Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Vector ngẫu nhiên

1VECTOR NGẪU NHIÊN Chương 3 NỘI DUNG CHƯƠNG 3.1 Vecto ngẫu nhiên hai nhiều 3.2 Vecto ngẫu nhiên hai chiều rời rạc 3.3 Vecto ngẫu nhiên hai chiều liên tục ThS Lê Văn Minh 3.1 Vector ngẫu nhiên hai chiều ĐN 3.1.1: Cho tnnn T, có kgxs Ω. Ánh xạ V: Ω→R2 được gọi là vector ngẫu nhiên, ký hiệu: V=(X,Y). Trong đó X,Y là 2 biến ngẫu nhiên. ĐN 3.1.2: Hàm ppxs đồng thời của cặp (X,Y) là hàm số F(x,y) được xác định bởi: ( , ) { , }, ( , )F x y P X x Y y x y R    ThS Lê Văn Minh 3.1 Vector ngẫu nhiên hai chiều ĐN 3.1.3: Cho vector nn (X,Y). Hàm pp lề của X và Y tương ứng là các hàm số: ( ) { }, ( ) { }, y X Y F x P X x x R F y P Y y R       ThS Lê Văn Minh 23.1 Vector ngẫu nhiên hai chiều ĐN 3.1.4: Biến ngẫu nhiên độc lập Cho vector nn (X,Y) có hàm ppxsđt F(x,y) và các hàm pp lề FX(x), FY(y). Hai bnn X và Y được gọi làđộc lập nếu ( , ) ( ). ( )X YF x y F x F y ThS Lê Văn Minh 3.1 Vector ngẫu nhiên hai chiều Hiệp phương sai ĐN 3.1.5: Cho vector nn (X,Y). Người ta gọi hiệp phương sai của vector nn (X,Y), ký hiệu: Cov(X,Y) là trị số được xác định bởi: Nếu X =Y thì Cov(X,X) = E(X-EX)2 = VarX ( , ) [( )( )]Cov X Y E X EX Y EY   ThS Lê Văn Minh 3.1 Vector ngẫu nhiên hai chiều Hệ số tương quan của 2 biến nn X và Y, ký hiệu Corr(X,Y) là trị số xác định bởi Định lý 3.1.1 ( , )( , ) . Cov X YCorr X Y VarX VarY  ( , ) ( . ) .Cov X Y E X Y EX EY  ThS Lê Văn Minh 3.1 Vector ngẫu nhiên hai chiều Định lý 3.1.2: Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y. Giả sử X, Y độc lập. Khi đó: ) ( . ) . ) ( ) ) ( , ) 0 ) ( , ) 0 i E X Y EX EY ii Var X Y VarX VarY iii Cov X Y iv Corr X Y       ThS Lê Văn Minh 33.1Vector ngẫu nhiên hai chiều Định lý 3.1.3: 2 2 ) ( , ) ( , ) ) ( ) 2 .Cov( , ) i Cov X Y Cov Y X ii Var aX bY a VarX b VarY ab X Y      ThS Lê Văn Minh 3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều ĐN 3.2.1 Bảng ppxs đồng thời Cho vector nnrr hai chiều (X,Y), trong đó:X= a1,..,am và Y=b1,..,bn là các bnnrr. Bảng ppxsđt của vector (X,Y) là bảng: X Y b1 … bn a1 p11 … p1n … … … … am pm1 … pmn ThS Lê Văn Minh 3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều trong đó: 11 12 ( , ) 0 1, , 1 ij i j ij mn p P X a Y b p i j P P P           ThS Lê Văn Minh 3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều ĐN 3.2.2: Cho vector nnrr (X,Y) có bảng ppxsđt như 3.2.1. Người ta gọi bảng pp lề là bảng: trong đó: πi được tính bằng cách cộng theo dòng và Π’1 tính bằng cách cộng theo cột của bảng 3.2.1. X a1 … am πi π1 … πm Y b1 … bn Π’i Π’1 … Π’n ThS Lê Văn Minh 43.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều Hiệp phương sai của vector nnrr 2 chiều: Với ( , ) [( )( )] ( ) .Cov X Y E X EX Y EY E XY EX EY     1 1 ( ) m n i j ij i j E XY a b P    ThS Lê Văn Minh 3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều Ví dụ 3.2.1 Gọi tnnn T là tung con xúc sắc cân bằng một lần. Xét hai biến ngẫu nhiên có tương quan: Hãy tìm bảng ppxsdt của (X,Y), các bảng pp lề của X và Y?     3 neáu 1,2,3 chaám 3 neáu 4,5,6 chaám 0 neáu 1,3,5 chaám 1 neáu 2,4,6 chaám X Y ThS Lê Văn Minh 3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều Ta tính: ωk 1 chấm 2 chấm 3 chấm 4 chấm 5 chấm 6 chấm X -3 -3 -3 3 3 3 Y 0 1 0 1 0 1 Pk 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 11 1 1 1{ 3, 0} {1 ch,3ch} (1 ch) (2 ch) 6 6 3 p P X Y P P P          12 { 3, 1} {1 ch} 1/ 6p P X Y P      21 { 3, 0} {5ch} 1/ 6p P X Y P     22 1 1 1{ 3, 1} {4 ch, 5 ch} (4ch) (5 ch) 6 6 3 p P X Y P P P         ThS Lê Văn Minh 3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều Bảng ppxs đồng thời: Bảng phân phối lề: X Y 0 1 -3 1/3 1/6 3 1/6 1/3 X -3 3 πi 1/2 1/2 Y 0 1 Π’j 1/2 1/2 ThS Lê Văn Minh 53.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều Biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập: Cho vector ngẫu nhiên rời rạc X=(a1,..,am) và Y=(b1,..,bn). Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập khi và chỉ khi: { , } { }. { },i j i jP X a Y b P X a P Y b i j       ThS Lê Văn Minh 3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều Ví dụ 3.2.2 Khảo sát tính độc lập của hai biến ngẫu nhiên X, Y ở ví dụ 3.2.1 Ta có: Nên X, Y không độc lập. { 3, 0} 1/ 3 1 1 1{ 3}. { 0} . 2 2 4 P X Y P X P Y          Vì { 3, 0} { 3}. { 0}P X Y P X P Y       ThS Lê Văn Minh Phân phối có điều kiện Giả sử biến cố A đã xảy ra và P(A)>0. Phân phối X với điều kiện A là P(X=xi/A) và được xác định: Tương tự pp của Y theo điều kiện A: ( , )( / ) , ( 1, ) ( ) i i iA P X x AP X x A P i m P A     ( , ) ( / ) , ( 1, ) ( ) j j Aj P Y y A P X y A P j n P A     ThS Lê Văn Minh Phân phối có điều kiện Ví dụ 3.2.3 Xét lại Ví dụ 3.2.1 với A = (Y=0). Phân phối có điều kiện của X theo A: X -3 3 PiA 2/3 1/3 1A 2A ( 3, 0) 1/ 3 2( 3 / 0) ( 0) 1/ 2 3 ( 3, 0) 1/ 6 1( 3 / 0) ( 0) 1/ 2 3 P X YP X Y P P Y P X YP X Y P P Y                 ThS Lê Văn Minh 6Kỳ vọng có điều kiện Nếu biết pp điều kiện của X và Y thì kỳ vọng của X và Y với điều kiện A được tính như sau: 1 1 ( / ) ( / ) m A i iA i n A i Aj j EX E X A x P EY E Y A y P         ThS Lê Văn Minh Phương sai có điều kiện Phương sai của X và Y với điều kiện A, được xác định bởi: 2 1 2 1 ( / ) ( ) ( / ) ( ) m A i A iA i n A i A Aj j VarX Var X A x EX P VarY Var Y A y EY P           ThS Lê Văn Minh 3.3 Vector ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Hàm mật độ xác suất đồng thời Cho vector nn hai chiều (X, Y), có hàm ppxs F(x,y). Người ta gọi vector (X,Y) là vector nnlt hai chiều nếu tồn tại một hàm f(x,y) ≥ 0 , sao cho: Khi đó: f(u,v) gọi là hàm mđxs đồng thời của (X,Y) ( , ) ( , ) y x F x y f u v dudv      ThS Lê Văn Minh Vector ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Định lý 3.3.1: Cho vector nnlt (X,Y), có hàm ppxsđt F(x,y) và hàm mđxsđt f(x,y). Khinđó: 2 ) ( , ) 1 ( , )) ( , ) ) { ; } ( , ) d b c a i f x y dxdy F x yii f x y x y iii P a X b c Y d f x y dxdy                  ThS Lê Văn Minh 7Vector ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Hàm mật độ lề của vector nnllt: Cho vector nnlt có hàm mđxsđt f(x,y). Khi đó: Hàm mật độ lệ theo X: Hàm mật độ lệ theo Y: ( ) ( , )Xf x f x y dy     ( ) ( , )Yf y f x y dx     ThS Lê Văn Minh Vector ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Kỳ vọng của bnnlt X,Y theo hàm mđxsđt f(x,y) của (X,Y): ( , ) ( , ) EX xf x y dxdy EY yf x y dxdy               ThS Lê Văn Minh Vector ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Phương sai của X,Y: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) VarX x EX f x y dxdy x f x y dxdy xf x y dxdy VarY y EY f x y dxdy y f x y dxdy yf x y dxdy                                                       ThS Lê Văn Minh Vector ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Hiệp phương sai của vector nnlt (X,Y): ( , ) ( )( ) ( , ) ( , ) . Cov X Y x EX y EY f x y dxdy xyf x y dxdy EX EY                  ThS Lê Văn Minh