Bài giảng Trường tĩnh điện

CHƯƠNG 11:     TRƯỜNG TĨNH ÐIỆN ÐỊNH LUẬT COULOMB Sự nhiễm điện của các vật. Ðiện tích nguyên tố.  Ðịnh luật bảo toàn điện tích.  Ðịnh luật Coulomb. ÐIỆN TRƯỜNG Khái niệm.  Cường độ điện trường. ÐƯỜNG SỨC-ÐIỆN THÔNG Ðường sức điện trường. Ðiện thông. ÐỊNH LÍ OSTROGRADSKI-GAUSS Ðịnh lí Ostrogradski-Gauss. Thí dụ áp dụng. LƯỠNG CỰC ÐIỆN ÐẶT TRONG ÐIỆN TRƯỜNG  CÔNG CỦA LỰC TĨNH ÐIỆN - ÐIỆN THẾ LIÊN HỆ GIỮA CƯỜNG ÐỘ ÐIỆN TRƯỜNG VÀ ÐIỆN THẾ I. ÐỊNH LUẬT COULOMB            1 Sự nhiễm điện của các vật TOP Từ thế kỷ thứ 6  trước công nguyên, người ta đã thấy rằng Hổ Phách cọ sát vào lông  thú, có khả năng hút được các vật nhẹ. Cuối thế kỷ 16, Gilbert (người Anh) nghiên cứu chi tiết hơn và nhận thấy rằng nhiều chất khác như thủy tinh, lưu huỳnh, nhựa cây v v... cũng có tính chất giống như hổ phách và gọi những vật có khả năng hút được các vật khác sau khi cọ xát vào nhau, là những vật nhiễm điện hay vật tích điện. Các vật đó có điện tích. Ta cũng có thể làm cho một vật nhiễm điện bằng cách đặt nó tiếp xúc với một vật khác đã nhiễm điện. Ví dụ ta treo hai vật nhẹ lên hai sợi dây mảnh, rồi cho chúng tiếp xúc với thanh êbônít đã được cọ xát vào da, thì chúng sẽ đẩy nhau. Nếu một vật được nhiễm điện bởi thanh êbônit, một vật được nhiễm điện bởi thanh thủy tinh, chúng sẽ hút nhau. Ðiều đó chứng tỏ điện tích xuất hiện trên thanh êbônit và trên thanh thủy tinh là các loại điện tích khác nhau. Bằng cách thí nghiệm với nhiều vật khác nhau ta thấy chỉ có hai loại điện tích. Người ta qui ước gọi loại điện tích xuất hiện trên thanh thủy tinh sau khi cọ xát vào lụa là điện tích dương, còn loại kia là điện tích âm. Giữa các vật nhiễm điện có sự tương tác điện: những vật nhiễm cùng loại điện thì đẩy nhau, những vật nhiễm điện khác loại thì hút nhau. Về phương diện điện, các vật liệu được chia ra làm hai loại. Những vật mà điện tích có thể di chuyển dễ dàng trong vật gọi là vật dẫn điện. Những vật mà điện tích chỉ định xứ ở nơi nhiễm điện gọi là vật cách điện hay điện môi. Những vật dẫn điện lại chia thành vật dẫn điện loại 1 và loại 2. Vật dẫn điện loại 1 là vật dẫn mà sự dịch chuyển điện tích trong vật không gây ra một sự biến đổi hóa học nào của vật và cũng không gây ra một sự dịch chuyển nào có thể nhận thấy của vật chất. Kim loại và chất bán dẫn là những vật dẫn điện loại 1. Vật dẫn điện loại 2 là vật dẫn mà sự dịch chuyển các điện tích trong vật gắn liền với những biến đổi hóa học, dẫn đến sự thoát ra những thành phần vật chất tại chỗ tiếp xúc của chúng với các vật dẫn điện khác. Muối, bazơ nóng chảy, dung dịch muối, axit, bazơ là những vật dẫn điện loại 2. Hình 11.1 Không khí khô, thủy tinh, sứ, êbônit, cao su, hổ phách, dầu, tinh thể muối v.v... là những chất cách điện. Tuy vậy, việc phân chia ra vật dẫn điện và vật cách điện chỉ là tương đối, vì mọi vật nói chung đều dẫn điện ở một mức độ nào đó. Dựa vào sự tương tác giữa các vật nhiễm điện, người ta làm ra điện nghiệm để phát hiện ra điện tích. Ðiện nghiệm gồm 2 lá kim loại nhẹ và mỏng, gắn vào đầu một thanh kim loại, hai lá kim loại bị nhiễm điện cùng dấu, đẩy nhau và xòe ra. Ðiện tích của vật càng lớn, hai lá xòe ra càng nhiều.            2. Ðiện tích nguyên tố TOP a. Ðiện tích và tương tác điện từ. Khi các vật chưa nhiểm điện, giữa chúng đã có lực tương tác hấp dẫn, vì chúng đều có khối lượng. Tuy nhiên, lực này rất nhỏ và khó nhận thấy. Khi các vật nhiễm điện, thì lực điện tác dụng giữa chúng lớn đến nổi chúng có thể bị đẩy xa nhau hoặc hút lại gần nhau. Ta nhận biết được các vật có điện tích chính là dựa vào sự quan sát và nghiên cứu tương tác điện giữa chúng. Ngày nay, khoa học chứng tỏ rằng vật chất được tạo nên từ những hạt rất nhỏ không thể phân chia được thành những hạt nhỏ hơn. Những hạt này được gọi là những hạt sơ cấp. Các hạt sơ cấp (trừ một số rất ít) có khối lượng và do đó chúng hút nhau theo định luật vạn vật hấp dẫn, bằng một lực tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Một số hạt sơ cấp còn có khả năng tương tác với nhau bằng một lực cũng tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng nhưng lớn hơn lực vạn vật hấp dẫn rất nhiều. Những hạt có khả năng tương tác như thế được gọi là những hạt có mang điện tích. Tương tác giữa các hạt mang điện gọi là tương tác điện từ (tổng quát, khi các hạt mang điện chuyển động, giữa chúng còn có tương tác từ). Cần chú ý rằng lực vạn vật hấp dẫn giữa các hạt sơ cấp (hay các vật thể) luôn luôn là lực hút, còn lực điện giữa chúng có thể là lực đẩy hoặc lực hút. Như vậy, tương tác hấp dẫn và điện từ là hai loại tương tác khác nhau. Dựa vào tương tác điện từ giữa các hạt, ta có thể biết chúng có mang điện tích hay không. Khi một hạt sơ cấp có mang điện, thì không thể làm cho nó mất điện tích. Ðiện tích của hạt sơ cấp là một thuộc tính không thể tách rời khỏi hạt. Ðiện tích tồn tại dưới dạng các hạt sơ cấp mang điện. Có những hạt sơ cấp không mang điện, nhưng không thể có điện tích không gắn liền với hạt sơ cấp. b. Ðiện tích nguyên tố. Hạt sơ cấp có thể mang điện dương, có thể mang điện âm hoặc không mang điện. Thực nghiệm cho thấy, nếu hạt sơ cấp mang điện, thì điện tích của nó có giá trị hoàn toàn xác định. Ðiện tích của hạt sơ cấp là nhỏ nhất tồn tại trong tự nhiên, không thể bị tách ra thành lượng nhỏ hơn. Vì thế lượng điện tích đó được gọi là điện tích nguyên tố ký hiệu là e. Khi một vật bất kỳ mang điện, thì điện tích của nó luôn là một số nguyên lần điện tích nguyên tố. Hai hạt sơ cấp mang điện có thể tồn tại lâu dài ở trạng thái riêng lẻ là êlectrôn và protôn, những thành phần cấu tạo nên nguyên tử của mọi nguyên tố. Êlectrôn mang điện âm, có điện tích -e. Prôtôn mang điện dương có diện tích +e. Ngoài prôtôn và êlectrôn, còn nhiều hạt sơ cấp khác mang điện, nhưng chúng không thể tồn tại lâu ở trạng thái riêng lẻ. Chúng sinh ra trong quá trình tương tác giữa các hạt sơ cấp, rồi lại nhanh chóng mất đi hoặc chuyển hóa thành các hạt khác.  c. Thuyết êlectrôn. Nguyên tử của mọi nguyên tố đều gồm một hạt nhân và những êlectrôn chuyển động xung quanh hạt nhân. Hạt nhân nguyên tử gồm những prôtôn mang điện dương và những nơtrôn không mang điện. Ở trạng thái bình thường, số prôtôn và số êlectrôn trong nguyên tử là bằng nhau. Do đó nguyên tử trung hòa về điện. Nếu nguyên tử mất một hay vài êlectrôn, nó sẽ mang điện dương và trở thành ion dương. Nếu nguyên tử thu thêm êlectrôn, nó sẽ tích điện âm và trở thành ion âm. Quá trình nhiễm điện của các vật thể chính là quá trình các vật thể ấy thu thêm hay mất đi một số êlectôn hoặc ion. Thuyết giải thích tính chất khác nhau của các vật thể dựa trên việc nghiên cứu êlectrôn và chuyển động của chúng gọi là thuyết êlectrôn. Dựa trên thuyết này, người ta đã giải thích được rất nhiều hiện tượng điện một cách định tính và cả đinh lượng. Chẳng hạn, theo thuyết êlectrôn thì vật dẫn điện tốt là vật mà trong đó có các hạt mang điện có thể chuyển động tự do. Trong kim loại, một số êlectrôn có thể chuyển động tự do từ chỗ này sang chỗ khác, gây nên tính dẫn điện của kim loại. Những êlectrôn này gọi là êlectrôn tự do hay êlectrôn dẫn.             3. Ðịnh luật bảo toàn điện tích TOP Như đã biết, cọ xát các vật với nhau là một cách làm cho chúng nhiễm điện. Tuy nhiên sự cọ xát không đóng vai trò quan trọng, mà quyết định là sự tiếp xúc giữa các vật. Khi ta cọ xát hai vật với nhau, do sự tiếp xúc chặt chẻ giữa một số nguyên tử của 2 vật, mà một số êlectrôn chuyển dịch từ vật này sang vật kia. Ðộ dịch chuyển này vào cỡ khoảng cách giữa các nguyên tử  ~10( 8cm). Khi ta tách hai vật ra, thì chúng đều tích điện, nhưng trái dấu nhau. Nếu hai vật không trao đổi điện tích với các vật khác (hai vật lập thành một hệ cô lập), thì thí nghiệm chứng tỏ rằng độ lớn điện tích dương xuất hiện trên vật này đúng bằng độ lớn của điện tích âm xuất hiện trên vật kia. Lúc đầu, hệû hai vật có điện tích tổng cộng bằng không, vì mỗi vật đều trung hòa điện. Sau khi đã tiếp xúc với nhau, hai vật đều nhiễm điện, nhưng tổng đại số điện tích của hai vật trong hệ vẫn bằng không. Như vậy bản chất của sự nhiễm điện là mọi quá trình nhiễm điện về thực chất đều chỉ là những quá trình tách các điện tích âm và dương và phân bố lại các điện tích đó trong các vật hay trong các phần tử của một vật. Ðiện tích tồn tại dước dạng các hạt sơ cấp mang điện. Trong những điều kiện nhất định, các hạt sơ cấp có thể biến đổi qua lại . Chúng có thể xuất hiện thêm hay mất bớt đi trong quá trình chuyển hóa. Tuy nhiên, thực tế quan sát cho thấïy rằng các hạt mang điện bao giờ cũng sinh ra từng cặp có điện tích trái dấu và bằng nhau, và nếu mất đi (để chuyển thành những hạt khác), chúng cũng mất đi từng cặp như vậy. Nếu có một hạt mang điện chuyển hóa thành nhiều hạt khác, thì trong số những hạt mới sinh ra, bắt buộc phải có hạt mang điện tích cùng dấu với hạt ban đầu. Từ những nhận xét trên ta đưa đến kết luận là: Trong một hệ kín (không có sự trao đổi với bên ngoài) tổng đại số các điện tích luôn luôn là một hằng số. Ðó là nội dung của định luật bảo toàn điện tích, một định luật cơ bản của tĩnh điện học. Ðịnh luật bảo toàn điện tích là một trong những nguyên lý cơ bản nhất của vật lí. Nó có tính chất tuyệt đối đúng. Cho đến nay người ta chưa phát hiện một sự vi phạm định luật: Mọi kết quả thực nghiệm đều phù hợp với định luật.             4. Ðịnh luật Coulomb TOP a) Ðiện tích điểm. Năm 1785, Coulomb (người Pháp), bằng thực nghiệm, đã tìm ra định luật về sự tương tác lực giữa hai điện tích đứng yên . Không thể tìm được định luật tổng quát cho sự tương tác giữa hai vật mang điện bất kỳ, vì lực này phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó có hình dạng, vị trí tương đối giữa hai vật và môi trường bao quanh các vật. Ta chỉ có thể tìm được định luật tổng quát cho lực tương tác giữa các vật mang điện có kích thước nhỏ sao cho kích thước của vật không ảnh hưởng đến lực tương tác. Những vật mang điện thỏa mãn điều kiện đó được gọi là những điện tích điểm. b) Thí nghiệm Coulomb dùng thực nghiệm bằng một cân xoắn, gồm hai quả cầu nhỏ bằng kim loại mang điện đóng vai trò của điện tích điểm. Bằng cách giữ cho điện tích của hai quả cầu không đổi, đo sự phụ thuộc của lực tương tác vào khoảng cách giữa chúng, Coulomb thấy rằng lực tương tác giữa hai điện tích có phương trùng với đường thẳng nối hai điện tích và có độ lớn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng : Ðiều này là hợp lý, vì dựa vào lực tương tác điện ta có thể nhận biết được sự có mặt của điện tích. Như vậûy, ta đã có cách để so sánh độ lớn của các điện tích. Từ đó, nếu chọn một điện tích làm đơn vị, ta có thể xác định độ lớn của mọi điện tích khác. Kếït quả trên đây cho thấy rằng lực tác dụng giữa hai điện tích A và B tỉ lệ với độ lớn của điện tích B. Vì lực tương tác tĩnh điện giữa hai điện tích điểm tuân theo định luật Newton 3. Vậy suy ra rằng lực tương tác tỉ lệ với độ lớn của từng điện tích, do đó tỉ lệ với tích độ lớn của các điện tích A và B.  C) Phát biểu: Kết quả thực nghiệm được nêu lên trong định luật Coulomb. Lực tương tác điện giữa hai điện tích điểm đứng yên tỉ lệ thuận với tích độ lớn các điện tích và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Nếu q1 và q2 là độ lớn của hai điện tích điểm, r là khoảng cách giữa chúng, thì biểu thức độ lớn của lực tác dụng giữa hai điện tích là: d) Ý nghiã Ðịnh luật Coulomb là một định luật cơ bản của tĩnh điện học nó giúp ta hiểu rõ thêm khái niệm điện tích. Nếu các hạt cơ bản hoặc các vật thể tương tác với nhau theo định luật Coulomb thì ta biết rằng chúng có mang điện tích. e) Nguyên lý chồng chất: Ðịnh luật Coulomb bao hàm nguyên lý chồng chất các lực điện, vì rằng lực Coulomb có độ lớn tỉ lệ với tích các điện tích. Nội dung nguyên lí này như sau: "Lực tương tác giữa hai điện tích đứng yên không bị thay đổi do sự có mặt của các điện tích khác". Theo nguyên lí này, lực tác dụng của một hệ nhiều điện tích lên điện tích q được xác định bằng tổng hình học các lực riêng biệt do từng điện tích của hệ tác dụng lên q: Ðịnh luật Coulomb và nguyên lí chồng chất các lực điện, về nguyên tắc, cho phép ta tính được lực tương tác giữa các vật thể mang điện có kích thước, hình dạng và vị trí tương đối bất kỳ. f) Ðơn vị điện tích. Trong biểu thức (11.2), k là một hệ số phụ thuộc vào hệ đơn vị. Trong hệ đơn vị SI, các đơn vị cơ bản là mét (m), kilogam (kg), giây (s) và Ampère (A). Ðơn vị điện tích là đơn vị dẫn xuất, gọi là Coulomb (C), được định nghĩa từ đơn vị Ampère (A): Coulomb là điện lượng tải qua tiết diện thẳng của dây dẫn bởi dòng điện có cường độ 1A trong thời gian 1s. II. ÐIỆN TRƯỜNG            1. Khái niệm. TOP Khi nghiên cứu sự tương tác giữa các điện tích, câu hỏi được đặt ra là các điện tích đặt ở cách xa nhau tác dụng lực lên nhau bằng cách nào? Ðiện tích có gây ra sự biến đổi gì trong không gian xung quanh không ? Trong quá trình phát triển của vật lí, vấn đề này đã được giải đáp bằng nhiều cách. Nhìn chung lại, có hai cách trả lời trái ngược nhau. Một thuyết cho rằng các vật có thể tương tác lên nhau không cần có các vật thể hay môi trường trung gian, lực có thể truyền từ vật này sang vật khác một cách tức thời. Như vậy, vận tốc truyền tương tác là lớn vô hạn. Khi chỉ có một điện tích, thì nó không gây ra một sự biến đổi nào ở không gian xung quanh. Ðó là nội dung của thuyết tương tác xa. Thuyết thứ hai cho rằng lực tương tác giữa các vật thể chỉ có thể truyền từ vật này sang vật kia nhờ một môi trường nào đó bao quanh các vật. Lực tương tác được truyền liên tiếp từ phần này sang phần khác của môi trường và với vận tốc hữu hạn gọi là vận tốc lan truyền tương tác. Khi chỉ có mặt một điện tích thôi, thì khoảng không gian bao quanh nó cũng chịu những biến đổi nhất định. Ðó là nội dung cơ bản của thuyết tương tác gần. Thuyết tương tác gần được Faraday nêu lên lần đầu tiên, sau đó, được Maxwell hoàn thiện và chứng minh bằng lý thuyết. Ngày nay, khoa học đã hoàn toàn xác nhận sự đúng đắn của thuyết tương tác gần. Trong sự tương tác giữa các điện tích, môi trường trung gian truyền tương tác là điện trường. Ðiện tích gây ra xung quanh nó một điện trường. Ðiện trường này lan truyền trong không gian với vận tốc hữu hạn. Trong chân không, vận tốc lan truyền của điện trường là 3.108 m/s, bằng vận tốc của ánh sáng. Một tính chất cơ bản của điện trường là khi có một điện tích đặt trong điện trường thì điện tích chịu tác dụng của lực điện. Dựa vào tính chất cơ bản này của điện trường, ta biết được sự có mặt và sự phân bố của nó.            2. Cường độ điện trường TOP a. Véc tơ cường độ điện trường. Ðể đặc trưng cho điện trường về mặt định lượng, người ta dùng một khái niệm vật lí mới là cường độ điện trường. Muốn xác định cường độ điện trường, ta dựa vào tính chất cơ bản của điện trường là tác dụng lực lên các điện tích đặt trong nó. Vậy cường độ điện trường tại một điểm là một đại lượng đặc trưng cho điện trường về phương diện tác dụng lực, có giá trị bằng lực tác dụng lên một đơn vị điện tích dương đặt tại điểm đó và có hướng là hướng của lực này. b. Cường độ điện trường gây bởi một hệ điện tích. Giả sử, ta có hệ các điện tích điểm Q1, Q2, Q3. Ta hãy xác định cường độ điện trường do các điện tích này gây ra tại điểm P trong không gian. Ðặt tại P một điện tích điểm q. Theo nguyên lí chồng chất các lực điện, lực tác dụng lên điện tích q là: Biểu thức (11.9) biểu thị nguyên lí chồng chất của điện trường. Nội dung của nó là "Vectơ cường độ điện trường gây bởi một hệ điện tích điểm tại một điểm nào đó bằng tổng hình học các vectơ cường độ điện trường do từng điện tích riêng biệt gây ra tại điểm đó". Nguyên lí chồng chất được kiểm nghiệm thông qua thực nghiệm. Ứng dụng những kết quả trên đây, ta có thể tính được cường độ điện trường gây bởi một hệ điện tích bất kì: Nếu hệ gồm những vật mang điện có kích thước nhỏ so với khoảng cách giữa chúng và điểm mà ta xét điện trường thì ta có thể coi mỗi vật như một điện tích điểm. Ta tính cường độ điện trường gây ra bởi từng điện tích và cả hệ điện tích theo (11.10). Nếu vật mang điện có kích thước lớn, ta không thể coi đó là điện tích điểm được. Mặt khác ta cũng không thể coi điện tích của vật như là một tập hợp của nhiều điện tích riêng rẽ, vì rằng những hạt mang điện ở trong vật có kích thước và khoảng cách giữa chúng rất nhỏ so với kích thước vĩ mô của vật. Trong trường hợp này, ta coi như điện tích phân bố liên tục trong vật và cần xét sự phân bố điện tích đó. Nói chung, điện tích phân bố không đồng đều trên vật, vì thế mật độ điện thể tích r thay đổi từ điểm này sang điểm khác của vật và là hàm của toạ độ p = p(x, y, z) . Tại một điểm nào đó trong vật mang điện, trong thể tích vô cùng bé (nguyên tố thể tích) dV có chứa điện tích: dq = r dV (11.12) Trong nhiều trường hợp, ta sẽ gặp những vật mang điện mà điện tích chỉ phân bố thành một lớp mỏng trên bề mặt của vật. Khi đó, ta cần biết sự phân bố điện tích ở trên mặt vật và xét mật độ điện diện tích (hay mật độ điện mặt) (, được xác định bởi biểu thức: Khi đã biết được sự phân bố điện tích ở trên các vật, ta có thể tính được cường độ điện trường do các vật đó gây ra. Muốn thế, ta tưởng tượng chia vật (hoặc các vật) ra thành những phần nhỏ, sao cho mỗi phần mang điện tích dq1 có thể coi như là một điện tích điểm. Cường độ điện trường do điện tích này gây ra tại một điểm P nào đó là: Với E là vectơ khoảng cách từ điểm đặt dV đến điểm đang xét P. Bằng phương pháp trên, ta có thể tính được cường độ điện trường gây bởi một hệ điện tích bất kì, nếu ta biết được sự phân bố điện tích của hệ.  Tính Cường độ điện trường gây bởi một đĩa tròn tích điện đều. Ta chia đĩa thành những hình vành khăn có bán kính trong là R, bán kính ngoài là R+dR. Phần diện tích dS trên hình vành khăn giới hạn bởi góc d( có mang điện tích: dq = sdS = sRdRdj III. ÐƯỜNG SỨC-ÐIỆN THÔNG            1. Ðường sức. TOP Ðường sức điện trường là đường vẽ trong điện trường, mà tiếp tuyến với nó ở mỗi điểm trùng với phương của vectơ cường độ điện trường tại điểm đó. Chiều của đường sức là chiều của vectơ cường độ điện trường (Hình 11.5) Từ định nghĩa đó, đường sức xác định hướng của vectơ cường độ điện trườngĠ tại mỗi điểm mà nó đi qua, do đó xác định hướng của lực tác dụng lên một điện tích đặt tại đó. Tính chất : Vì cường độ điện trườngĠ ở mỗi điểm chỉ có một giá trị xác định về độ lớn và về hướng, nên những đường sức không bao giờ cắt nhau. Chúng chỉ xuất phát và kết thúc ở các điện tích hay ở vô cực. Như vậy, đường sức của trường tĩnh điện không khép kín. Ðường sức theo định nghĩa trên chỉ mới biểu diễn về phương và chiều, mà chưa xác định được về độ lớn. Qua bất kì điểm nào cũng vẽ được đường sức, vì thế số lượng đường sức vẽ trong điện trường không có gì giới hạn cả. Ta đưa vào điều kiện liên hệ giữa độ lớn của cường độ điện trường với độ nhặt thưa của đường sức để khi nhìn vào hình vẽ, có thể dễ dàng thấy được độ lớn của cường độ điện trường trong không gian. Với điều kiện như vậy, mức độ nhặt thưa của đường sức (mật độ đường sức) liên hệ chặt chẽ với cường độ điện trường. Nơi nào cường độ điện trường lớn thì đường sức nhặt (có mật độ lớn), nơi nào cường độ điện trường nhỏ thì đường sức thưa. Ðường sức của điện từ trường đều (chẳng hạn gây bởi một mặt phẳng rộng vô hạn, tích điện đều) là những đường thẳng song song cách đều nhau. Ðường sức của điện tích điểm đặt cô lập là những đường thẳng hướng theo bán kính (Hình 11.7a và b). Ðường sức đi ra xa điện tích nếu điện tích là dương và đi về phía điện tích nếu là âm. Do đó, có thể coi điện tích dương là chỗ bắt đầu, còn điện tích âm là chỗ kết thúc của các đường sức. Với hệ hai điện tích điểm bằng nhau về độ lớn, cùng dấu và trái dấu, đường sức có dạng như trên (Hình 11.7 c và d) Ðường sức của điện trường có thể xác định một cách giải tích nếu ta tìm được phương trình biểu diễn nó. Tuy nhiên, trong những trường hợp phức tạp, người ta dùng các phương pháp thực nghiệm để xác định đường sức.            2. Ðiện thông TOP IV. ÐỊNH LÍ OSTROGRADSKI-GAUSS            1. Ðịnh lí TOP Ðiện thông không phụ thuộc vào bán kính mặ