Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Biến ngẫu nhiên và luật phân phối

1BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI Chương 2 NỘI DUNG CHƯƠNG 2.1 Mở đầu biến ngẫu nhiên 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc và luật phân phối 2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục và luật phân phối ThS Lê Văn Minh 2.1 Biến ngẫu nhiên (bnn) 2.1.1 Định nghĩa: Cho tnnn T , có không gian xác suất Ω. Người ta gọi biến ngẫu nhiên là X ánh xạ từ Ω→ . - Nếu tập giá trị X(Ω) của X là hữu hạn hay vô hạn đém đuợc thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. - Nếu tập giá trị X(Ω) của X là  hay một khoảng [a, b] của  thì X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục. 2.1 Biến ngẫu nhiên Ví dụ 2.1.1a Tung 2 đồng xu cân đối đồng chất. Nếu có 1 mặt H thì ta thắng 2 đồng và ta thua 1 đồng khi có 1 mặt S. Gọi X là số tiền nhận được. Khi đó: Ω={SH, HS, HH, SS} và X(SH)=1, X(HS)=1, X(HH)=4 và X(SS) = -2, i.e., X có 3 giá trị là: -2, 1, 4. 22.1 Biến ngẫu nhiên Hay Ví dụ 2.1.1b Chọn ngẫu nhiên một hợp chất hóa học và đo độ pH X của nó. Khi đó: X là bnnlt vì mọi pH đều nằm [0,14] 2 1: 1 4 S S SHX H S H H       2.1 Biến ngẫu nhiên 2.1.2 Hàm phân phối xác suất Định nghĩa: Cho biến ngẫu nhiên X. Người ta gọi hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là hàm F được xác định bởi: ( ) ( ), (2.1.1)  F x P X x x  2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc(bnnrr) 2.2.1 Dãy ppxs: Cho bnnrr X(Ω) ={c1,..,cr}. Người ta gọi dãy ppxs của bnnrr X là dãy có dạng sau: trong đó: pk=P(X=ck) (2.2.1) 1 2: , ( ) { , ,..., }rX X c c c   X c1 c2 …. cr pk p1 p2 …. pr 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.2.2 Kỳ vọng của bnnrr: Cho bnnrr X có dãy ppxs như trên. Người ta gọi kỳ vọng của bnnrr X là giá trị trung bình được xác định bởi Ví dụ 2.2.1. Gọi tnnn T là tung đồng xu cân bằng một lần. Gọi X là số lần được mặt H trong một lần tung. a) Hãy lập dãy ppxs của X. b) Tính kỳ vọng của X 1 1 2 2 1 (2.2.2) r r r k k k EX c p c p c p c p       32.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc Giải a) Gọi: X = ”Số lần được mặt H trong 1 lần tung”. Thì X là bnnrr và chỉ nhận một trong hai giá trị là 0 và 1. X = 0,1. Bảng ppxs của tnnn: T S H pk 1/2 1/2 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc Ta có: p1=P(X=0) = P(S) =1/2 p2=P(X=1) = P(H) =1/2 Dãy ppxs của bnnrr X: b) Kỳ vọng EX = c1p1+c2p2 = 0.1/2 + 1.1/2=1/2 X 0 1 pk 1/2 1/2 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.2.3 Phương sai của bnnrr: Cho bnnrr X có dãy ppxs như 2.2.1 và kỳ vọng EX . Phương sai của bnnrr X là số đo độ phân tán xung quanh kỳ vọng và được xác định bởi Ví dụ 2.2.2: Giả thiết như Ví dụ 2.2.2a). Tìm phương sai của X. 2 2 2 2 1 1 2 2 ( ) (2.2.3)r rVarX c p c p c p EX     2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 10 1 2 2 2 4 VarX c p c p            ThS Lê Văn Minh 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 2.2.3: Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 3 sp tốt và 2 sp xấu. Kiện 2 có 2 sp tốt và 3 sp xấu. Lấy nn từ kiện 1 ra 2 sp và từ kiện 2 ra 1 sp. Luật ppxs của sp tốt trong 3 sp lấy ra. Giải Gọi Ai=“lấy được i sp tốt từ kiện 1”, i=0,1,2. Bi=“lấy được i sp tốt từ kiện 2”, i=0,1. X =“Số sp tốt trong 3 sp lấy ra” 42.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc Ta thấy X là bnnrr, X=0,1,2,3 Dãy ppxs của X: 1 1 2 0 2 1 ( 2) ( ) 0, 42 ( 3) ( ) 0,12 P X P A B A B P X P A B        X 0 1 2 3 πi 0,06 0,4 0,42 0,12 12 32 0 0 0 0 2 1 5 5 ( 0) ( ) ( ). ( ) 0,06 CCP X P A B P A P B C C       1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2 1 5 5 5 5 ( 1) ( ) ( ) ( ) . 0,4 P X P A B A B P A B P A B C C C C C C C C C           2.2.4 Tính chất kỳ vọng và phương sai Định lý 2.2.1: Cho X, Y là các bnn. Khi đó: 2 1. , 2. ( ) . , 3. ( ) ( ) ( ) 4. ( ) ( ) (2.2.4) 5. 0, 6. ( ) , 7. ( ) ,                  EC C C const E CX C EX C const E X Y E X E Y X Y E X E Y VarC C const Var C X VarX C const Var CX C VarX C const Ý nghĩa của kỳ vọng và phương sai Kỳ vọng là số trung bình theo xác suất của tất cả các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên. Giá trị của phương sai biểu thị độ tập trung hay phân tán của các giá trị biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó. Nếu VarX lớn thì các giá trị của X phân tán nhiều. NếuVarX nhỏ thì các giá trị của X tập trung gần giá trị trung bình. Ý nghĩa của kỳ vọng và phương sai - Trong Công nghiệp, nếu X là kích cỡ nào đó thì VarX biểu thị độ chính xác ứng với kích cỡ đó của sản phẩm. - Trong chăn nuôi, với X là mức độ tăng trưởng thìVarX thể hiện độ tăng trưởng đồng đều của loài. - Trong trồng trọt, nếu X là năng suất thì VarX biểu thị mức độ ổn định năng suất. 52.2.5 Biến ngẫu nhiên nhị thức Cho tnnn T. Gọi ω1=“thành công”, ω2=“thất bại”. p=P(ω1), q =P(ω2)=1- p. Thí nghiệm này gọi là phép thử Bernoulli. Định nghĩa: Xét phép thử Bernoulli, và thực hiện lại phép thử n lần độc lập. Đặt X=“số lần thành công trong n thí nghiệm”. Người ta gọi X là bnn nhị thức và kí hiệu: X~b(n;p). ThS Lê Văn Minh 2.2.3 Biến ngẫu nhiên nhị thức Ví dụ 2.2.4 Gọi ω1=“trai”, ω2=“gái”. X = “số lần sinh trai trong n lần sinh”. Ta có: p =P(ω1)=1/2. q = P(ω2)=1-1/2 =1/2. →X~b(n;1/2) Định nghĩa: Cho X~b(n;p). Khi đó ( ) , 0,.., (2.2.4)    k k n kk nP X k C p q k n 2.2.5 Biến ngẫu nhiên nhị thức Định lý 2.2.2: Cho X~b(n; p). Khi đó: Ví dụ 2.2.5: Cho một thùng đựng 16 trái táo, trong đó có 4 trái táo tốt và 12 táo hư. Rút ngẫu nhiên lần lượt 25 trái táo (rút có hoàn lại). a) Tìm xác suất để rút đúng một trái táo tốt b) Tìm xác suất để rút không quá 7 trái táo tốt. ; Var ,( 1 ) (2.2.5)EX np X npq q p    2.2.5 Biến ngẫu nhiên nhị thức Giải Đặt ω1=“táo tốt”, ω2=“táo hư”. X =“Số lần rútđược táo tốt trong 25 lần rút”. Ta có: Do rút có hoàn lại và các lần rút độc lập nên X~b(25;1/4). 1 2 4 1 12 3( ) ; ( ) 16 4 16 4 P P     62.2.5 Biến ngẫu nhiên nhị thức a) Gọi A=“Rút được đúng 1 trái táo tốt”={X=1}. b) Gọi B=“Rút được ≤ 7 trái táo tốt” ={X ≤ 7} = {X=0}U{x=1}U…U{x=7} Vì các biến cố xung khắc nên: 25 1 24 1 25 1 3 25! 1 3( ) ( 1) 0,006 4 4 24! 4 4 P A P X C                   0 25 24 7 18 0 1 7 25 25 25 ( ) ( 0) ( 1) ( 7) 1 3 1 3 1 3 0,7 4 4 4 4 4 4 P B P X P X P X C C C                                             2.2.6 Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson Định nghĩa 2.2.3: Biến ngẫu nhiên rời rạc X, nhận các giá trị X =0, 1, 2, …,n,…với xác suất như sau được gọi là bnn có phân phối Poisson, kí hiệu: X~P0(λ). ( ) , 0,1, 2,...; 0 (2.2.6) !        keP X k k k 2.2.6 Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson Ví dụ 2.2.6: Xét số người đến siêu thị trong 1 tháng. Gọi X =“Số người đến siêu thị trong 1 ngày” Ta thấy X=0,1,2…. Ta không đoán biết chính xác một ngày nào đó có bao nhiêu người đến. Nhưng ta biết được số người TB đến siêu thị trong 1 ngày, chẳng hạn: λ=100 Khi đó: X~P0(100). 2.2.6 Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson Định lý 2.2.4a: Cho X~P0(λ), (λ > 0). Khi đó: Định lý 2.2.4b: Cho X là bnn nhị thức, X~b(n;p). Giả sử n lớn và np = λ. Khi đó: X là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số λ , i.e., X~P0(λ). Chú ý: Nên dùng đlý khi n≥100, p≤0,01, np≤20 E ; Var (2.2.7)  X X 72.2.6 Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson Ví dụ 2.2.7 Trong một lô thuốc, tỷ lệ thuốc hỏng p =0,003. Kiểm tra 1000 ống. Tính xác suất để gặp 3 ống bị hỏng. Giải Gọi X số ống thuốc hỏng trong 1000 ống ktra. Đây là phép thử Benoulli với p=0,003; n=1000. X~b(1000; 0,003).Khi đó: X~P0(3)       3 3 33( 3) 0,224 3! 3! e eP X ThS Lê Văn Minh 2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội Định nghĩa: Cho tập hợp có N phần tử, trong đó có M phần tử loại A. Lấy ngẫu nhiên từ tập này n phần tử (lấy không hoàn lại). Đặt X=“Số phần tử loại A trong n phần tử lấy ra”. Người ta gọi X là biến ngẫu nhiên siêu bội, kí hiệu: X~H(N;M,n) và { } , 0,1,..., (2.2.8)     k n k M N M n N C CP X k k n C 2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội Ví dụ 2.2.8 Người ta chọn một hội đồng chấm thi gồm 3 người từ 5 nhà Vật lý và 4 nhà Toán học. Hãy tìm xác suất để có đúng một nhà Toán học trong hội đồng này? Giải Đặt X=“Số nhà Toán học trong hội đồng được chọn ra “, thì (9;4;3), 9, 4, 3X H N M n   2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội A=“Có đúng 1 nhà Toán học trong HĐ”={X=1}. Định lý 2.2.5a: Cho X~H(N; M; n). Khi đó: 1 2 4 5 3 9 10( ) { 1} 048 21 C CP A P X C        ; 1 (2.2.8) 1          M M M N nEX n VarX n N N N N 82.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội Định lý 2.2.5b: Cho X~H(N; M; n). Nếu N lớn và n << N thì X là bnn nhị thức, i.e., X~b(n;p). Với p=M/N. Ví dụ 2.2.9: Một Công ty xuất nhập khẩu, nhập 5000 thùng hóa chất trong đó có 1000 thùng kém chất lượng. Công ty này có một xí nghiệp nhận 10 thùng hóa chất. Hãy tìm xác suất để trong 10 thùng này có đúng 3 thùng kém chất lượng? 2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội Giải Gọi X=”Số thùng kém chất lượng trong 10 thùng hóa chất mà xí nghiệp đã nhận” Gọi A=”Có đúng 3 thùng kém chất lượng trong 10 thùng” ~ ( ; ; ) (5000;1000;10)X H N M n H  3 7 1000 4000 10 5000 ( ) { 3} 0.2C CP A P X C      2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội Cách khác: Vì N=5000 rất lớn và n=10<< N và X~H(5000; 1000; 10) nên X~b(10; 1/5). Do đó 3 7 3 10 1 1( ) 1 0, 2. 5 5 P A C              2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa 2.3.1a: Cho thí nghiệm ngẫu nhiên T có kgxs Ω. Người ta gọi ánh xạ X: Ω→  là bnnlt nếu tập giá trị X(Ω) trùng với  hoặc một khoảng (a,b) trong . Định nghĩa 2.3.1b: Cho tnnn T có kgxs Ω. Người ta gọi hàm ppxs của bnnlt X là hàm số F(x) được xác định bởi ( ) { }, (2.3.1)   F x P X x x  ThS Lê Văn Minh 92.3 Biến ngẫu nhiên liên tục Người ta gọi hàm mật độ xác suất của bnnlt X là hàm số sao cho: ( ) 0,f x x   ( ) ( ) (2.3.2)   xF x f t dt 2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục Định lý 2.3.1: Cho bnnlt X, có hàm ppxs F(x) và hàm mđxs f(x) . Khi đó ) 0 ( ) 1, ii) ( ) ( ) ) { } ( ) ( ) (2.3.3) ) lim ( ) 0; lim ( ) 1 ) { } 0, const Neáu thì                 x x i F x x a b F a F b iii P a X b F b F a iv F x F x v P X C C 2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục Định lý 2.3.1 (tt) 1 ) ( ) ( ), ( ) ) ( ) 1 , 1 ) ( ) ( ) ( ) taïi laø ñieåm lieân tuïc cuûa              n k k b a vi f x F x x f x vii f x dx viii f x dx F b F a Ý nghĩa hình học của hàm mđxs Xác suất để bnn X có giá trị trong khoảng (x1,x2) là diện tích giới hạn bởi: f(x), x=x1, x=x2 và Ox x1 x2 x f(x) 2 1 1 2( ) ( ) x x P x X x f x dx    ThS Lê Văn Minh 10 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục  Kỳ vọng Định nghĩa 2.3.2a: Cho bnnlt X, có hàm ppxs F(x) và hàm mđxs f(x) . Nguời ta gọi kỳ vọng của bnnlt X là giá trị trung bình theo xác suất xác định bởi: ( ) ( )= ( ) (2.3.4)       E X xdF x xf x dx Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên g(X) Trường hợp g(X) = X2 thì  ( ) ( ) ( ) (2.3.4)E g X g x f x dx    2 2 ( ) (2.3.4)    EX x f x dx Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục  Phương sai Định nghĩa 2.3.2b: Cho bnnlt X có hàm ppxs F(x), hàm mđxs f(x) , kỳ vọng E(X). Người ta gọi phương sai của bnnlt X là số đo độ phân tán xung quanh giá trị kỳ vọng và được xác định bởi 2 2 2 ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) (2.3.5) VarX E X EX x EX dF x x EX f x dx           Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục hay Độ lệch chuẩn: 2 2 2 2( ) ( ) ( ) (2.3.5)VarX EX EX x f x dx xf x dx                X VarX  11 2.3.1 Biến ngẫu nhiên liên tục có pp đều Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là bnnlt có phân phối đều trên [a, b] nếu hàm mđxs của X có dạng 1 [ , ] ( ) 0 [ , ] neáu neáu     x a b f x b a x a b ThS Lê Văn Minh 2.3.1 Biến ngẫu nhiên liên tục có pp đều Định lý 2.3.1b: Cho X là bnnlt có phân có phân phối đều trên [a,b] . Khi đó 2( ), (2.3.6) 2 12 a b a bEX VarX   2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là bnnlt có phân phối chuẩn với hai tham số μ và σ2>0, ký hiệu: X~N(μ,σ2) nếu X có hàm mật độ 2 2 ( ) 21( ) , ( ) 2 x f x e x        2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Đồ thị hàm mật độ của bnn có pp chuẩn μ = 4 và σ2 =9 12 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Định lý 2.3.2a: Cho X~N(μ,σ2). Khi đó Định lý 2.3.2b: Cho X~N(μ,σ2) và Y =aX +b, (a, b =const). Khi đó: 2, Var (2.3.7)EX X   2 2~ ( ; )Y N a b a  2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Cho X~N(μ,σ2). Người ta gọi biến ngẫu nhiên là bnn chuẩn tắc, ký hiệu: Z~N(0,1) Hàm mật độ của bnn chuẩn tắc: Hàm pp chuẩn tắc: XZ   2 21( ) 2 x x e    2 21( ) ( ) 2 x x t x t dt e dt         2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Định lý 2.3.2c: Cho Z ~N(0, 1), có hàm pp chuẩn tắc Ф(x). Khi đó: trong đó: giá trị Ф(x) tra bảng pp chuẩn tắc. ) { } ( ) ( ) (2.3.8) ) ( ) 1 ( ) i P a Z b b a ii x x          2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Ví dụ 2.3.2a: Cho Z~N(0, 1). Tính Giải Định lý 2.3.2d: Cho X~N(μ,σ2). Khi đó  1/ 2 1P Z    1/ 2 1 (1) ( 1/ 2) (1) [1 (1/ 2)] (1) (1/ 2) 1 0,8413 0,6914 1 0,532 P Z                     ) { } ) (2.3.9) ci P X c b aii P a X b                            13 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Ví dụ 2.3.2b: Cho X~N(-2, 9). Tính P(X ≤ 1) và P(-8 ≤ X ≤ 1). Giải 1 ( 2) { 1} (1) 0,841 3 P X           1 ( 2) 8 ( 2) { 8 1} (1) ( 2) 3 3 (1) [1 (2)] (1) (2) 1 0,841 0,977 1 0,818 P X                                     2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Định lý 2.3.2e: (Định lý giá trị trung tâm dạng De Moire - Laplace) Cho X là bnn nhị thức X~b(n;p) và Z là bnn chuẩn tắc Z~N(0;1). Khi đó: lim ( ) (2.3.10) n X npP x x npq         2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Hệ quả 1: Hệ quả 2: ( ) ( ) (2.3.11)X npP a b b a npq           2 21 1{ } , , 0,1, 2,... 2 (2.3.12) kx k k npP X k e x k npq npq       2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Ví dụ 2.3.2c Trong một thí trấn có 40% số dân là nghiện thuốc lá. Chọn 300 người dân để phỏng vấn (chọn một cách độc lập). Hãy tìm xác suất để: a) Có không quá 140 người nghiện thuốc lá b) Số người nghiện thuốc lá nằm trong khoảng từ 100 đến 140 người Giải 14 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Gọi ω1=“nghiện”, ω2=“không nghiện” →p=P(ω1)=4/10, q=P(ω2)=1-p=6/10. Gọi X=“Số người nghiện trong 300 người được phỏng vấn”. Do số lần thí nghiệp là độc lập nên X~b(300;4/10). a) Đặt A=“Không quá 40 người nghiện”={X≤40} 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Khi đó b) Gọi B=“Số người nghiện từ 100 đến 140 người”. 140( ) { 140} X np npP A P X P npq npq           120 2,35 (2,35) 0,9906 8,5 XP         2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Khi đó: ( ) {100 140}P B P X   100 120 120 140 120 8,5 8,5 8,5 XP         1202,35 2,35 8,5 XP        (2,35) ( 2,35)   2 (2,35) 1 2.0,9906 1 0,9812      2.3.3 Luật phân phối Chi bình phương Cho Xi~N(0;1), i=1,..,n và các Xi là các bnn độc lập. Đặt: khi đó người ta nói Z tuân theo luật pp chi bình phương với n bậc tự do. Kí kiệu: Z ~ χ2(n) 2 1 n i i Z X    15 2.3.3 Luật phân phối chi bình phương Hàm mật độ xs của bbnn chi bình phương với Tính chất: Nếu Z ~ χ2(n) thì EZ=n và VarZ =2n 1 2 2. , 0( ) 0 , 0 n x Cx e xf x x      1 /2 0 1 ; ( ) , ( 0) ( / 2).2 x nC x e dxn          ThS Lê Văn Minh 2.3.4 Luật phân phối Student Cho 2 bnn độc lập X~N(0,1) và Y~ χ2(n). Đặt Khi đó ta nói T tuân theo luật pp Student với n bậc tự do và kí hiệu: T~t(n). Hàm mật độ xs của bnn Student: với / XT Y n  1 2 2 ( ) 1 n xf x C n      1 2 ( / 2) n C n n      2.3.4 Luật phân phối Student Tính chất: Cho T~t(n). Khi đó E( ) 0, Var 2 nT T n    ThS Lê Văn Minh