Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 0: Giải tích tổ hợp

1THỜI LƯỢNG: 45 TIẾT GV: LÊ VĂN MINH XÁC SUẤT THỐNG KÊ 1 [1] ĐẶNG HẤN, Xác suất và thống kê. NXB Thống kê 1997 [2] NGUYỄN DUY TIẾN, Lý thuyết xác suất. NXB Giáo dục 2000. GIÁO TRÌNH THAM KHẢO 2 PHẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Chương 0. Giải tích tổ hợp Chương 1. Biến cố và xác suất Chương 2. Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất Chương 3. Vector ngẫu nhiên 3 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 4 CHƯƠNG 0 2NỘI DUNG CHƯƠNG 0.1 Quy tắc cộng 0.2 Quy tắc nhân 0.3 Hoán vị 0.4 Chỉnh hợp 0.5 Tổ hợp 5 0.1 Quy tắc cộng Có mi cách thực hiện các đối tượng xi (i=1,..,n) và nếu xi ≠xj, ( i ≠ j) thì có cách thực hiện các đối tượng. Ví dụ 0.1: Từ hai số 3 và 5 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số khác nhau? ĐS: 4 số 1 1 n i n i m m m      ThS Lê Văn Minh 0.2 Quy tắc nhân Cho hai đối tượng A, B. Giả sử có m cách thức hiện đối tượng A và sau mỗi cách thực hiện A thì có n cách thực hiện đối tượng B. Khi đó, ta có m.n cách thực hiện hai đối tượng A và B. Ví dụ 0.2 Trong một bữa tiệc chủ nhà phải sắp 5 ông khách A, B, C, D, E và 5 chổ có đánh số: 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp? Giải 0.2 Quy tắc nhân - Có 5 Cách sx A→ có 4 cách sx B → có 5.4 cách sx 2 ông A và B. - Còn 3 cách sx C→có 5.4.3 cách sx 3 ông A,B,C - Còn 2 cách sx D → có 5.4.3.2 cách sx 4 ông A,B,C,D - Còn 1 cách sx E → có 5.4.3.2.1 =120 cách sx cả 5 ông khách. ThS Lê Văn Minh 30.3 Hoán vị Cho tập hợp có n phần tử, mỗi cách sắp xếp n phần tử theo một thứ tự xác định được gọi là một hoán vị. Số cách sắp xếp được gọi là số hoán vị. Công thức tính số hoán vị 1 2 !nP n n    0.3 Hoán vị Ví dụ 0.3.1 Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 sinh viên ngồi cạnh nhau? Giải Mỗi cách sắp xếp 3 sinh viên là một hoán vị của 3 phần tử. Do đó số cách sắp xếp là 3 3! 6P   ThS Lê Văn Minh Hoán vị lặp Một hoán vị của n phần tử, trong đó có m phần tử giống nhau được gọi là một hoán vi lặp m của n phần tử. Số hoán vị lặp m của n phần tử, ký hiệu: ( )np m !( ) !n nP m m  Hoán vị lặp Ví dụ 0.3.2 Từ các số 1, 2 có nhiêu cách lập số có 3 chữ số trong đó có 2 chữ số 1? Giải Số có ba chữ số trong đó có 2 chữ số 1 là một hoán vị lặp 2 của 3 phần tử. Vậy số cách lập là: 3 3!(2) 3 2! P   40.4 Chỉnh hợp Cho tập hợp Ω gồm n phần tử, mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử mà có kể thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập k của n (k ≤ n). Số chỉnh hợp chập k của n kí hiệu: Công thức: k nA ! ,( ) ( )! k n nA k n n k   ThS Lê Văn Minh 0.4 Chỉnh hợp Ví dụ 0.4.1 Cho Ω ={1,2,3}. Hãy tính số chỉnh hợp chập 2. Giải Ta có: 6 chỉnh hợp chập 2 là (1,2), (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2). Hoặc sử dụng CT: 23 3! 6(3 2)!A   Chỉnh hợp lặp Một chỉnh hợp chập k của n phần tử trong k phần tử lấy ra có thể trùng nhau được gọi là một chỉnh hợp lặp. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử, kí hiệu knA k k nA n Chỉnh hợp lặp Ví dụ 0.4.2 Có 4 sinh viên về quê ăn tết lên cùng một chuyến tàu lửa gồm 8 toa. Hỏi có bao nhiêu cách sắp 4 sinh viên này lên các toa tàu? Giả thiết các toa tàu chứa từ 4 đến 6 người. Giải Một cách sắp xếp tùy ý 4 sinh viên lên 8 toa tàu là một chỉnh hợp lặp chập 4 của 8 phần tử. Vậy số cách sắp xếp: 4 4 8 8 4096A   50.5 Tổ hợp Cho tập hợp Ω gồm n phần tử, mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử mà không kể thứ tự được gọi là một tổ hợp chập k của n (k ≤ n). Số tổ hợp chập k của n kí hiệu: Công thức: k nC ! ,( ) ( )! ! k n nC k n n k k   ThS Lê Văn Minh 0.5 Tổ hợp Ví dụ 0.5 Cho Ω={1,2,3}. Hãy tính số tổ hợp chập 2. Giải Có 3 tổ hợp chập 2 là: (1,2), (1,3) và (2,3). Hoặc: 23 3! 6 3(3 2)!2! 2C    Bài tập chương 0 0.1Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có: a) ba chữ số. b) ba chữ số với các chữ số đều khác nhau. c) bốn chữ số. d) bốn chữ số và là số lẻ Bài tập chương 0 0.2 Có 3 sinh viên nam và 4 sinh viên nữ cần xếp vào một bàn học có 7 chổ ngồi. Có bao nhiêu cách xếp trong các trường hợp sau: a) Các sinh viên ngồi tùy ý? b) Các sinh viên nam ngồi kề nhau và các sinh viên nữ ngồi kề nhau? ThS Lê Văn Minh 6Bài tập chương 0 0.3 Một lớp học có 70 sinh viên gồm 50 nữ và 20 nam. Chọn ngẫu nhiên 5 sinh viên để lập một ban cán sự lớp gồm: Lớp trưởng, lóp phó học tập, lớp phó lao động, văn thể mỹ và một thủ quỹ. Có bao nhiêu cách chọn như sau: a) Chọn tùy ý các thành viên. b) Lớp trưởng là nam sinh viên. ThS Lê Văn Minh