4a. Lưu số của trường tĩnh điện - 2
• Công thực hiện khi điện tích
dịch chuyển trên một đường
kín (C) thì bằng không.
• Vậy lưu số điện trường theo
một đường kín luôn luôn
bằng không:
• Trường tĩnh điện là một
trường không có xoáy: đường
sức không khép kín.
• So sánh với dòng chảy: minh
họa
4b. Rotation – Định nghĩa
• Xét một đường cong kín (C) nhỏ bao quanh một
điểm M(x, y, z).
• Gọi diện tích giới hạn trong (C) là ∆S, pháp vectơ
của mặt phẳng trong (C) là n, và lưu số của điện
trường trên (C) là ∆Γ.
• Rotation của điện trường ở M, ký hiệu là rotE,
được định nghĩa như sau:
9 trang |
Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 274 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Vật lý 1 - Chương 8: Điện thế - Lê Quang Nguyên, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Điện thế
Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen
nguyenquangle@zenbe.com
Nội dung
1. Công của lực tĩnh ñiện
2. Thế năng tĩnh ñiện
3. Điện thế
4. Lưu số của trường tĩnh ñiện
5. Bài tập áp dụng
1. Công của lực tĩnh ñiện – 1
• Xét ñiện tích thử q0
chuyển ñộng trong
ñiện trường tạo bởi q,
từ M ñến N, theo
ñường cong (C).
• Công của lực tĩnh
ñiện là:
∫
→
⋅=
NMC
MN rdEqW
)(
0
q
dr
F = q0E
M
N
q0 (C)
E
1. Công của lực tĩnh ñiện – 2
• Phân tích vectơ dịch chuyển
dr thành hai thành phần
vuông góc và song song với
ñiện trường (phương bán
kính r).
• Chỉ có thành phần song
song có ñóng góp vào công:
q0E
q0
rd
q
dr
EdrqrdEqW 00 =⋅=
δ
2020
r
drqkqdr
r
qkqW ==δ
dr┴
1. Công của lực tĩnh ñiện – 3
• Ta có thể viết lại biểu thức trên như sau:
• Suy ra:
• Công của lực tĩnh ñiện không phụ thuộc ñường ñi,
• chỉ phụ thuộc vị trí ñầu và cuối.
• Kết quả trên cũng ñúng với một ñiện trường bất
kỳ.
−=
r
qqkdW 0δ
NM
MN
r
qqk
r
qqk
r
qqkWW 000 −=
∆−== ∫δ
2a. Thế năng tĩnh ñiện – 1
• Cho ñiện tích thử q0 chuyển ñộng trong một ñiện
trường từ M ñến N, theo ñường cong (C).
• Công của lực tĩnh ñiện là:
∫
→
⋅=
NMC
MN rdEqW
)(
0
dr
F = q0EM
N
E
q0
(C)
2a. Thế năng tĩnh ñiện – 2
• Công của lực tĩnh ñiện không phụ thuộc ñường ñi,
chỉ phụ thuộc vào vị trí ñầu và vị trí cuối.
• Do ñó người ta có thể ñịnh nghĩa thế năng tĩnh
ñiện U của hệ (ñiện tích thử + ñiện trường):
• U là một hàm của vị trí; tích phân ñược thực hiện
theo một ñường cong bất kỳ nối M và N.
• UM − UN = −∆U là ñộ giảm thế năng tĩnh ñiện
giữa M và N. Thế năng biến ñổi thành công.
∫ ⋅=−
N
M
NM rdEqUU
0
2a. Thế năng tĩnh ñiện – 3
• Nếu chọn thế năng tại một ñiểm P nào ñó bằng
không (chọn P làm gốc thế năng) thì thế năng tĩnh
ñiện tại ñiểm M là:
• Tích phân ñược thực hiện theo một ñường cong
bất kỳ nối M và P.
∫ ⋅=
P
M
M rdEqU
0
2b. Thế năng của hai ñiện tích ñiểm – 1
• Xét hai ñiện tích ñiểm q1 and q2 cách nhau một
khoảng r.
• Theo công thức trên thế năng tĩnh ñiện của hệ là:
• E1 là ñiện trường tạo bởi q1.
∫
∞
⋅=
r
rdEqU
12
Gốc thế năng ở ∞, tích phân
thực hiện trên ñường qua hai
ñiện tích, từ r tới ∞.
q1
r
E1q2
dr
∞
2b. Thế năng của hai ñiện tích ñiểm – 2
• Suy ra:
• Để tạo nên một hệ hai ñiện tích ñiểm, năng lượng
cần cung cấp ít nhất phải bằng thế năng tĩnh ñiện
của hệ.
∫∫
∞∞
=
⋅
=
rr
r
drqkq
r
rdrqkqU 221321
r
qqkU 21=
2c. Thế năng tĩnh ñiện của một hệ ñiện tích ñiểm
• Xét một hệ ñiện tích ñiểm bất kỳ.
• Năng lượng tĩnh ñiện của hệ bằng tổng năng
lượng tĩnh ñiện của tất cả các cặp ñiện tích thuộc
hệ.
• (i, j) chỉ cặp ñiện tích qi, qj, cách nhau một
khoảng rij.
• U là năng lượng tối thiểu cần cung cấp ñể tạo nên
hệ.
∑=
),( ji ij
ji
r
qq
kU
3a. Điện thế
• Điện thế tại M ñược ñịnh nghĩa là:
• Điện thế chỉ phụ thuộc vào ñiện trường chứ không
phụ thuộc vào ñiện tích thử.
• Độ giảm ñiện thế giữa hai vị trí M và N trong
ñiện trường là:
∫ ⋅==
P
M
M
M rdEq
UV
0
∫ ⋅=∆−=−
N
M
NM rdEVVV
Đơn vị ñiện thế là J/C
hay Volt (V)
3b. Điện thế tạo bởi một ñiện tích ñiểm
• Điện trường do ñiện tích ñiểm q tạo ra:
• Nếu gốc thế năng P ở vô cùng và ñường lấy tích
phân là ñường thẳng thì:
3
r
rqkE
=
∫∫
∞
=
⋅
=
r
P
M
M
r
drkq
r
rdrkqV 23
r
qkVM = q r
EM
∞
dr
3c. Điện thế tạo bởi hệ ñiện tích ñiểm
• Điện thế tạo bởi một hệ ñiện tích ñiểm bằng tổng
ñiện thế của tất cả các ñiện tích ñiểm thuộc hệ.
• Nếu hệ là một phân bố ñiện tích liên tục,
• ta chia hệ làm nhiều phần nhỏ vi phân, sao cho
mỗi phần ñược coi như một ñiện tích ñiểm.
• Tổng sẽ ñược thay thế bằng tích phân.
3d. Tìm ñiện trường từ ñiện thế
• Độ giảm ñiện thế giữa hai ñiểm rất gần nhau:
• Mặt khác ta có:
• Suy ra:
dzEdyEdxErdEdV zyx ++=⋅=−
rdVdz
z
Vdy
y
Vdx
x
VdV ⋅=∂
∂
+∂
∂
+∂
∂
= grad
VE grad−=
z
VE
y
VE
x
VE zyx ∂
∂
−=∂
∂
−=∂
∂
−= ,,
3e. Mặt ñẳng thế – Định nghĩa
• Mặt ñẳng thế là tập hợp các ñiểm có cùng một
ñiện thế trong ñiện trường.
• Ví dụ, mặt ñẳng thế trong ñiện trường do một
ñiện tích ñiểm q tạo ra là các mặt cầu có tâm ñặt
tại q:
• Minh họa.
constzyxV =),,(
constrconst
r
qkV =⇔==
3e. Mặt ñẳng thế – Tính chất
• Điện trường vuông góc với mặt ñẳng thế,
• và hướng theo chiều giảm của ñiện thế.
• Khi một ñiện tích ñiểm dịch chuyển trên một mặt
ñẳng thế thì công của lực tĩnh ñiện bằng không.
4a. Lưu số của trường tĩnh ñiện - 1
• Cho một ñường cong (C) trong không gian có
ñiện trường, lưu số của ñiện trường trên (C) ñược
ñịnh nghĩa là:
∫ ⋅=Γ
)(C
C rdE
dr
E
E
(C)
4a. Lưu số của trường tĩnh ñiện - 2
• Công thực hiện khi ñiện tích
dịch chuyển trên một ñường
kín (C) thì bằng không.
• Vậy lưu số ñiện trường theo
một ñường kín luôn luôn
bằng không:
• Trường tĩnh ñiện là một
trường không có xoáy: ñường
sức không khép kín.
• So sánh với dòng chảy: minh
họa.
( )
0
C
E dr⋅ =∫
( )
0 0
C
q E dr⋅ =∫
4b. Rotation – Định nghĩa
• Xét một ñường cong kín (C) nhỏ bao quanh một
ñiểm M(x, y, z).
• Gọi diện tích giới hạn trong (C) là ∆S, pháp vectơ
của mặt phẳng trong (C) là n, và lưu số của ñiện
trường trên (C) là ∆Γ.
• Rotation của ñiện trường ở M, ký hiệu là rotE,
ñược ñịnh nghĩa như sau:
S
nE
S ∆
∆Γ
=⋅
→∆ 0
limrot
(C)
n
∆S
M
dr
4b. Rotation – Tính chất
• Hình chiếu của rotE trên một phương n là:
• Mật ñộ lưu số trên một ñường khép kín nhỏ
vuông góc với phương ñó.
n
M
rotE
rotE.n
4b. Rotation – Tính chất (tt)
• Đối với trường tĩnh ñiện thì lưu số trên một
ñường kín luôn luôn bằng không, nên:
• Người ta chứng tỏ ñược là rotE có dạng:
0rot =E
rot y xz z
y x
E EE EE i j
y z z x
E Ek
x y
∂ ∂∂ ∂
= − + − ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
+ − ∂ ∂
5a. Bài tập 1
Lưỡng cực ñiện là một hệ gồm
hai ñiện tích ñiểm +q và −q, ñặt
cách nhau một khoảng d.
Chọn trục z là trục ñi qua hai
ñiện tích ñiểm và ñặt gốc tọa ñộ
O ở ñiểm giữa của chúng.
Định nghĩa vectơ momen lưỡng
cực ñiện:
Vectơ d hướng từ −q ñến +q.
+q
–q
d
z
Odqp
=
5a. Bài tập 1 (tt)
Hãy tìm:
(a) Điện thế do lưỡng cực ñiện tạo ra ở khoảng
cách r lớn hơn nhiều so với d. Viết kết quả thu
ñược qua momen lưỡng cực ñiện.
(b) Điện trường từ biểu thức của ñiện thế.
5a. Trả lời BT 1 – 1
M
r
r+
r
–
θ
+q
–q
d
x
z
+
+ =
r
qkV
−
−
−=
r
qkV
5a. Trả lời BT 1 – 2
• Điện thế ở ñiểm M(r,θ):
• Khi r >> d ta có gần ñúng:
• Suy ra:
−
=
−=
−+
+−
−+ rr
rrkq
rr
kqV 11
2cos rrrdrr ≈≈−
−++− θ
22
coscos
r
pk
r
dkqV θθ ==
d
r+
r
–
θ
dcosθ
5a. Trả lời BT 1 – 3
• Trở lại tọa ñộ Descartes:
• Suy ra:
• Vậy:
rzzxr =+= θcos222
53
r
xzkp
x
VEx =∂
∂
−=
x
z
r
θ
( ) 23223 zx
zkp
r
zkpV
+
==
5
223
r
rzkp
z
VEz
−
=∂
∂
−=
5a. Trả lời BT 1 – 4
• Suy ra ñộ lớn của ñiện trường:
• Minh họa
22
4
22 3zr
r
kpEEE zx +=+=
θ23 cos31+=
r
kpE
5b. Bài tập 2
Đặt một lưỡng cực ñiện có momen lưỡng cực p
trong một ñiện trường ñều E. Hãy tìm:
(a) Thế năng tĩnh ñiện của lưỡng cực ñiện.
(b) Momen lực tĩnh ñiện tác ñộng lên lưỡng cực
ñiện.
5b. Trả lời BT 2 – 1
N
M
E
d
• Thế năng tĩnh ñiện:
• Thế năng này cực tiểu
khi momen lưỡng cực
ñiện song song cùng
chiều với ñiện trường
ngoài.
( ) ∫ ⋅−=−=−=
M
N
NMNM rdEqVVqqVqVU
dEqrdEqU
M
N
⋅−=−= ∫.
EpU
⋅−=
• Momen lực lên q và –q:
• Momen lực toàn phần:
• Momen lực này có xu
hướng quay dipole ñiện
sao cho p song song với
E.
5b. Trả lời BT 2 – 2
d
N
M
E
+qE
–qE O
rM
rN
EqrM
×=+τ
( )EqrN −×=−τ
( ) Errq NM ×−=τ
EpEdq
×=×=τ
5b. Bài tập 2 – Lò vi sóng
• Các phân tử nước trong thức
ăn là những lưỡng cực ñiện.
• Trong một ñiện trường xoay
chiều (tần số radio), các phân
tử nước dao ñộng ñể luôn luôn
ñịnh hướng momen lưỡng cực
của chúng theo ñiện trường.
• Sự ma sát giữa chúng với môi
trường chung quanh tạo nên
nhiệt làm chín thức ăn.
• Minh họa
p
p
H+ H+
O--
E
5c. Bài tập 3
• Một dây không dẫn ñiện, chiều dài L ñược tích
ñiện ñều với mật ñộ λ > 0. Tìm ñiện thế do thanh
tạo ra ở ñiểm M cách dây một khoảng d, nằm trên
ñường ñi qua một ñầu dây và vuông góc với dây.
d
M
L
5c. Trả lời BT 3 – 1
• Điện thế do một ñoạn vi phân dx ở tọa ñộ x tạo ra
ởM:
22 dx
dxk
r
dqkdV
+
==
λ
x
dx
d r
M
5c. Trả lời BT 3 – 2
• Điện thế toàn phần ởM:
∫∫ +
==
L
dx
dxkdVV
0
22λ
( )[ ]
0
ln 22
L
dxxkV ++= λ
++
=
d
dLLkV
22
lnλ