Bài giảng Vật lí đại cương - Vật lý hiện đại - Chương 3: Phương trình Schrödinger - Lê Công Hảo

Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER PGS.TS. Lê Công Hảo Năm 1926, nhà vật lý người Áo Erwin Schrödinger đã đưa ra một phương trình cho phép xác định được hàm sóng mô tả trạng thái của một hệ lượng tử. Erwin Schrödinger (1887-1961) Phương trình này đóng một vai trò căn bản trong cơ học lượng tử, tương tự như phương trình Newton trong cơ học cổ điển. Khi giải phương trình Schrödinger, chúng ta có thể tìm được hàm sóng  và từ đó ta có thể tính được xác suất để hệ có các tọa độ, động lượng, v.v.. nào đó. GIỚI THIỆU 3.1. PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER 3.1.1. Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian ➢ Hạt có khối lượng m, di chuyển trong một trường lực ➢ Ở mỗi thời điểm và ứng với mỗi vị trí hạt có một thế năng nào đó, U = U(x, y, z, t). ➢ Phương trình Schrödinger cho phép ta tìm được hàm sóng khi biết hàm thế năng này. − + =   2 2m x y z t U x y z t i x y z t t  ( , , , ) . ( , , , ) ( , , , )  i là số phức.  là toán tử Laplace.     = + +       2 2 2 2 2 2x y z Trong hệ tọa độ Descartes, 3.1.1. Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian Trong trường hợp một chiều, khi hàm sóng chỉ phụ thuộc vào tọa độ x và thời gian t − + =   2 2 22m x t x U x t x t i x t t       ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) Khi U(x, t) = 0, hạt chuyển động không chịu tác động của trường thế nào ta bảo hạt chuyển động tự do: − =   2 2 22m x t x i x t t     ( , ) ( , ) 3.1.2. Điều kiện của hàm sóng o Hữu hạn, nếu không thì điều kiện chuẩn hóa không được thỏa mãn, o Đơn trị, vì ứng với mỗi trạng thái, tại một vị trí và tại một thời điểm chỉ có một xác suất tìm thấy hạt, o Đạo hàm bậc hai của  phải hữu hạn, muốn vậy thì  và đạo hàm bậc nhất của nó theo tọa độ phải liên tục. 3.1.3. Phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian (trạng thái dừng) Thế năng U của hạt không phụ thuộc tường minh vào t, thì có thể viết thế năng dưới dạng U = U(x, y, z). ( ) ( )       −=  iEt zyxtzyx exp.,,,,,  Tách (x, y, z, t) thành hai thành phần − + = 2 2m x y z U x y z E x y z( , , ) . ( , , ) ( , , )  Phương trình Schrödinger cho trạng thái dừng ( ) ( ) ( )xExxU dx d m2 2 22 =+  −    ( ) 0xUEm2 dx d 22 2 =−+   Hạt chuyển động một chiều 3.2. HẠT TRONG HỐ THẾ MỘT CHIỀU Bên ngoài U lớn nên hạt không thể nhảy ra → hạt chỉ tồn tại bên trong ( ) 0xE m2 dx )x(d 22 2 =+   2 2 mE2k  =( ) 0xk dx )x(d 2 2 2 =+  ( ) )cos(.)sin(. kxBkxAx +=Nghiệm tổng quát 3.2. HẠT TRONG HỐ THẾ MỘT CHIỀU 1. Sin(x) vaø Cos(x) höõu haïn 2. Lieân tuïc: ψ(0) = ψ(a) = 0 ψ(0) = A sin(k0) + B cos(k0) = 0  B = 0  ψ(x) = A sin(kx) ψ(a) = A sin(ka) = 0  sin(ka) = 0  k = πn/a, n = 1, 2, 3, Điều kiện của hàm sóng Hằng số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng ( ) = a 0 2 1dxx  = a 0 22 1dx)a/x..n(sinA a/2A = )a/x..nsin(a/2)x(n =   −= n4 ]n2sin[a 2 a dx)a/x..n(sin a 0 2 Hàm sóng trong giếng thế phụ thuộc vào n 3.2. HẠT TRONG HỐ THẾ MỘT CHIỀU ( ) 2 2 2n n n 2 2 2 2 2 2 n 2 2 2mE k n k n a a h E n n 2ma 8ma      =   =         = =        Năng lượng của hạt bị lượng tử hóa Hạt chỉ có thể có những năng lượng xác định chứ không thể có mọi năng lượng tùy ý n = 1 (trạng thái cơ bản) ta có giá trị năng lượng bé nhất 2 22 1 ma2 E  = Mật độ xác suất tìm thấy hạt trong hố thế ứng với hàm sóng n ( )       = a xn a xn   2 2 sin 2 )12( 2 2 22 1 +=−= + n ma EEE nn  Khoảng cách giữa 2 mức liên tiếp Giải bài toán hạt chuyển động vượt qua rào thế có U cao hơn năng lượng của nó. Theo cô hoïc löôïng töû E < Uo, ta thaáy haït vaãn coù khaû naêng xuyeân qua raøo theá theo moät hieäu öùng goïi laø: Hieäu öùng ñöôøng ngaàm. 3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM Mieàn I & III: Mieàn II: Phöông trình Schrodinger 3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM E m2 k,0k dx d 2 2 1 2 12 2  ==+   EUm2k,0k dx d 02 2 2 2 22 2 −==−   xik 1 xik 1I 11 eBeA −+= xk 2 xk 2II 22 eBeA += − )ax(ik 3 )ax(ik 3III 11 eBeA −−− += Nghiệm của của các phương trình vi phân Hàm eikx mô tả một sóng truyền từ trái sáng phải ñaëc tröng cho soùng truyeàn qua raøo theá moâ taû soùng phaûn xaï töø voâ cöïc trôû veà. Caùc haèng soá : A i , B i ñöôïc goïi laø caùc bieân ñoä soùng. Vì raèng ôû voâ cöïc khoâng coù söï phaûn xaï soùng, do ñoù ta ñaët B 3 = 0 1iK (x-a) 3A e 1-iK (x -a) 3B e 3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM • Tính heä soá xuyeân raøo: Heä soá truyeàn qua raøo D laø tæ soá giöõa bình phöông bieân ñoä soùng truyeàn qua haøng raøo vaø bình phöông bieân ñoä soùng tôùi. 3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM Hệ số phản xạ R được định nghĩa là tỉ số giữa bình phương biên độ sóng phản xạ và sóng tới 2 1 3 2 1 2 3 A A A A D == 2 1 1 2 1 2 1 A B A B R == Caên cöù vaøo ñieàu kieän bieân (x = 0 & x = a): ( ) ( ) ( ) ( ) ax III ax II IIIII 0x II 0x I III dx d dx d aa dx d dx d 00 == ==  =  =  =  = 3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM Ta coù theå ruùt ra caùc heä thöùc sau: A 1 + B 1 = A 2 + B 2 ik 1 ( A 1 – B 1 ) = -k 2 ( A 2 – B 2 ) A 2 e -k2a + B 2 e k 2 a = A 3 - k 2 ( A 2 e -k2a – B 2 e k2a)= ik 1 A 3 0)ak2exp( )n1( n16 D 222 2 − + =n k k E U E = = − 1 2 0 ak 32 2eA 2 n.i1 A − = ak 32 2eA 2 n.i1 B −+= 3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM 0D exp[ (2a / ) 2m(U E)] − − 0 2 2.m(U E) D exp( 2.T.a), T − = − = Hạt xuyên qua rào Nếu hiệu năng lượng cho là E-U0=1,28.10 -31 J, khi đó ta có thể dùng lý thuyết để tính sự phụ thuộc của hệ số truyền qua D vào độ rộng hố thế a. a(m) 10-10 1,5.10-10 2.10-10 5.10-10 D 0,1 0,03 0,008 5.10-7 Ứng dụng: 1- Giải thích phát xạ lạnh electron trong kim loại 2-Phân rã hạt anpha từ nhân có 2 prôtôn và 2 Nơtrôn. 3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM 3.4. . DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA ➢ Một vi hạt thực hiện dao động nhỏ điều hòa xung quanh vị trí cân bằng là một ví dụ về dao động tử điều hòa lượng tử. ➢ Dao động tử điều hòa là một hiện tượng rất quan trọng của vật lí nói chung và cơ học lượng tử nói riêng. Kết qủa về mức năng lượng 1- Các năng lượng cách đều nhau một đoạn 2- Mức năng lượng thấp nhất có giá trị dương và là năng lượng ở nhiệt độ T = 0K. 3- Mức thứ n bất kỳ có giá trị = E =  2 1 E0 += ) 2 1 n(E n n = 0, 1, 2,...