Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất - Phan Trung Hiếu

10/29/2019 1 LOG O Chương 3: MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Giảng viên: Phan Trung Hiếu 2 -Thực hiện phép thử n lần độc lập nhau. -Trong mỗi lần thử, ta quan tâm đến 1 biến cố A nào đó (xảy ra hay không xảy ra) với luôn là hằng số không đổi, không phụ thuộc vào phép thử. I. Phân phối nhị thức B(n,p): ( )p P A X {0,1,2,..., }.n X có phân phối nhị thức, ký hiệu: X ~ ( , )B n p Gọi X: số lần biến cố A xảy ra. Khi đó: trong đó 3  P(X ) ,k k n knk C p q    2 E(X) . Var(X) . . . Mod(X) . n p n p q n p q n p p           .1q p  Nếu X ~ B(n, p) thì ta có: 0,1,2,...,k n 4 Ví dụ 1: Gieo 10 hạt đậu. Xác suất nảy mầm của mỗi hạt là 0,8. Tính xác suất để trong 10 hạt: a) có đúng 8 hạt nảy mầm. b) có từ 8 đến 10 hạt nảy mầm. c) có ít nhất 9 hạt nảy mầm. d) có ít nhất 1 hạt nảy mầm. e) có nhiều nhất 9 hạt nảy mầm. f) có 9 hạt không nảy mầm. 5 Gọi X là số hạt nảy mầm trong 10 hạt X ~ B(10; 0,8) Giải Phép thử: Gieo 1 hạt đậu. A: “Hạt nảy mầm” P( ) 0,8.A  Gieo 10 hạt đậu nghĩa là thực hiện phép thử 10 lần độc lập nhau a) Xác suất có đúng 8 hạt nảy mầm: P(X 8)  8 8 10 810.(0,8) .(0,2)C  8 8 2 10.(0,8) .(0, 2) 0,3019.C  với n=10; p=P(A)=0,8; q=0,2. 6 b) Xác suất có từ 8 đến 10 hạt nảy mầm: ( )8 10P X   0,3019 9 9 110.(0,8) .(0, 2)C P(X 8) P(X 9) P(X 10)     10 10 0 10 .(0,8) .(0, 2)C 0,3019 0, 2684 0,1074 0,6777. c) Xác suất có ít nhất 9 hạt nảy mầm: d) Xác suất có ít nhất 1 hạt nảy mầm: 10/29/2019 2 7 e) Xác suất có nhiều nhất 9 hạt nảy mầm: f) Xác suất có 9 hạt không nảy mầm 8 Ví dụ 2: Xaùc suaát ñeå moät maùy saûn xuaát ñöôïc saûn phaåm loaïi tốt laø 0,8. Cho maùy saûn xuaát 5 saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm loaïi tốt coù trong 5 saûn phaåm do maùy saûn xuaát. Chọn câu đúng: a) X không có phân phối nhị thức. b) X ~ B(5; 0,8). c) X ~ B(0,8; 5). d) X ~ B(1; 5). 9 Ví dụ 3: Một xạ thủ bắn 3 viên đạn vào một mục tiêu với xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi lần bắn là 0,5. Gọi X là số đạn trúng mục tiêu của xạ thủ này. Chọn câu đúng: a) X không có phân phối nhị thức. b) X ~ B(1; 0,5). c) X ~ B(3; 0,5). d) X ~ B(0,5; 3). 10 Ví dụ 4: Coù 3 caàu thuû neùm boùng vaøo roå (moãi ngöôøi neùm moät quaû). Xaùc suaát neùm truùng roå cuûa caàu thuû thöù nhaát, thöù hai, thöù ba töông öùng laø: 0,9; 0,8; 0,6. Goïi X laø soá laàn neùm truùng roå cuûa 3 caàu thuû naøy. X coù phaân phoái nhò thöùc hay khoâng? 11 Ví dụ 5: Một người mỗi ngày đi bán hàng ở 5 chỗ khác nhau. Xác suất bán được hàng ở mỗi chỗ là 0,3. a) Tìm xác suất người đó bán được hàng trong một ngày. b) Mỗi năm người đó đi bán hàng 300 ngày, tìm số ngày bán được hàng nhiều khả năng nhất trong một năm. 12 Ví dụ 6: Một nhà máy có 2 dây chuyền cùng sản xuất một loại sản phẩm. Xác suất để mỗi sản phẩm được sản xuất từ các dây chuyền là phế phẩm tương ứng là 0,04 và 0,03. Sản phẩm của mỗi dây chuyền được đóng hộp (mỗi hộp 10 sản phẩm). Biết năng suất của dây chuyền thứ nhất gấp đôi dây chuyền thứ hai. Lấy ngẫu nhiên một hộp sản phẩm của nhà máy sau ca làm việc để kiểm tra. Tính xác suất hộp sản phẩm đó có phế phẩm. 10/29/2019 3 13 Ví dụ 7: Một hộp chứa 10 bi gồm 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên liên tiếp (có hoàn lại) 3 bi. Gọi X là số bi xanh nhận được trong 3 lần lấy ra. a) Tìm Mod(X). b) Lập bảng phân phối xác suất cho X. c) Tính kỳ vọng và phương sai của X. 14 “ Nếu trong ví dụ trên, giả thiết là lấy mẫu không hoàn lại thì sao? ” Định lý tổng các phân phối nhị thức độc lập: Xi ~B(ni,p), i = 1,2,,m Xi độc lập    1 1 ~ , . m m i i i i X X B n n p             15 II. Phân phối siêu bội H(N,M,n): N: tổng thể MA Tính chất A Lấy không hoàn lại (Lấy cùng lúc) n phần tử Gọi X: số phần tử có tính chất A trong n phần tử.  X có phân phối siêu bội X ~ ( , , )AH N M n X {0,1,2,..., }.ntrong đó 16    . P(X ) A A k n k M N M n N C C k C    E(X) .n p   với : tỉ lệ các phần tử có tính chất A.AMp N  2 Var(X) . . . 1 N nn p q N      1q p với : tỉ lệ các phần tử không có tính chất A. Nếu X ~ H(N, MA,n) thì ta có: 17 Ví dụ 8: Giải lại ví dụ 7 ở trên trong trường hợp lấy mẫu không hoàn lại. Giải a) X ~ (10; 6; 3)H X {0,1,2,3} P(X 0)  P(X 1)  P(X 2)  P(X 3)  3 6 10 6 3 10 .P(X ) k kC Ck C    với N=10; MA=6; n=3. Ta có: 18 b) X P 10/29/2019 4 19 Nhận xét về ví dụ 7 và ví dụ 8: X 0 1 2 3 P N=10, M=6, có hoàn lại, 0,064 0,288 0,432 0,216 P N=10, M=6, không hoàn lại, 0,033 0,3 0,5 0,17 P N=100, M=60, không hoàn lại, 0,061 0,289 0,438 0,211 X ~ (3;0,6)B X ~ ( ; 6; )H 10 3 X ~ ( ; 60; )H 100 3 20 III. Liên hệ giữa B(n,p) và H(N,MA,n):  Khi tổng thể N khá lớn, cỡ mẫu n rất nhỏ so với N thì phân phối nhị thức và phân phối siêu bội cho kết quả gần bằng nhau. Nói cách khác, ta có X ~ ( , , ) X ~ ( , )AH N M n B n pn N /Ap M Nvới N khá lớn  Khi N khá lớn so với n thì việc lấy ra n phần tử từ tổng thể N phần tử theo phương thức có hoàn lại hay không hoàn lại, được coi là như nhau. 21 Ví dụ 9: Từ một lô thuốc lớn, có tỉ lệ thuốc hỏng là 0,2. Lấy ngẫu nhiên 5 lọ. Gọi X là số lọ hỏng trong 5 lọ lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất cho X. 22 IV. Phân phối Poisson P( ): Trong thực tế, có nhiều mô hình thỏa phân phối Poisson, ví dụ: -Số cuộc gọi đến tổng đài điện thoại trong 1 phút -Số người truy cập vào trang web www.sgu.edu.vn trong 30 phút. -Số lỗi in sai xuất hiện trong 1 trang sách. Đặc điểm chung: đều đề cập đến “cường độ” xuất hiện (số lần xuất hiện) của một biến cố nào đó trong 1 đơn vị thời gian hoặc không gian. 23 Nếu bài toán thỏa các điều kiện: -Số lần xuất hiện của biến cố A trong khoảng thời gian hay không gian nào đó không ảnh hưởng đến số lần xuất hiện biến cố A trong những khoảng thời gian hay không gian sau đó. -Cường độ xuất hiện biến cố A không đổi, luôn là một hằng số. Gọi X: số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng thời gian t hay không gian h.  X có phân phối Poisson, ký hiệu: X ~ ( )P  X {0,1,2,..., ,...}.ntrong đó 24  : Số lần biến cố A xuất hiện trung bình trong khoảng thời gian t hay không gian h. Chú ý: Trong trường hợp chưa biết trước , ta dựa vào thông tin về cường độ xuất hiện (số lần xuất hiện) để xác định .   Nếu thì ta có:X ~ ( )P    .P(X ) ! k ek k    E(X) Var(X) 1 Mod(X)         10/29/2019 5 25 Ví dụ 10: Ở một tổng đài Bưu điện, các cú điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau và tốc độ trung bình 2 cuộc gọi trong 1 phút. Tìm xác suất để: a) Có đúng 5 cú điện thoại trong 2 phút. b) Không có cú điện thoại nào trong khoảng thời gian 30 giây. c) Có ít nhất 1 cú điện thoại trong khoảng thời gian 10 giây. 26 Ví dụ 10: Một trạm bơm xăng trung bình mỗi giờ có 12 xe máy đến tiếp xăng. Tìm xác suất để trong 1 giờ nào đó có hơn 15 xe đến tiếp xăng. Giải Gọi X là số xe máy đến tiếp xăng trong 1 giờ ~ ( )X P    12. Xác suất để trong 1 giờ nào đó có hơn 15 xe đến tiếp xăng: P(X>15)  với 1215 0 12 .1 0,1556. !      k k e k 1-P(X 15) 15 0 =1- P(X= )   k k 27 28 Định lý tổng các phân phối Poisson độc lập: Xi ~P( ), i = 1,2,,m Xi độc lập    1 1 X X ~ . m m i i i i P               i 29 V. Liên hệ giữa B(n,p) và P( ): ~ ( , )X B n p .n p với50 0,1n p  ~ ( )X P  Ví dụ 12: Trong một lô thuốc, tỉ lệ thuốc hỏng là 0,003. Kiểm tra 1000 ống. a) Tính xác suất để gặp 4 ống bị hỏng. b) Tính xác suất để gặp 60 ống bị hỏng. n khá lớn và p khá bé và 30 Ví dụ 13: Mỗi chuyến xe chở được 1000 chai bia. Xác suất để môt chai bia bị vỡ khi vận chuyển là 0,001. a) Tìm xác suất khi vận chuyển có 2 chai vỡ. b) Tìm xác suất khi vận chuyển có số chai vỡ không ít hơn 2. c) Tìm số chai vỡ trung bình khi vận chuyển. 10/29/2019 6 31 VI. Phân phối chuẩn N( , ):  2 Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối chuẩn với kỳ vọng và phương sai , kí hiệu , nếu hàm mật độ của nó có dạng:  2 2 2 ( ) 21( ) , . 2 x f x e x         2X ~ ( , )N   32 33 34 6.1. Hàm Gauss: Hàm Gauss f(x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn tắc X ~ N(0,1). 2 21( ) , (*) 2 x f x e x       Đặc biệt, khi ta nói X có phân phối chuẩn tắc (phân phối Gauss). Khi đó, ta có X ~ (0,1)N 35 Tính chất: Hàm Gauss là hàm chẵn ( ) ( ).f x f x  36 Ví dụ 14: Tìm a) f (1,09) b) f (-2,8) c) f (6,12) Cách tìm giá trị của hàm Gauss tại 1 điểm xo: -Cách 1: Tính trực tiếp bằng cách thay x xo trong công thức (*). -Cách 2: Tra bảng giá trị hàm Gauss.   Chú ý: Nếu x > 4,09 thì lấy f (x) 0,0001.  = 0,2203 = 0,0079 = 0,0001 10/29/2019 7 37 6.2. Hàm Laplace: Hàm Laplace là hàm số xác định bởi ( )x 2 2 0 1( ) , (**) 2 x t x e dt x         38 Tính chất: Hàm Laplace là hàm lẻ ( ) ( ).x x    39 Ví dụ 15: Tìm a) b) c) d) e) Cách tìm giá trị của hàm Laplace tại 1 điểm xo: -Cách 1: Tính trực tiếp bằng cách thay x xo trong công thức (**). -Cách 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace.   Chú ý: Nếu x > 4,09 thì lấy ( ) 0,5.x  (0,40) ( 2,58)  (6,12) = 0,1554 = -0,4951 = 0,5 ( )  ( )  =0,5 =-0,5 (2,58)  ( )   40 6.3. Các công thức tính xác suất của phân phối chuẩn: Nếu thì 2~ ( , )X N   P( X ) b aa b                   P(| X | ) 2 , 0          41  Quy tắc k – sigma:  P(| X | ) 2k k     Nếu k = 3 thì ta có quy tắc 3 - sigma:  P(| X | 3 ) 2 3 0,9974      nghĩa là: sai số giữa X và không quá là gần chắc chắn (xác suất gần bằng 1).  3 42 Ví dụ 16: Khối lượng của một con bò trưởng thành là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 300kg và độ lệch chuẩn là 50kg. Tính tỉ lệ bò có khối lượng: a) Nằm trong khoảng từ 275kg đến 425kg. b) Nhẹ hơn 200kg. c) Nặng hơn 375kg. Giải Gọi X(kg): khối lượng của một con bò trưởng thành. Ta có 2X ~ ( ; )N   với 300  50. và 10/29/2019 8 43 a) P(275 X 425)  425 300 275 300 50 50                  2,5 0,5       2,5 0,5   0,4938 0,1915  0,6853. 44 Ví dụ 17: Thời gian để sản xuất một sản phẩm loại A (đơn vị: phút) là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với và Tìm khoảng thời gian cần thiết để sản xuất một sản phẩm loại A bất kỳ. 10  1.  45 Ví dụ 18: Trọng lượng X của một loại sản phẩm (đơn vị: gam) có phân phối chuẩn. Biết 65% số sản phẩm có trọng lượng lớn hơn 20 gam và 8% số sản phẩm có trọng lượng lớn hơn 30 gam. a) Nếu sản phẩm được chấp nhận có trọng lượng nhỏ hơn 25 gam thì tỉ lệ sản phẩm bị loại là bao nhiêu? b) Cần quy định trọng lượng tối thiểu là bao nhiêu để tỉ lệ sản phẩm bị loại nhỏ hơn 2%. 46 VII. Liên hệ giữa B(n,p) và N( , ): ~ ( , )X B n p .n p với  5 5np nq 2~ ( , )X N    2 . .n p q  Khi đó:  1P(X ) kk f          P( X ) b aa b               0,5 0,5     và 47 Chú ý: Các biến cố có thể đưa về dạng như sau ( ),a X b ( ),a X b  ( )a X b  ( )a X b  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a X b a X b a X b a X b a X b a X b            1 1 1 1         48 Ví dụ 19: Xác suất sinh được 1 em bé gái là 0,52. Tính xác suất sao cho trong 300 em bé sắp sinh a) có 170 bé trai. b) số bé trai vào khoảng từ 150 đến 170. c) số bé trai ít nhất là 170. 10/29/2019 9 49 VIII. Phân phối đều U(a,b): Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối đều trong khoảng (a,b), kí hiệu X~U(a,b), nếu hàm mật độ của nó có dạng 1 khi [ , ] ( ) 0 khi [ , ] x a b f x b a x a b       Nếu X~U(a,b) thì     2( )E(X) ; Var(X) 2 12 a b b a 50 Ví dụ 20: Giả sử một xe buýt chỉ ghé trạm đón khách trong khoảng thời gian từ 10 giờ đến 10 giờ 30 và thời điểm ghé trạm là biến ngẫu nhiên có phân phối đều. Nếu bạn đến trạm lúc 10 giờ thì a) Thời gian trung bình bạn phải chờ là bao nhiêu? b) Xác suất bạn phải chờ ô tô hơn 10 phút là bao nhiêu? 51 Giải X: số phút tính từ 10 giờ đến 10 giờ 30 ô tô sẽ đến trạm. X~U(0,30) với a=0, b=30. Ta có hàm mật độ 1 khi [0,30]( ) 30 0 khi [0,30] xf x x      a) 0 30( ) 15 2 E X   (phút). 52 b) Xác suất phải chờ ô tô hơn 10 phút là: 30 30 10 10 1 2P(10 X 30) ( ) 0,6667. 30 3 f x dx dx       53 IX. Phân phối mũ E( ): Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối mũ với tham số , kí hiệu X~E( ), nếu hàm mật độ của nó có dạng       0 khi 0 ( ) khi 0x x f x e x Nếu thì     2 1 1E(X) ; Var(X)  0   X~E( )  54 Ví dụ 21: Tuổi thọ X(năm) của một mạch điện tử trong máy tính là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ, trung bình 6,25. Thời gian bảo hành của mạch điện tử là 5 năm. Tính tỉ lệ mạch điện tử bán ra phải thay thế. Giải X~E( ) với  1 1 0,16. E(X) 6,25     Hàm mật độ:      0,16 0 khi 0 ( ) 0,16 khi 0x x f x e x 10/29/2019 10 55 Xác suất mạch điện tử bán ra phải thay thế là: 5 5 0,16 0 P(X 5) ( ) 0,16 0,5507 55,07%.xf x dx e dx        X. Định lý giới hạn trung tâm 56 Giả sử X1, X2, Xn là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối xác suất với Khi đó 2( ) , ( ) , .i iE X Var X i      2 1 . , . . n i i X X N n n      57 Ví dụ 22: Trọng lượng của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có trung bình 50g, độ lệch tiêu chuẩn 10g. Các sản phẩm được đóng thành hộp, mỗi hộp 100 sản phẩm. Hộp có trọng lượng trên 4,85kg là đạt tiêu chuẩn. Tính tỉ lệ hộp đạt tiêu chuẩn.