Bài giảng Toán học cao cấp - Nguyễn Độc Lập

ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÁI NGUYấNBiờn soạn: Nguyễn Độc Lập Bộ mụn: Toỏn - Tin Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn Chương II Giới thiệu Chương I Chương III Chương IV Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn Chương V Chương VI Chương VII Chương VIII MỤC LỤC Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn Trong chương trỡnh đào tạo theo hướng đổi mới lấy người học làm trung tõm, chuyển đổi từ niờn chế sang tớn chỉ, chương trỡnh Toỏn đào tạo cho Trường đại học Y Dược cú sự đổi mới theo hướng tinh giản để phự hợp với cỏch học tự nghiờn cứu của sinh viờn. Phần Toỏn cao cấp mà chỳng tụi trỡnh bày dưới đõy sẽ bỏm sỏt mục tiờu phục vụ việc nghiờn cứu khoa học, điều trị trong Y học. Phần bài tập tự ụn luyện sẽ được trỡnh bày kỹ trong cỏc giờ giải đỏp thắc mắc và cuốn Bài tập Toỏn hoc cao cấp- Xỏc suất thụng kờ của cựng tỏc giả. Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn Với thời lượng 45 tiết , tương đương với 2 tớn chỉ, người học cần nắm được lý thuyết cơ bản và giải được phương trỡnh ma trận, hệ phương trỡnh tuyến tớnh. Tớnh được tớch phõn suy rộng loại I, II. Giải được phương trỡnh vi phõn tuyến tớnh cấp 1, cấp 2 cú dạng đặc biệt. Xột được sự hội tụ, phõn kỳ của chuỗi số dương, tớnh được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. Chương 1. Tập hợp, quan hệ và logic suy luận Đ1. Tập hợp 1. Cỏc khỏi niệm cơ bản 2. Cỏc phộp toỏn về tập hợp Đ2. Cỏc tập hợp số thực 1. Số thực 2. Biểu diễn hỡnh học cỏc số thực 3. Cỏc khoảng số thực 4. Tập hợp bị chặn Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn Đ3. Quan hệ 1. Tớch Descartes 2. Quan hệ 3. ỏnh xạ Đ4. Đại cương về logic suy luận 1. Mệnh đề và cỏc phộp toỏn mệnh đề 2. Hàm mệnh đề 3. Logic suy luận, điều kiện cần và điều kiện đủ 4. Logic chứng minh mệnh đề Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn Chương II. Ma trận - Định thức Đ1. Ma trận 1. Cỏc khỏi niệm cơ bản về ma trận 2. Cỏc phộp toỏn đối với ma trận 3. Ma trận chuyển vị 4. Chuyển vị của tớch hai ma trận Đ2. Định thức 1. Định thức của ma trận vuụng 2. Tớnh chất của định thức Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn Đ3. Cỏc phương phỏp tớnh định thức 1. Phương phỏp khai triển 2. Định thức của tớch hai ma trận Đ4. Ma trận nghịch đảo 1. Khỏi niệm ma trận nghịch đảo 2. Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo 3. Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo và biểu thức của nú 4. Tỡm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp 5. Ma trận nghịch đảo của tớch hai ma trận 6. ứng dụng của ma trận nghịch đảo Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn Đ5. Hạng của ma trận 1. Hạng của ma trận 2. Tỡm hạng của ma trõn bằng biến đổi sơ cấp Chương III. Hệ phương trỡnh tuyến tớnh Đ1. Cỏc khỏi niệm cơ bản về hệ phương trỡnh tuyến tớnh 1. Hệ phương trỡnh tuyến tớnh tổng quỏt 2. Nghiệm của hệ phương trỡnh tuyến tớnh 3. Hệ tương đương 4. Cỏc phộp biến đổi sơ cấp 5. Hệ tam giỏc và hệ hỡnh thang Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn Đ2. Hệ Cramer 1. Định nghĩa 2. Quy tắc Cramer Đ3. Hệ phương trỡnh tuyến tớnh tổng quỏt 1. Điều kiện cú nghiệm 2. Giải hệ phương trỡnh tuyến tớnh bằng biến đổi sơ cấp Đ4. Hệ thuần nhất 1. Điều kiện tồn tại nghiệm khụng tầm thường 2. Mối liờn hệ với hệ khụng thuần nhất Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn Chương IV. Hàm số 4.1. Hàm một biến 4.2 Cỏc hàm sơ cấp cơ bản 4.3. Hàm hai biến 4.4. Định nghĩa và tớnh chất giới hạn hàm một biến 4.5. Giới hạn hàm hai biến 4.6. Sự liờn tục của hàm một biến - hàm hai biến Chương V: Phộp tớnh vi phõn 5.1. Đạo hàm - vi phõn của hàm một biến 5.2. Đạo hàm và vi phõn của hàm hai biến Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn Chương VI. Phộp tớnh tớch phõn 6.1. Tớch phõn bất định 6.2. Tớch phõn đơn giản chứa tam thức bậc hai 6.3. Tớch phõn cỏc hàm lượng giỏc 6.4. Tớch phõn xỏc định 6.5. Cụng thức Newton- Leibnitz (Niutơn-Lepnit) 6.6. Tớch phõn suy rộng Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn Chương VII. Phương trỡnh vi phõn 7.1. Phương trỡnh vi phõn cấp I 7.2. Phương trỡnh vi phõn cấp hai 7.3. Hệ phương trỡnh vi phõn Chương VIII. Lý thuyết chuỗi 8.1 Chuỗi số 8.2. Chuỗi số dương 8.3 Chuỗi số dấu bất kỳ 8.4 Chuỗi lũy thừa Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Chương I Tập hợp, quan hệ và logic suy luận Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Tập hợp là một khái niệm nguyên thuỷ của toán học, không được định nghĩa và ta chỉ miêu tả, hình dung khái niệm này bằng những ví dụ cụ thể. Chẳng hạn như tập hợp các sinh viên trong một lớp học, tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các nghiệm của một phương trình đại số .v.v. Các đối tượng tạo nên tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp đó. Để nói rằng a là phần tử thuộc tập hợp A ta viết a A (đọc là a thuộc A). Nếu a không phải là phần tử của tập hợp A ta viết a A (đọc là a không thuộc A). Đ1. Tập hợp 1. Các khái niệm cơ bản Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Các đối tượng tạo nên tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp đó. Để nói rằng a là phần tử thuộc tập hợp A ta viết a A (đọc là a thuộc A). Nếu a không phải là phần tử của tập hợp A ta viết a A (đọc là a không thuộc A). Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, ký hiệu . Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, ký hiệu . Để xác định một tập hợp ta sử dụng một trong hai phương pháp sau: Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của tập hợp A cũng là phần tử của tập hợp B thì ta nói rằng A là tập hợp con của tập hợp B, hay A chứa trong B, hay B bao hàm A, ký hiệu AB hay BA. Người ta coi tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp A = {a, b, c, d} B = {2, 4, 6, 8} 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp A = {x: x2 = 4} Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn 2. Các phép toán về tập hợp a) Phép hợp Định nghĩa: Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp đó. Hợp của hai tập hợp A và B được ký hiệu: A B A B = {x: xA hoặc xB} b) Phép giao Định nghĩa: Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm các phần tử đồng thời thuộc cả hai tập hợp A và B. Giao của hai tập hợp A và B được ký hiệu: A B A B = {x: xA và xB} Nếu A B =  ta nói A và B là các tập hợp rời nhau. Ví dụ: Cho hai tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4, 6} A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A B = {2, 4} Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn c) Các tính chất của phép hợp và phép giao 1. Tính giao hoán AB = BA ; AB = BA 2. Tính chất kết hợp A (B C) = (AB)C A (B C) = (AB) C 1. Tính chất phân phối A (B C) = (AB) (AC) A (B C) = (AB) (AC) Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Để chứng minh các tính chất trên ta cần chỉ ra mỗi phần tử của tập hợp ở vế trái đều là phần tử của tập hợp ở vế phải và ngược lại mỗi phần tử của tập hợp ở vế phải đều là phần tử của tập hợp ở vế trái. Việc chứng minh các tính chất trên dành cho bạn đọc . d) Phép trừ tập hợp và phần bù của một tập hợp Định nghĩa: Hiệu của tập hợp A và tập hợp B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Hiệu của tập hợp A và tập hợp B được ký hiệu: A\ B A\ B = {x: xA và x B} Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Ví dụ: Cho hai tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4, 6} A\ B = {1, 3, 5} Cho A là tập con của một tập hợp X. Khi đó X\ A được gọi là phần bù của của tập hợp A trong X. Phần bù của tập hợp A được ký hiệu A . Vậy A = X\ A Ví dụ: Trong tập hợp các số thực, Tập hợp các số vô tỉ là phần bù của tập hợp các số hữu tỉ. Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Định lý: Phần bù của hợp các tập hợp bằng giao các phần bù của chúng. Phần bù của giao các tập hợp bằng hợp các phần bù của chúng, tức là: BABA  , BABA  Chứng minh: Ta chứng minh đẳng thức đầu, đẳng thức còn lại chứng minh tương tự. Gọi x là phần tử bất kỳ của BA , khi đó: x AxBA  và AxBx  và BAxBx  Ngược lại, gọi x là phần tử bất kỳ của BA , khi đó: Ax và AxBx  và BAxBAxBx  Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Đ2. Các tập hợp số thực 1. Số thực Ta đã biết tập các số tự nhiên N: N = {0, 1, 2,..., n,...} Trong phạm vi các số tự nhiên có thể thực hiện được phép cộng và phép nhân. Tuy nhiên phép trừ bị hạn chế. Chẳng hạn không tồn tại số tự nhiên n sao cho 3 + n = 0. Để thực hiện được phép trừ người ta mở rộng hệ thống số tự nhiên thành hệ thống số nguyên Z: Z = {..., - n,..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..., n,...} Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Trong tập các số nguyên có thể thực hiện được phép cộng, phép trừ và phép nhân. Tuy nhiên phép chia bị hạn chế. Chẳng hạn, không tồn tại số nguyên m sao cho 4.m = 7. Để thực hiện được phép chia người ta mở rộng hệ thống số nguyên thành hệ thống số hữu tỉ Q: Q = { n m : m, n  Z, n 0 } Nếu biểu diễn dưới dạng số thập phân thì số hữu tỉ là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn. Số nguyên cũng là số hữu tỉ (với mẫu số bằng 1). Ta có bao hàm thức: N Z Q. Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Trong tập các số hữu tỉ có thể thể thực hiện được cả bốn phép toán cộng, trừ, nhân và chia. Tuy nhiên, tập các số hữu tỉ vẫn chưa đủ để đáp ứng nhu cầu tính toán. Chẳng hạn, độ dài đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1 không thể biểu diễn được bằng một số hữu tỉ. Để hoàn thiện hệ thống số, người ta bổ xung thêm tập các số vô tỉ. Nếu biểu diễn dưới dạng số thập phân thì số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Chẳng hạn, số đo độ dài đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1 là một số vô tỉ: ...4142135624,12  Các số hữu tỉ và các số vô tỉ được gọi là số thực. Tập hợp các số thực được ký hiệu là R. Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn 2. Biểu diễn hình học các số thực a) Giá trị tuyệt đối của số thực Giá trị tuyệt đối của số thực x được ký hiệu và xác định như sau:       0 0 xkhix xkhix x Từ định nghĩa, với mọi số thực yx, ta có thể suy ra các kết quả: . yxyx  . y x y x  với 0y . yxyx  . yxyx  Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn a) Trục số và độ dài đại số của một đoạn thẳng Trục số là một đường thẳng, trên đó có xác định: - Hướng của đường thẳng (theo chiều mũi tên) - Một điểm O cố định, gọi là gốc toạ độ - Đơn vị đo độ dài A O B … Trên trục số lấy hai điểm A, B bất kỳ. Độ dài hình học của đoạn thẳng AB (khoảng cách giữa A và B) cũng được ký hiệu AB. Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Định nghĩa: Độ dài đại số của đoạn thẳng AB trên trục số là một số thực, ký hiệu là AB và được xác định như sau: AB = AB nếu hướng từ A đến B cùng hướng với trục số. AB = BA nếu hướng từ A đến B ngược hướng với trục số. c) Biểu diễn số thực trên trục số Trên trục số lấy một điểm bất M bất kỳ Định nghĩa: Số thực OMx  được gọi là toạ độ của điểm M. O M … Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Như vậy, mỗi điểm M trên trục số được đặt tương ứng với một số thực x xác định, gọi là toạ độ của nó. Ngược lại mỗi số thực x cho tương ứng với một điểm M trên trục số có toạ độ bằng x. Phép tương ứng một đối một nói trên cho phép ta đồng nhất số thực x với điểm M trên trục số. Mỗi tập số thực XR là một tập hợp điểm của trục số. Trục số còn gọi là đường thẳng thực. Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn 3. Các khoảng số thực a) Khoảng hữu hạn Với ba , là hai số thực cho trước và ba  ta có các khoảng sau: Khoảng đóng (còn gọi là đoạn):     xba ; R: bxa  Khoảng mở:     xba ; R: bxa  Các khoảng nửa mở:     xba ; R: bxa      xba ; R: xa  b Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn a) Lân cận của một điểm Với ox là một số thực cho trước và r là một số dương cho trước. Khoảng  rxrx oo  ; được gọi là lân cận bán kính r của điểm ox và được ký hiệu Vr( ox ). Như vậy: Vr( ox ) =  x R: rxx o  Trong toán học người ta dùng các ký hiệu  và  để chỉ các đầu mút bên tr iá và bên phải của trục số. Với mọi số thực x ta có  x . Các tập số thực sau đây được gọi là các khoảng vô hạn:     xa ; R: ax  ;     xa ; R: ax      xb; R: bx  ;     xb; R: bx     ; R Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn 4.Tập hợp bị chặn a) Khái niệm tập hợp bị chặn Một tập số thực X R được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực b sao cho với mọi x X ta luôn có: x b. Số b được gọi là cận trên của tập X. Một tập số thực X R được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực a sao cho với mọi x X ta luôn có: x a. Số a được gọi là cận dưới của tập X. Một tập số thực X R được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số thực a và b sao cho với mọi x X ta luôn có: a  x b. Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Ví dụ: Các khoảng hữu hạn là các tập bị chặn. Các khoảng (a; + ); [a; +) là các tập bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên. Các khoảng (-  ; b);(- ;b] là các tập bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới. b) Cận trên đúng và cận dưới đúng Định nghĩa: Cận trên nhỏ nhất của một tập hợp bị chặn trên được gọi là cận trên đúng của tập hợp đó. Cận dưới lớn nhất của một tập hợp bị chặn dưới được gọi là cận dưới đúng của tập hợp đó. Cận trên đúng của tập hợp X được ký hiệu supX Cận dưới đúng của tập hợp X được ký hiệu infX Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Từ định nghĩa ta suy ra: supX = b khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thoả mãn: . x b với mọi x X (b là cận trên của X) . Với mọi số b’ b’ (mọi số b’<b không phải là cận trên của X) infX = a khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thoả mãn: . x  a với mọi x X (a là cận dưới của X) . Với mọi số a’ > a luôn tồn tại số x0 sao cho x0 < a’ (mọi số a’>a không phải là cận dưới của X) Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Ví dụ: Tập hợp X =(a; b) có cận trên đúng là b. Thật vậy, rõ ràng x<b với mọi x (a; b). Mặt khác, với mọi b’< b thì K = (a; b)  (b’; b), do đó tồn tại xoK. Số xo K thoả mãn điều kiện xo (a; b) và x0 > b’. Vậy supX = b. Tương tự ta chứng minh được infX = a. Trong toán học người ta đã chứng minh định lý sau: Định lý: Mọi tập số thực khác rỗng bị chặn trên (bị chặn dưới) đều có cận trên đúng(cận dưới đúng). Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn c) Số cực đại và số cực tiểu Cận trên đúng và cận dưới đúng của một tập hợp X có thể thuộc hoặc không thuộc tập hợp X. Ví dụ: sup[a; b) = b [a; b), inf[a; b) = a [a; b) sup(a; b] = b (a; b], inf(a; b] = a (a; b] Định nghĩa: Nếu supX = b  X thì số b được gọi là số cực đại, hay số lớn nhất của tập hợp X. Nếu infX = a  X thì số a được gọi là số cực tiểu, hay số nhỏ nhất của tập hợp X. Số lớn nhất của tập hợp X được ký hiệu maxX Số nhỏ nhât của tập hợp X được ký hiệu minX Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Từ định nghĩa ta suy ra: maxX = b  bX và x b với mọi x X minX = a  a X và x  a với mọi x X Ví dụ: max[a; b] = b, min[a; b] = a Tập (a; b) không có số lớn nhất và số nhỏ nhất. Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Đ3. Quan hệ 1. Tích Descartes Định nghĩa: Tích Descartes của hai tập hợp X và Y, ký hiệu XY là tập hợp tất cả các cặp có thứ tự (x, y), trong đó x X và y Y. XY = {(x, y): x X và y Y} Ví dụ: Cho X = {1, 2, 3}; Y = {a, b} XY = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} YX = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2), (a, 3), (b, 3)} Tổng quát ta gọi tích Descartes của n tập hợp X1, X2,..., Xn là tập hợp được ký hiệu và xác định như sau: X1  X2  ..  Xn = {(x1, x2,..., xn): xiXi, i = 1, 2,..., n} Đặc biệt, khi X1 = X2 =...= Xn = X ta ký hiệu X X  ... X = X n Xn = {(x1, x2,..., xn): xiX, i = 1, 2,..., n} Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn 2. Quan hệ a) Khái niệm quan hệ Định nghĩa: Quan hệ hai ngôi trong tập hợp X là một tập con của tập hợp X2. Ví dụ: - Trong tập các số thực R, quan hệ “không nhỏ hơn” là tập hợp: {(x, y): x R, y R, xy}R2 - Trong tập hợp tất cả các tam giác quan hệ “đồng dạng” là tập hợp các cặp tam giác ( , ) mà  đồng dạng với  . Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn b) Quan hệ tương đương Cho   X2 là một quan hệ trong tập hợp X. Nếu (x, y)  thì ta nói phần tử x có quan hệ  với phần tử y và viết x y. Định nghĩa: Một quan hệ  trong tập hợp X được gọi là quan hệ tương đương nếu nó có các tính chất sau: 1. Tính phản xạ: a a, a X (mọi phần tử a của X có quan hệ  với chính nó) 2. Tính đối xứng: Nếu a b thì b a (nếu a có quan hệ  với b thì b cũng có quan hệ  với a) 3. Tính bắc cầu: Nếu a b và b c thì a c (nếu a có quan hệ  với b và b có quan hệ  với c thì a có quan hệ  với c) Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Ví dụ: . Quan hệ “x đồng dạng với y” là một quan hệ tương đương trong tập hợp tất cả các tam giác. . Quan hệ “x là bạn của y” trong tập hợp sinh viên của một trường đại học không phải là quan hệ tương đương vì nó không có tính bắc cầu. c) Quan hệ thứ tự Định nghĩa: Một quan hệ  trong tập hợp X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có các tính chất sau: 1. Tính phản xạ: a a, a X 2. Tính phản đối xứng: Nếu a b và b a thì a = b 3. Tính bắc cầu: Nếu a b và b c thì a c Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Ví dụ:. Quan hệ “xy” là một quan hệ thứ tự trong tập hợp tất cả các số thực . Quan hệ “p chia hết cho q” là một quan hệ thứ tự trong tập hợp tất cả các số tự nhiên. 3. ánh xạ a) Khái niệm ánh xạ: Cho hai tập hợp X, Y không rỗng bất kỳ Định nghĩa: Một ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x của tập X với một và chỉ một phần tử y của tập Y. Để nói rằng f là ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y ta dùng ký hiệu: f: X Y Phần tử y Y tương ứng với phần tử x X qua ánh xạ f được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu là y = f(x) Bài giảng THCC – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn Ví dụ 1: Phép đặt tương ứng mỗi số thực x với phần nguyên của nó (ký hiệu [x]) là một ánh xạ từ R vào Z. Ví dụ 2: Phép đặt tương ứng mỗi số thực x với bình phương của nó là một ánh xạ từ R vào [0; + ]. Ví dụ 3: Phép đặt tương ứng mỗi số thực x với lập phương của nó là một ánh xạ từ R vào R. b) ảnh và nghịch ảnh của một tập hợp Cho ánh xạ f: X Y; A  X; B  Y. Định nghĩa: ảnh của tập hợp A qua ánh xạ f là tập hợp ảnh của tất cả các phần tử x A. ảnh của tập hợp A qua ánh xạ f được ký hiệu f(A): f(A) = {y Y: tồ