Bài giảng Vật lí đại cương - Chương 3: Cơ học vật rắn - Lê Công Hảo

CƠ HỌC VẬT RẮN PGS. TS. Lê Cơng Hảo MỤC TIÊU Sau bài học này, SV phải : - Xác định được khối tâm các VR đồng nhất - Tính được mơmen quán tính của VR - Giải được bài tốn ĐLH VR đơn giản CƠ HỌC VẬT RẮN Vật rắn (VR): + Là một hệ chất điểm. + Khoảng cách giữa các chất điểm khơng đổi trong quá trình chuyển động + Áp dụng được các qui luật CĐ hệ chất điểm vào CĐ vật rắn. 1. CHUYỂN ĐỘNG CỦA VR  Khi VR tịnh tiến, mọi điểm trên VR đều vạch ra các qũi đạo giống nhau với cùng một vận tốc. M N G M N G v v v a a a → → → = = = = 1 – Tịnh tiến: • Mọi điểm trên vật rắn: + Cùng vectơ vận tốc + Cùng vectơ gia tốc 2. Khối Tâm C Định nghĩa: Xem vật rắn như một hệ gồm n chất điểm. 1 1 n i i i C n i i m r r OC m → → → = = = =   m 1 m 3 m 2 C O 1r → 2r → 3r → Gr → + C được gọi là khối tâm của vật rắn nếu vị trí C thoả: 2. KHỐI TÂM C (“COM”) VR 0rdm = 1 - Định nghĩa: Nếu chọn gốc toạ độ trùng khối tâm C Khối tâm của hệ là điểm C thỏa mãn: 1 0 n i i i m r = = C m 1 m 3 m 2 M 1 M 2 M 3 Nếu khối lượng vật rắn phân bố liên tục 1 0C M r rdm M = = 1 n i i M m = = * Đặc điểm của C: – Đặc trưng cho hệ; là điểm rút gọn của hệ. – Nằm trên các yếu tố đối xứng. * Phân biệt khối tâm và trọng tâm: – Trọng tâm là điểm đặt của trọng lực – Trên thực tế C trùng với trọng tâm G Toạ độ khối tâm: * Hệ chất điểm: * Vật rắn:             =  === m zm , m ym , m xm G)z,y,x(G n 1i ii n 1i ii n 1i ii GGG           =  m zdm , m ydm , m xdm G)z,y,x(G VRVRVRGGG * Động lượng của khối tâm : n i i c i c n i i dr m dr dt V dt m = =   , n n i i i he vati i n n n i i i i i i m v p P m m m = = =      , n he vati cc i p m v P   = =     1 c i i i r m r m =  1v 2v 3v 1m 2m 3m 11m v 22m v 3 3m v cP p= Đặc điểm khối tâm Gia tốc khối tâm 1 1 1 n n n i i i i i c i i i c n n n i i i i i i dv m m a F dv dt a dt m m m = = == = = =       1 n i i M m = = cF M a= 1 n i i F F = = Đặc trưng động lực học của vật rắn chuyển động tịnh tiến xem như đồng nhất với động lực học của khối tâm, tức của một chất điểm mà ta đã quen biết.→ Chỉ cần xét chuyển động quay của vật rắn. Chuyển động quay quanh trục của vật rắn Trong cïng kho¶ng thêi gian mäi ®iĨm cïng quay ®i gãc  Mäi ®iĨm cã cïng vËn tèc gãc =d/dt & gia tèc gãc =d/dt=d2/dt2 Vận tốc dài i i i v R v R a R    → → → =   = = Gia tốc tiếp tuyến PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH  M O Hình 4.7: Lực tác dụng lên vật rắn quay quanh trục //F  tF  F  ⊥F  nF  ω  Xét vật rắn quay quanh một trục cố định dưới tác dụng của ngoại lực Ta cĩ thể phân tích thành các thành phần khác nhau: F  ⊥+= FFF //  nt FFF  +=⊥Mà: Vậy: nt// FFFF  ++= PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH 4.2.1. Mơmen động lượng của vật rắn quay ➢ Mơmen động lượng của chất điểm thứ i đối với trục quay là: iii pxrL  = Hình 4.8 mi   M iL iF ip ▪ hướng theo phương tiếp tuyến. ▪ hướng theo phương bán kính. iii vmp  = ir  hướng theo trục quay iL  ir 4.2. Phương trình cơ bản của vật rắn quay : il i ir iv im  . ii iv r =   . .i i i iiiL r p r m v   = =    ,i i ir v p⊥ ( ) 2i i i i i i i i i i iL m rv m r r m r = = = 2 2 i i i i i iL m r m r = = i = +Vật rắn đang quay quanh trục . Xét chất điểm im ivcó vận tốc Xác định véc tơ i + Momen động lượng của chất điểm,theo định nghĩa : Các chất điểm có cùng vận tốc góc : 2 2 i i i i i iL m r m r = = 2 i i i i i L L m r= =  2 i iI m r= Momen động lượng của vật rắn quay đối với trục  : L I L I = → = ( ) ( ); tt L L = = d L d I I dt dt  = = d L M dt = M I= Đặt : Momen quán tính của vật đối với trục  Trường hợp tổng quát : Đặt Phương trình cơ bản của chuyển động quay vật rắn . 4.3.1. Cơng thức MƠMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN ĐƠN GIẢN ➢ Mơmen quán tính với một trục quay xác định cho vật rắn gồm các chất điểm phân bố rời rạc:  = = n 1i 2 iiRmI ➢ Khi vật rắn gồm các chất điểm phân bố liên tục: dmRI m 2 = 4.3.1.1.Mơmen quán tính I của một thanh đồng chất đối với trục quay vuơng gĩc với thanh tại trung điểm Bài tốn Cho một thanh cĩ chiều dài ℓ, khối lượng m, tiết diện S. Tìm mơmen quán tính I đối với trục quay  là trung trực của thanh. Giả sử thanh nằm dọc theo trục Ox. MƠMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN ĐƠN GIẢN Hình 4.10: Mơmen quán tính của thanh  o x x+ dx dm Chọn dm như hình vẽ. Gọi  là khối lượng riêng của thanh thì dm = Sdx. dmxI m 2 = 3 2 2 2 ρSl 12 1 dxρSxI ==  −   Với Sl = m là khối lượng thanh. Vậy: = 2 1 I ml 12 Với R = x, ta cĩ: 4.3.1.2 Mơmen quán tính I của vịng trịn đối với trục quay là trục của vịng trịn Bài tốn Cho vịng trịn tâm O bán kính R, khối lượng m. Tìm mơmen quán tính của vịng trịn đối với trục quay là trục của vịng trịn. Hình 4.11: Mơmen quán tính của vịng trịn O R dm  Chia vịng trịn ra làm nhiều phần nhỏ cĩ khối lượng dm, vì ở trên vịng trịn nên dm cách tâm O một khoảng bằng bán kính R. Vậy ta cĩ: = 2I mR dmRI m 2 = 2 m 2 mRdmRI ==  Vậy: 4.3.1.2 Mơmen quán tính I của vịng trịn đối với trục quay là trục của vịng trịn 4.3.1.3 Mơmen quán tính I của một đĩa trịn đối với trục quay là trục của đĩa Bài tốn Cho một đĩa trịn mỏng tâm O bán kính R, khối lượng m. Tìm mơmen quán tính của đĩa trịn đối với trục quay là trục của đĩa. Hình 4.13: Mơmen quán tính của đĩa trịn  R r dr Chia đĩa thành nhiều vành trịn tương đương những vịng trịn cĩ bán kính trong r, bán kính ngồi r + dr, diện tích của vành là dS = 2rdr và khối lượng của nĩ là dm = dS, với  là khối lượng trên đơn vị diện tích. 4.3.1.3 Mơmen quán tính I của một đĩa trịn đối với trục quay là trục của đĩa dmrdI 2= rdr.2dSdm == = I  R04 R 0 3 r 2 drr2   = Với m = R2 nên: = 2 mR I 2 4.3.1.4 Mơmen quán tính của trụ rỗng, trụ đặc Trụ rỗng Chia trụ rỗng thành n vịng trịn, mỗi vịng cĩ mơmen quán tính 2 i 2 iii RmRmI == 2 n 1i i 22 i n 11 i n 1i i mRmRRmII ====  === Mơmen quán tính của trụ rỗng: 2mRI =Vậy: Trụ đặc Chia hình trụ đặc thành n đĩa trịn, mỗi đĩa cĩ mơmen quán tính: 2 i 2 iii Rm 2 1 Rm 2 1 I == Mơmen quán tính của hình trụ đặc:  === === n 1i i 22 i n 11 n 1i i mR 2 1 Rm 2 1 II Vậy: 2mR 2 1 I = dzr z O Hình 4.13 H r r’ 4.3.1.5 Mơmen quán tính của các vật trịn xoay Bài tốn Tính mơmen quán tính của vật trịn xoay đối với trục Oz khi biết sự phụ thuộc hàm r(z) và mật độ . Khái niệm: Vật trịn xoay là những vật mà bề mặt của chúng được tạo thành bởi sự quay của một đường cong phẳng quanh một trục nằm trong mặt phẳng chứa đường cong đĩ. ➢ Ta chia vật thành những đĩa mỏng cĩ chiều cao dz. Mơmen quán tính của mỗi đĩa được tính dzπρr 2 1 dmr 2 1 dI 42 == Với dm = r 2dz là khối lượng của đĩa. ➢ Vậy mơmen quán tính của hình trịn xoay: = =  H 4 vtx 0 1 I dI πρ r dz 2 Tính mơmen quán tính của hình nĩn và hình cầu. 4.3.1.5 Mơmen quán tính của các vật trịn xoay Hình nĩn O H A z z Hình 4.14 R r ➢ Đối với hình nĩn thì hàm r(z) cĩ dạng: z H R r = 5 H H R πρ 2 1 dzz H R πρ 2 1 I 54H 0 4 4       =      =  ➢ Khối lượng hình nĩn: m = R2H ➢ Vậy: = 23 I mR 10 Hình cầu O z z Hình 4.15 r R Từ hình vẽ ta cĩ: r2 = R2 – z2 ( ) 5555 R R 222 R R 4 πρR 15 8 R 5 1 R 3 2 Rπρ dzzRπρdzrπρ 2 1 I =      +−= −==  −− Với khối lượng quả cầu: 3πR 3 4 ρm = Vậy: = 2 2 I mR 5 Tĩm tắt Mơmen quán tính của một số vật 4.3.2. Định lý Steiner – Huyghens cho mơmen quán tính I đối với một trục bất kỳ khơng qua khối tâm Định lý Steiner – Huyghens 2 C maII += Với  : trục quay bất kỳ khơng qua khối tâm c: trục quay qua khối tâm của vật và song song với  I : mơmen quán tính của vật rắn đối với trục  Ic: mơmen quán tính của vật rắn đối với trục ∆c m : khối lượng của vật rắn a : khoảng cách giữa hai trục  và ∆c CHỨNG MINH ➢ Xét tiết diện S của vật rắn vuơng gĩc với hai trục  và C. ➢ Khoảng cách từ khối lượng vi phân dm đến các trục đi qua C và A lần lượt là và .r  r  a C Hình 4.16 AC O C A Hình 4.17: Tiết diện S của vật rắn vuơng gĩc với hai trục  và C dm B ➢ Vậy ( )  +== dmra2-dmadmrdmrI 222  Do đĩ: ( ) ra2-arr 222  += a-rr  =Từ hình vẽ ta cĩ: Mơmen quán tính IC của vật đối với trục đi qua khối tâm C = ma2 Mơmen quán tính của vật đối với trục đi qua A ( )Crma2  = 0rC =  là bán kính véctơ xác định vị trí của khối tâm C, mà gốc véctơ này chính là C, nên Cr  Do đĩ: 2C maII += ❖ Ví dụ: Tính mơmen quán tính của thanh với trục quay khơng qua khối tâm. 2 C maII += 222 ml 3 1 ml 4 1 ml 12 1 I =+= 1I 2I Hệ cô lập gồm 2 “vật quay” : 1 2 1 21 2L I I const = + = 0 0L = ; Thời điểm đầu tiên hệ đứng yên : 0 1 21 2 0L L I I = = + = 1 21 2I I = − 1 2 1 2 I I  = − Bảo tòan momen động lượng : Thí nghiệm trên ghế Giucopxki: ; Người cho bánh xe quay: 1 Ghế quay ngược chiều với vận tốc góc 2 0M L I const= → = = Vũ công và định luật bảo tòan momen động lượng Ngọai lực tác dụng lên vũ công là trọng lực. Trọng lực song song với trục quay . + Vũ công dang thẳng tay : iR I    Ví dụ Một đĩa mài có momen quán tính 1,2 x10 -3 kg.m 2 .được gắn vào một cái khoan điện, khoan này cho nó một momen quay 16 Nm. Tìm: a/ Vận tốc góc và b/ momen động lượng của đĩa sau khi động cơ khởi động 33 ms. Phương trình cơ bản của chuyển động quay : 4 2 3 16 1,33.10 / 1,2.10 M rad s I  − = = = 0t t   = + = 41,33.10 t = 333.10t s−= 4 31,33.10 .33.10 440 /rad s −= = ( )3 21,2.10 .440 0,528 /L I kgm s −= = = Vận tốc góc: Quay từ nghỉ : 0 0 = a/ Vận tốc góc của đĩa lúc b/ Momen động lượng lúc đó là : Công của momen lực và động năng của vật rắn quay r ds d tF . . .t tdA F ds r F d= = ds rd= . tM r F= tr F⊥ .dA M d= 2 1 .A M d   =  . dA d P M M dt dt  = = = M  .P M = 0 lim t A dA P t dt →  = =  . dA d s P F F v dt dt = = = Xét vật rắn quay quanh trục cố định  ,lực tiếp tuyến nằm trong mặt phẳng quỹ đạo. Công vi phân của lực tiếp tuyến là: Với chuyển động của chất điểm : tF (4.8) Động năng của vật quay : .dA M d= . . d d dA I d I d Id I d dt dt        = = = = M I= d dt   = d dt   = 2 2 I dA d   =     I const= 2 1 2 2 2 2 1 0 2 2 2 A I II A dA d      = = = −      2 2 dq I K  = 2 21 1 2 2 tK mv I= + Nếu : dA W=  Nếu vừa quay vừa tịnh tiến → Động năng tòan phần : Ví dụ Một con gián khối lượng m bò ngược chiều kim đồng hồ theo mép một cái khay nhiều ô (một đĩa tròn lắp trên một trục thẳng đứng), bán kính R, momen quán tính I, với ổ trục không ma sát.Vận tốc của gián đối với trái đất là v, còn khay quay theo chiều kim đồng hồ với vận tốc góc  0 , con gián tìm được một mẫu vụn bánh mì ở mép khay và tất nhiên, nó dừng lại. a/ Sau khi gián dừng lại,vận tốc cái khay là bao nhiêu ? b/ Cơ năng có được bảo toàn không ? Ngoại lực ở đây chỉ là trọng lực theo phương trục quay.Theo phương vuông góc với trục quay không có ngoại lực→Momen quay M = 0  L (hệ ) = const - Vận tốc gián là v → Vận tốc góc của gián đ/v trái đất là: g v R  = 2 0 0( )g g v L I I mR I R   = + − = − 0mRv I= − 2 gI mR= - Kh/l gián là m,cách trục đĩa là R →Momen quán tính của gián đ/v trục quay là : - Momen động lượng của hệ khi gián đang bò là : (1) (1) (2) 0 0 v a/ - Momen động lượng của hệ khi gián dừng lại : ( ) ( )' 2gL I I I mR = + = + ( )' 2 0L I mR L mRv I = + = = − 'L L=-Bảo toàn momen động lượng : 0 2 mRv I I mR   − = + (3) (4) ?? Nếu  cùng dấu với  0 thì hệ quay cùng chiều ban đầu của đĩa (theo chiều kim đồng hồ ). b / Cơ năng hệ có bảo toàn không ? : Xét  K = 0 hay  0 ? 1 ?g dK k K= + = 2 0 1 1 2 2 mv I= + 2 ?K = ( ) 2 1 2 gI I = + ( )2 02 1 2 mRv I I mR I mR −  = +  + ( ) ( ) 2 0 2 1 2 0 2 mI v R K K K I mR +  = − = − + 2 1K K Động năng hệ khi gián đang bò : Khi gián dừng lại : Cơ năng (động năng ) hệ bị giảm . U = 0  =? CÁC HỆ THỨC TƯƠNG ĐƯƠNG GIỮA CHUYỂN ĐỘNG TỊNH VÀ CHUYỂN ĐỘNG QUAY Chuyển động tịnh tiến Chuyển động quay m 2 vat i iI m r= v a   p mv= .l r p =   iP p= iL l= F ma= M I= d P Fdt= d L Mdt= .M r F =  F P const= L const= F const= M const= m v p mv= v  l im