Bài giảng Vật lý đại cương - Chương 9: Vật rắn tinh thể - Đỗ Ngọc Uấn

Vật rắn tinh thể PGS. TS Đỗ Ngọc Uấn Giáo trình vật lý chất rắn đại c−ơng NXH Khoa học &Kỹ thuật Hμ nội 2003 Đỗ Trần Cát vμ các tác giả khác Vật lý đại c−ơng Tập ba, phần hai NXB Giáo Dục 1999 ------------------------------------- Đặng Quang Khang Nguyễn Xuân Chi Vật lý đại c−ơng Tập ba Xuất bản 2000 Bμi giảng Vật lý đại c−ơng Tác giả: PGS. TS Đỗ Ngọc Uấn Viện Vật lý kỹ thuật Tr−ờng ĐH Bách khoa Hμ nội Tinh thể vμ vô định hình • Môi tr−ờng liên tục: khi b−ớc sóng khảo sát lớn hơn khoảng cách giữa các nguyên tử (λ > a) Tinh thể: Có trật tự xa, tuần hoμn Vô định hình: Trật tự gần, vô trật tự • Môi tr−ờng không liên tục: Khi b−ớc sóng khảo sát nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách giữa các nguyên tử (λ <= a) I. Mô hình cấu trúc tuần hoμn của vật rắn tinh thể :Phép tịnh tiến... • Tịnh tiến đi một véc tơ tịnh tiến-> lặp lại nh− điểm xuất phát • Tịnh tiến ô cơ sở lấp đầy không gian a T = na B’B anT 1 rr = ar b r Hai véc tơ , dựng thμnh ô cơ bản. ar b r Tịnh tiến ô cơ bản thì lấp đầy không gian. Tính tuần hoμn của cấu trúc tinh thể: cr b r a r Phép tịnh tiến: rr r ′r T r cb2a2T r rrr −−= Trr rrr +=′ Tính tuần hoμn của cấu trúc tinh thể: Tịnh tiến tiến đi một véc tơ tịnh tiến đ−ợc điểm A’ giống hoμn toμn điểm A T r A A’ ....vμ phép đối xứng điểm •Phép quay: Quay tinh thể quanh 1trục qua điểm bất kì đi 1 góc bằng 2π/n tinh thể trùng nh− ban đầu -> trục đối xứng bậc n. •Đối xứng g−ơng qua mặt phẳng m chứa trục quay m n • Kí hiệu n m n rr rr −⇒• Phép nghịch đảo: Sau phép thì •Tập hợp các phép đối xứng điểm lμ nhóm điểm của tinh thể •Phải phù hợp với phép tịnh tiến: n=1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 Không có bậc 5 vμ bậc 7 •kí hiệu n=2 n=4 n=3 m rr rr −⇒ cr b r a r m 23 m 4 − Nhóm điểm Phép quay+đối xứng g−ơng II.Liên kết trong tinh thể • Phân bố của các điện tử phải tuân theo nguyên lý Pauli. • Các điện tích nh− các ion vμ điện tử hoá trị phải sắp xếp sao cho lực đẩy của điện tích cùng dấu lμ ít nhất, lực hút của điện tích khác dấu lμ cao nhất. • Tổng năng l−ợng trong tinh thể lμ thấp nhất. Thế năng lμ nhỏ nhất vμ động năng tăng ít. •Năng l−ợng liên kết trong tinh thể tính bằng năng l−ợng tổng cộng của các hạt rời rạc trừ đi năng l−ợng của tinh thể. 1. Liên kết Van- der-Walls London: +- - - - +- -- - 2. Liên kết Ion: e- +Cl = Cl- + 3,6 eV Na + 5,13 eV = Na+ + e- Năng l−ợng tổng cộng của tinh thể lμ: Na++Cl- = NaCl + 7,9 eV ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ± −ρ−λ = R q . P 1 R q)Rexp(. U 2 j,i 2 j,i Na+ Cl- Công thức Magdelung (erg) R C)r(u 6−=+- -- - +- -- - R 3. Liên kết đồng hoá trị: 1 nguyên tử dùng chung 8 điện tử hoá trị với 4 nguyên tử khác: Si, Ge, C mạng kim c−ơng + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4. Liên kết kim loại: Các ion t−ơng tác hút với khí điện tử F- F- H+ 5. Liên kết Hydro III. Phonon vμ nhiệt dung của điện môi )u2uu(C dt udM s1s1s2 S 2 −+= +− tiiSKa S e.e.Uu ω−= 2 Kasin M C4 2/1⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=ω • CV->0 khi T->0K • Va đập với photon => l−ợng tử hoá t−ơng t− nh− sóng điện từ: ->Phonon có: )K(grad dK dv Kg rr rω=ω= gv hay KP r h r h =ω=ε , λ>>a môi tr−ờng liên tục 1. Dao động mạng, phonon us-1 us us+1 us+2 Ca M us lμ dịch chuyển của nguyên tử thứ s 2. Phân bố Bose-Einstein/Planck: 1e 1n / −>=< τω h T thấp thì τω−>≈< / hen Trung bình số trạng thái của phonon ω -π/a 0 π/a k 2/1 1 M C4 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ω=−ω+ >≈< hh Tk 1 Tk 1 1n B B T cao thì 0 π/a vg=dω/dk 3. Nhiệt dung VV V TC ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂≡ T E T S Thực nghiệm tóm tắt 3 điểm nh− sau: 1. Tại nhiệt độ phòng 3NkB nghĩa lμ 25Jun/mol.độ hay 6Calo/mol.độ; kB lμ hằng số Boltzmann. 2. ở nhiệt độ thấp nhiệt CV ~ T3 đối với điện môi vμ CV~T đối với kim loại. Nếu kim loại biến thμnh siêu dẫn (trạng thái siêu dẫn) thì định luật giảm nhiệt dung nhanh hơn T. 3. Trong các vật liệu từ thể rắn ở tất cả mọi vùng nhiệt độ nếu tồn tại trật tự hoá trong hệ các mômen từ thì phần đóng góp do trật tự từ vμo nhiệt dung lμ đáng kể. D−ới 0,1K trật tự hoá các mômen từ hạt nhân có thể có đóng góp rất lớn vμo nhiệt dung. 4. Các mô hình khí phonon giải thích tính chất nhiệt của các chất điện môi a. Mô hình Einstein: Phonon có cùng 1 mức năng l−ợng /cùng một tần số ω=ε h BV Nk3C ≈ τω− / he~CV ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − ω ∂ ∂=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= ω 1e NC T V V B/k T T E h h Nhiệt độ cao •Không giải thích đ−ợc tr−ờng hợp nhiệt độ thấp. •Tần số của tất cả các dao động lμ nh− nhau. •L−ợng tử hoá dao động cơ của các dao động tử nh− Planck đã lμm đốí với sóng ánh sáng: khi T tiến tới 0 thì nhiệt dung giảm nhanh tới 0. •Gần đúng nhánh quang của phonon Nhiệt độ thấp b. Mô hình Debye: Với ω <= ωD thì ω=vgk. ∫∫ ∫ ω τω ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − ω ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ π ωω=ωωωω=ω>ω<ωω= D 0 32 2 1ev2 Vd)(n)(Dd)T,(n)(DdE / h hhh 3 D B 3 D B 4 V TNk234TNk 5 12 T EC ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ θ=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ θπ≈∂ ∂= . L N,, L 6, L 4, L 2,0k z,y,x ππ±π±π±= K Với điều kiện biên tuần hoμn u(x)=u(x+L), Giá trị véc tơ sóng cho phép Năng l−ợng khí phonon: θD-Nhiệt độ Debye→ CV~T3 IV.Mô hình vùng năng l−ợng vμ khí điện tử tự do. Ph−ơng trình sóng của điện tử trong tr−ờng thế tuần hoμn của chuỗi một chiều các ion (x) ψε=ψ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− )x()x(U dx d m2 2 22h Trong đó U(x) lμ tr−ờng thế tuần hoμn của các ion ikxe)x( =ψ IV.1.Trong mô hình khí điện tử tự do coi U(x)=0 2 x 2 k km2 h=ε Trong không gian 3 chiều: rkie)r( rrr =ψ Khí điện tử tự do Fermi: Không t−ơng tác, tuân theo nguyên lý Pauli 1e 1)(f Tk/)( B +=ε μ−ε εFε 1 )kkk( m2 k m2 2 z 2 y 2 x 2 2 2 k ++==ε hh . L N,, L 6, L 4, L 2,0k z,y,x ππ±π±π±= K T=0K kε Fε k ở T>0K =>Hμm phân bố Fermi-Dirac: Xác suất điện tử chiếm mức ε tại nhiệt độ T μ-thế hoá T=0K T>0K Mức Fermi lμ mức năng l−ợng cao nhất điện tử chiếm ở 0K e2 0 m ne τ=σ E m nevnej e 2 rrr τ=−= a. Độ dẫn điện của kim loại - - - - - - E r EeF rr −= d−ới tác dụng của lực điện tr−ờng: do va đập với nhau có lực ma sát τ=′ vmF e rr Khi dòng điện không đổi, ph−ơng trình cơ bản : 0 vmEe dt vdm ee =τ−−= rrr E m ev e rr τ−= Ej 0 rr σ= j r • Giải quyết đ−ợc các vấn đề sau: τ- thời gian giữa hai va đập của điện tử F Bele T TNkC ≈∂ Δ∂= T E m3 Tnklv mv Tnk 3 KlCv 3 1 2B 2 F2 F 2 B 2 ele τπ=π== c. Độ dẫn nhiệt của kim loại: b. Nhiệt dung của kim loại ở nhiệt độ thấp d. Quan hệ giữa độ dẫn điện vμ độ dẫn nhiệt của kim loại, Định luật Widermann-Franz: LT e3 Tk ne.m3 m.TnkK 2 2 B 2 2 2 B 2 0 ele =π=τ τπ=σ 28 2 B 2 K/W10.45,2 e k 3 L Ω=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛π= − Hằng số Lorentz IV.2. Mô hình vùng năng l−ợng tính đến t−ơng tác của các điện tử hoá trị với tr−ờng thế tuần hoμn của ion trong tinh thể ∑= G iGx GeU)x(U ∑=ψ k ikxe)k(C)x( + +++ Hμm sóng lμ hμm Block U(x) (x) ψε=ψ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− )x()x(U dx d m2 2 22h 12 1 2 )(1 UG2 1 m2 ±⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=ε ± h ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ λ±δ+±ε=±ε 1 1 22 1k U 21 m2 )()( h Vùng cấm có bề rộng Eg=2U1 2U1 Fε π/a k kε • Giải quyết đ−ợc các vấn đề sau: a. Tại biên giới vùng Brillouin G2 1k rr ±= b. Gần biên giới Brillouin δ±±= rrr G 2 1k • Sơ đồ vùng năng l−ợng: Sơ đồ vùng mở rộng Miền Brillouin thứ nhất -3π/a -2π/a -π/a 0 π/a 2π/a 3π/a k
Do t−ơng tác với tr−ờng thế tuần hoμn của các Ion trong tinh thể, năng l−ợng của điện tử hoá trị chia thμnh các vùng cho phép vμ vùng cấm xen kẽ nhau Tóm tắt: kε vùng cho phép vùng cấm kε ε Giải thích tính chất điện của các tinh thể:  Bán dẫn, bán kim: Vùng Hoá trị điền đầy >90%, Vùng Dẫn điền đầy < 10% điện tử hoá trị. V Hoá trị V Dẫn V Hoá trị V Dẫn Điện môi Kim loại Kim loại Bán dẫn, bán kim  Điện môi: Vùng hoá trị điền đầy 100% điện tử hoá trị, vùng dẫn trống 100%  Kim loại : Điền đầy 50% điện tử hoá trị hoặc hai vùng phủ nhau: đáy vùng trên thấp hơn đỉnh vùng d−ới • Số giá trị véc tơ sóng k lμ N bằng số ô cơ bản của tinh thể, ứng với 1 giá trị véc tơ sóng có số l−ợng tử ms=±1/2. Mỗi vùng có 2N trạng thái của điện tử (Số trạng thái trong 1 vùng lμ chẵn).  Hoá trị lẻ lμ kim loại  Hoá trị chẵn lμ điện môi. Nếu có sự phủ nhau của các vùng thì vẫn lμ kim loại. Điện môi Kim loại Eg εk Phủ εk Eg εk Tinh thể bán dẫn: Si, Ge có 4 điện tử hoá trị: Vùng Hoá trị đầy, Vùng Dẫn Trống 100% Bề rộng vùng cấm Eg nhỏ Vùng Dẫn Vùng Hoá trị Eg T=0K điện tử không v−ợt qua đ−ợc vùng cấm Điện môi Vùng Dẫn Vùng Hoá trị kBT > Eg điện tử v−ợt qua đ−ợc vùng cấm Dẫn điện vùng cấm Trong điện tr−ờng điện tử nhảy lên trạng thái có mức năng l−ợng cao hơn→ dẫn điện