 + 𝐶2  Nếu (2) có hai nghiệm phức 𝑘 = 𝛼 ± 𝑖 thì (1) có nghiệm tổng quát 𝑦 = 𝑒𝛼𝑥 𝐶1 cos 𝛽𝑥 + 𝐶2sin 𝛽𝑥  Maple Dsolve(a*(D@@2)(y)(x)+b*D(y)(x)+c*y(x)=0) 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-25 Pt vi phân tuyến tính cấp 2  Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của ptvp  617. 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0  614. 𝑦′′ −22𝑦′ + 121𝑦 = 0  611. 𝑦′′ − 8𝑦′ + 41𝑦 = 0 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-26 Bài tập  Tích phân suy rộng 449  507  Phương trình vi phân 548  618 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-27