Bài giảng Vật lý 2 - Chương 4: Thuyết tương đối - Lê Quang Nguyên

Thuyết tương đối Biên soạn: Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com Nội dung 1. Hai tiên đề 2. Các hệ quả a. Thời gian dãn ra b. Chiều dài co ngắn lại c. Tính tương đối của sự đồng thời 3. Phép biến đổi Lorentz 4. Các hệ quả khác a. Quan hệ nhân quả b. Sự bất biến của khoảng không-thời gian c. Phép cộng vận tốc mới 5. Động lượng và năng lượng 1. Hai tiên đề – 1 • Các hiện tượng vật lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. • Vận tốc của ánh sáng trong chân không là một hằng số (c = 3.108 m/s), không phụ thuộc vào hệ quy chiếu và phương truyền. A. Einstein (1905) 1. Hai tiên đề – 2 • Nguyên lý tương đối Galilei: các hiện tượng cơ học diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. • Tiên đề 1 mở rộng nguyên lý tương đối cho mọi hiện tượng vật lý. • Thí nghiệm Michelson-Morley (1887): đo sự phụ thuộc của vận tốc ánh sáng vào trạng thái chuyển động của nguồn nhưng thất bại. • Do đó đã xác nhận tiên đề 2. 2a. Thời gian dãn ra – 1 • Xét một đồng hồ ánh sáng, • Một “tích tắc” là một lần ánh sáng đi từ dưới lên trên và phản xạ trở về. • Trong hệ quy chiếu gắn liền với đồng hồ, • thời gian của một “tích tắc” là: 0 2L t c ∆ = L 2a. Thời gian dãn ra – 2 • Trong hqc nhìn thấy đồng hồ chuyển động với vận tốc V : cΔt/2 VΔt/2 cΔt0/2 ( ) ( ) ( )2 2 20c t V t c t∆ = ∆ + ∆ 2a. Thời gian dãn ra – 3 • Vậy đối với quan sát viên nhìn thấy đồng hồ chuyển động, một tích tắc của đồng hồ là: • Theo quan sát viên nhìn thấy đồng hồ chuyển động, đồng hồ có nhịp điệu dãn ra. • Mọi đồng hồ khác cũng vậy. 0 2 21 t t V c ∆∆ = − 0t t∆ > ∆ (Theo tiên đề 1) 2 2 1 1 1 V c γ ≡ > − 2a. Thời gian dãn ra – 4 • Khi hai biến cố xảy ra tại cùng một nơi trong một hệ quy chiếu quán tính, • khoảng thời gian giữa chúng, đo trong hqc ấy, được gọi là thời gian riêng (Δt0). • Khoảng thời gian giữa hai biến cố đó, đo trong mọi hệ quy chiếu khác, đều lớn hơn thời gian riêng: • v là vận tốc giữa hai hệ quy chiếu. 0 02 21 t t t v c γ∆∆ = ≡ ∆ − Minh họa. 2a. Thời gian dãn ra – 5 • Chuyện Từ Thức thời hiện đại. • Từ Thức du hành đến một ngôi sao xa với vận tốc V = 0,9996c. Sau 3 năm thì trở về. • Theo người trên Trái Đất thì thời gian của chuyến du hành là: • Đã hơn 100 năm trôi qua trên Trái Đất! ( )( )35,36 3n 106,1nt∆ = = ( )21 1 0,9996 35,36γ = − = 0t tγ∆ = ∆ 2a. Thời gian dãn ra – 6 • Hạt muon đứng yên có thời gian sống là Δt0 = 2,200 μs. • Khi chuyển động với vận tốc V = 0,9994c, thời gian sống của muon sẽ dài ra. • Điều này đã được thực nghiệm kiểm chứng. 0,9994V cβ = = 21 1 28,87γ β= − = ( )( )0 28,87 2,200 63,51t t s sγ µ µ∆ = ∆ = = 2b. Chiều dài co ngắn lại – 1 • Chó Milou đang chạy chơi với vận tốc V thì thấy một khúc xương, • Milou đo thời gian Δt0 giữa hai lần đi qua hai đầu khúc xương. • Và suy ra chiều dài khúc xương là: L = VΔt0 VΔt0 và muốn đo chiều dài của nó. 2b. Chiều dài co ngắn lại – 2 • Tuy nhiên, theo Tintin thì thời gian giữa hai biến cố là: Δt = γΔt0 > Δt0 • Do đó chiều dài khúc xương là: L0 = VΔt > L • Suy ra: • Chiều dài vật chuyển động co ngắn lại. 2 2 0 1L L V c= − 2b. Chiều dài co ngắn lại – 3 • Chiều dài của một vật đo trong hqc quán tính gắn liền với vật được gọi là chiều dài riêng (L0). • Chiều dài của cùng vật đó, đo trong mọi hệ quy chiếu khác, đều nhỏ hơn chiều dài riêng: • v là vận tốc giữa hai hệ quy chiếu. 2 2 0 0 1 L L L v c γ = − ≡ 2c. Tính tương đối của sự đồng thời – 1 • Một xung sáng được phát ra từ giữa một toa tàu đang đi vào ga, và truyền về hai đầu toa. • Theo hành khách trên toa, hai tia sáng đạt tới hai đầu toa cùng một lúc. 2c. Tính tương đối của sự đồng thời – 2 • Theo người đứng dưới sân ga, tia sáng đi ngược chiều chuyển động của tàu đạt tới vách trước. • Vì vận tốc ánh sáng là không đổi về cả hai phía, và vì vách này tiến lại gặp tia sáng. • Hai biến cố xảy ra đồng thời trong một hqc, lại không đồng thời trong một hqc khác. Bài tập áp dụng 1 Một hạt không bền đi vào một máy dò và để lại một vệt dài 1,05 mm trước khi phân rã. Vận tốc hạt đối với máy dò là 0,992c. Thời gian sống riêng của hạt là bao nhiêu? Trả lời BT 1 • Thời gian sống của hạt đối với máy dò là: • Thời gian sống riêng luôn luôn ngắn hơn và xác định từ: t d V∆ = d là chiều dài của vệt 0 t t γ ∆∆ = 3 8 1,05 10 3,53 0,992 3 10 m t ps m s −×∆ = = × × 2 1 7,92 1 0,992 γ = = − 0 3,53 0,45 7,92 ps t ps∆ = = Bài tập áp dụng 2 Trong một đời người, liệu có thể du hành đến một thiên hà ở cách xa Trái Đất 23.000 năm ánh sáng hay không? Trả lời BT 2 – 1 • Gọi V = βc là vận tốc phi hành gia. • Ánh sáng mất 23.000 năm để bay đến thiên hà thì phi hành gia phải mất 23.000/β năm, theo thời gian trên Trái Đất. • Giả sử tuổi thọ trung bình của con người là 80 năm. • Phi hành gia muốn thực hiện chuyến bay trong 80 năm (thời gian riêng). Do đó: ( )0 23.000 80t t n nγ β= ∆ ∆ = 23.000 80 287,5γβ⇒ = = Trả lời BT 2 – 2 • Hay: • Giải phương trình trên ta được: • β = 0,998265393 • Cũng có thể lập luận như sau. • Phi hành gia phải chuyển động sao cho đối với ông ta khoảng cách 23.000 nas (chiều dài riêng) co lại còn 80β nas: 21 287,5β β− = 0 23.000 80L L nas nasγ β= = 23.000 80 287,5γβ⇒ = = 3a. Phép biến đổi Galilei • Hqc K’ chuyển động theo trục x của hqc K với vận tốc V. • Lúc K ≡ K’ thì t = t’ = 0. • Một biến cố xảy ra trong K’ có tọa độ (x’, y’, z’, t’) • đối với K sẽ có tọa độ: x x Vt′= + y y′= z z′= t t′= x’ Vt 3b. Phép biến đổi Lorentz • Để phù hợp với các hiệu ứng tương đối, Lorentz đưa ra các phép biến đổi mới: x’ Vt ( )x x Vtγ ′ ′= + y y′= z z′= 2 V t t x c γ  ′ ′= +    Khi V << c, γ → 1, V/c2 → 0 Lorentz → Galilei. 4a. Quan hệ nhân quả – 1 • Xét hai biến cố xảy ra trong hqc K’, ở cách nhau một khoảng Δx’, lệch nhau một khoảng thời gian Δt’. • Từ phép biến đổi Lorentz ta có độ lệch thời gian giữa hai biến cố trong hqc K: • Nếu Δt’ > 0 và Δx’ < 0, và • Thứ tự của hai biến cố đã bị đảo ngược! 2 V t t x c γ  ′ ′∆ = ∆ + ∆    2 V x t c ′ ′∆ > ∆ 2 0 V t t x c γ  ′ ′∆ = ∆ − ∆ <    4a. Quan hệ nhân quả – 2 • Phải chăng trong một hqc chuyển động đối với Trái Đất người ta có thể thấy • chú vịt cồ trẻ dần thành vịt con, rồi chui lại vào vỏ trứng !? • Thật ra, không thể đảo ngược thứ tự của các biến cố trên đây, • vì chúng có quan hệ nhân quả với nhau. 4a. Quan hệ nhân quả – 3 • Phải có thông tin được truyền đi từ nguyên nhân đến kết quả, • Do đó: • Không thể đảo ngược thứ tự của hai biến cố có quan hệ nhân quả. x v t′ ′∆ = ∆ 2 1 Vv t c γ  ′= ∆ −    2 1 xV t t c t γ ′ ∆ ′∆ = ∆ −  ′∆  2 1 Vv c < v: tốc độ truyền thông tin 0t⇒ ∆ > 4b. Sự bất biến của khoảng không-thời gian • Khoảng cách không-thời gian Δs giữa hai biến cố được định nghĩa bởi: • Từ phép biến đổi Lorentz, ta có thể chứng minh là khoảng Δs không thay đổi khi chuyển hệ quy chiếu: ( )2 2 2 2 2 2s c t x y z∆ = ∆ − ∆ +∆ +∆ 2 2s s′∆ = ∆ 4c. Công thức cộng vận tốc mới • Xét một chất điểm chuyển động trong hqc K’ với vận tốc: • Từ phép biến đổi Lorentz, ta tìm được vận tốc của chất điểm đối với hqc K: x y z dx dy dz v v v dt dt dt ′ ′ ′ ′ ′ ′= = = ′ ′ ′ 21 x x x v Vdx v dt v V c ′ + = = ′+ 21 y y x vdy v dt v V c γ ′ = = ′+ tương tự cho vz Bài tập áp dụng 3 Một nhà thực nghiệm thực hiện một mạch điện giúp ông ta bật cùng một lúc hai bóng đèn, bóng màu đỏ ở gốc hệ quy chiếu và bóng màu vàng ở khoảng cách x = 30 km. Đối với quan sát viên chuyển động theo trục x dương với vận tốc 0,250c: a) Khoảng thời gian giữa hai biến cố là bao nhiêu? b) Bóng nào được bật sáng trước? Trả lời BT 3 – 1 • Theo qsv K’ thì K chuyển động với vận tốc V = 0,250c theo chiều âm của trục x, • Biến đổi Lorentz cho ta: • Thời gian giữa hai biến cố là: V Δx 2 V t t x c γ  ′∆ = ∆ − ∆    2 V t x c γ′∆ = − ∆ K K’ 2 t x V t c γ  ′ −=     Trả lời BT 3 – 2 • Hay: • Ta có: • Do đó: • Theo K’ thì đèn vàng bật sáng trước một khoảng thời gian là 25,8 μs. 2 1 1 t x c β β ′∆ = − ∆ − 52,58 10vang dot t t s − ′ ′ ′∆ = − = − × 30vang dox x x km∆ = − = 0,250β = Bài tập áp dụng 4 Hai thiên hà A và B đang đi ra xa khỏi chúng ta ở hai phía đối diện với cùng vận tốc 0,55c. Tìm vận tốc của thiên hà B đối với thiên hà A. V K A V B K’ Trả lời BT 4 – 1 • Đối với thiên hà A chúng ta có vận tốc –V, do đó thiên hà B có vận tốc cho bởi: • Vận tốc của thiên hà B đối với chúng ta: vx = –V V K A v’ B 21 x x x v V v v V c − ′ = − K’ Trả lời BT 4 – 2 • Suy ra: • Khác với kết quả theo cơ học cổ điển (1,10c). • Công thức cộng vận tốc của thuyết tương đối đảm bảo rằng vận tốc tổng hợp luôn nhỏ hơn c. 2 2 2 2 0,55 0,84 1 1 0,55x V V c v c V c − − × ′ = = − = − + + 5a. Khối lượng tương đối tính • Khối lượng của một chất điểm: • đo trong hệ quy chiếu gắn liền với chất điểm đó, là khối lượng nghỉ m0 của nó. • đo trong một hệ quy chiếu khác, trong đó chất điểm chuyển động với vận tốc v, thì lớn hơn khối lượng nghỉ: 0 02 21 m m m v c γ= ≡ − 5b. Động lượng tương đối tính • Động lượng của một chất điểm trong thuyết tương đối là: • Phương trình động lực học: 0p mv m vγ= =


( )0d m vdp F dt dt γ = =


5c. Năng lượng tương đối tính • Năng lượng của một chất điểm chuyển động: • Năng lượng nghỉ: • Động năng: • Hệ thức giữa động lượng và năng lượng: 2E mc= 2 0 0E m c= ( ) 20K m m c= − ( ) ( )222 20E pc m c= + ( )2 2 202pc K Km c= + Bài tập 5.1 Một hạt pion (mπ = 273me) đang đứng yên phân rã thành một muon (mμ = 207me) và một phản neutrino (mῡ ≈ 0) theo phản ứng: Tìm (bằng eV): (a)Động năng của muon. (b) Động năng của phản neutrino. pi µ υ− −→ + Trả lời BT 5.1 – 1 • Năng lượng được bảo toàn trong phản ứng: • Động lượng được bảo toàn: 2 2 2m c K m c mK cpi µ µ υ υ= + + + ≈ 0 ( ) 2cm m K Kυpi µ µ= +− Độ hụt khối Δm của phản ứng ( )2 1K K mcµ υ+ = ∆ 0 p pµ υ= +

( ) ( )2 2p c p cµ υ⇒ = Trả lời BT 5.1 – 2 • Biểu diễn qua động năng: • Thay Kῡ từ (1): ( )2 2 22 2K K m c Kµ µ µ υ+ = ( )22 2 22K K m c mc Kµ µ µ µ+ = ∆ − ( )22 2 22mc K mc Kµ µ= ∆ − ∆ + ( ) ( )22 22K m m c mcµ µ⇒ ∆ + = ∆ 2 2m c K mµ pi ∆ = Trả lời BT 5.1 – 2 • Δm = (273−207)me = 66me • mec 2 = 0,511 MeV • Kμ = 4,07 MeV • Kῡ = 29,6 MeV 2 2 2 266 4356 273 273 e e e m c K m c mµ = =