Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

2/19/2019 1 Chương 4 1 Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Yêu cầu • Phân phối xác suất đồng thời • Phân phối lề (tính từ ppxs đồng thời) • Phân phối xác suất điều kiện • Sự độc lập của hai biến ngẫu nhiên • Các tham số đặc trưng 2nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Khái niệm • Là bộ có thứ tự (X,Y) với X, Y là các biến ngẫu nhiên. • Nếu X và Y rời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc • Nếu X và Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục • Nếu một biến rời rạc và một biến liên tục sẽ rất phức tạp nên ta không xét trường hợp này. 3nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ 1 • Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm. Nếu kích thước sản phẩm đo bằng chiều rộng X và chiều dài Y thì ta có bnn hai chiều (X, Y). • Nếu xét thêm cả chiều cao Z thì ta có bnn 3 chiều (vec tơ ngẫu nhiên 3 chiều) (X,Y,Z) • Nếu chỉ quan tâm đến trọng lượng W và thể tích V của sản phẩm thì ta có bnn hai chiều (W,V) 4nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Hàm khối xác suất đồng thời • Joint probability mass function (p.m.f.) • Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc. Gọi S là tập hợp giá trị của X và Y. • Ký hiệu: pX,Y(x,y) 5    , , ,X Yp x y P X x Y y                , , , , , ) 0 , 1 ) , 1 ) , , ,         X Y X Y X Y x y S x y A i p x y ii p x y iii P X Y A p x y A S nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Bảng ppxs đồng thời của (X,Y) 6 y1 y2 yj ym ∑ x1 p11 p12 p1j p1m p1● x2 p21 p22 p2j p2m p2● xi pi1 pi2 pij pim pi● xn pn1 pn2 pnj pnm pn● ∑ p●1 p●2 p●j p●m 1 Y X nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 2/19/2019 2 Bảng ppxs đồng thời của (X,Y) • Trong đó: 7    , 1 1 1 1 ) , , ) 1 ) ; ij X Y i j i j n m ij i j m n i ij j ij j i i p p x y P X x Y y ii p iii p p p p                 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Phân phối lề • Marginal Probability Mass Function • Phân phối lề của X: • Phân phối lề của Y: 8      , 1, ,   X X Y y p x p x y P X x x S      , 2, ,   Y X Y x p y p x y P Y y y S nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Sự độc lập Hai biến ngẫu nhiên X, Y gọi là độc lập nếu: • Dấu hiệu: • Hai hàng bất kỳ tỷ lệ. • Hai cột bất kỳ tỷ lệ. 9       1 2, , ,         P X x Y y P X x P Y y x S y S nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ 2 Cho hàm khối xác suất đồng thời như sau: Trong đó: a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời. b) Hai biến ngẫu nhiên X, Y có độc lập? 10   2 , , 13 X Y xy p x y       1,1 , 1,2 , 2,2S nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 The Trinomial Distribution • Sinh viên đọc thêm 11nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ 3 129 130 131 15 0,12 0,42 0,06 16 0,08 0,28 0,04 12 X: chiều dài (mm) Y: chiều rộng (mm) • Tìm xác suất một chiếc CD có chiều dài 130mm biết chiều rộng là 15mm. • Tìm phân phối xác suất của X với điều kiện Y =15. nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 2/19/2019 3 Ppxs có điều kiện • Giả sử bnn 2 chiều (X,Y) có hàm khối xác suất đồng thời và các hàm khối xác suất thành phần: • PPXS điều kiện của X khi cho Y=y là: • PPXS điều kiện của Y khi cho X=x là: 13      , , ; ;X Y X Yp x y p x p y       , , | X Y X Y p x y p x y p y        , , |  X Y Y X p x y p y x p x nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Kỳ vọng có điều kiện (hồi quy) • Kỳ vọng của X với điều kiện Y=y (còn gọi là hồi quy của X theo Y khi Y=y) • Kỳ vọng của Y với điều kiện X=x (còn gọi là hồi quy của Y theo X khi X=x) 14    | || .    Y x Y x y E Y X x y p y    | || .    X y X y x E X Y y x p x nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Phương sai có điều kiện • Phương sai của X với điều kiện Y=y • Tương tự cho Y. 15             2 | 2 2 2 | | . | .             X yX y x X y X y X y y V X Y y x p x V X Y y x p x nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ 4 129 130 131 15 0,12 0,42 0,06 16 0,08 0,28 0,04 16 X: chiều dài (mm) Y: chiều rộng (mm) • Tìm E(Y|X=129) và V(Y|X=129) nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ 5 • Chọn ngẫu nhiên 2 cục pin, không hoàn lại, từ 12 cục pin, trong đó bao gồm 3 cục mới, 4 cục đã sử dụng và 5 cục bị hỏng. • Gọi X là số pin mới được chọn. • Gọi Y là số pin đã sử dụng được chọn. • Lập bảng ppxs đồng thời của (X,Y) • Tìm E(X), E(Y) 17nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ 6 • Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân phối xác suất: • Tìm luật ppxs của các biến X và Y. 18 1 2 3 1 0,10 0,25 0,10 2 0,15 0,05 0,35 X Y nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 2/19/2019 4 Ví dụ 7 • Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau: • Tính P(X=6) và P(X ≥ 7, Y ≥2) • Lập bảng ppxs thành phần và tính E(X), E(Y). 19 1 2 3 6 0,10 0,05 0,15 7 0,05 0,15 0,10 8 0,10 0,20 0,10 X Y nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ 8 • Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau: • Lập bảng ppxs của X với đk Y=2. Tính E(X|Y=2)? • Lập bảng ppxs của Y với đk X=8. Tính E(Y|X=8)? 20 1 2 3 6 0,10 0,05 0,15 7 0,05 0,15 0,10 8 0,10 0,20 0,10 X Y nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ 9 • Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) và doanh thu Y (triệu đồng) của một công ty có bảng ppxs đồng thời như sau: 21 500 (400-600) 700 (600-800) 900 (800-1000) 30 0,10 0,05 0 50 0,15 0,20 0,05 80 0,05 0,05 0,35 X Y nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ 9 • Nếu doanh thu quảng cáo là 700 triệu đồng thì chi phí quảng cáo trung bình là bao nhiêu? 22 A. 60,5 B. 48,3333 C. 51,6667 D. 76,25 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ 10 • Lãi suất cổ phiếu tính trên 100 USD khi đầu tư vào hai ngân hàng A và B trong 1 năm tương ứng X, Y )(đơn vị %) có ppxs đồng thời như sau: • A) Lập bảng phân phối biên của X, Y. Tính lãi trung bình của từng ngân hàng. 23 -2 5 10 - 1 0,10 0,05 0 4 0,15 0,20 0,05 8 0,05 0,05 0,35 X Y nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ 10 • B) Khi Y=5% tính lãi cổ phần trung bình của X? • C) X và Y có độc lập nhau không • D) Lập bảng ppxs của T=X+Y. Tìm E(T), V(T) 24 -2 5 10 - 1 0,10 0,05 0 4 0,15 0,20 0,05 8 0,05 0,05 0,35 X Y nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 2/19/2019 5 Kỳ vọng của hàm theo X,Y • Cho X,Y có phân phối đã biết. Đặt Z=h(X,Y) là biến mới. • Ta có: 25       , , ,i j i j i j E h X Y h x y P X x Y y         ,, , ,X Y x y E h X Y h x y p x y nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ 11 • Cho bnn rời rạc X, Y có phân phối xác suất đồng thời như sau: • Tìm kỳ vọng của h(X,Y)=X.Y2 26 1 2 3 4 0,10 0,15 0,1 5 0,25 0,20 0,2 X Y nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ 12 • Cho Z=X+Y và bảng ppxs đồng thời sau: 27 (X,Y) (0;0) (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2) pij 0,1 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2                 0 0 .0,1 0 1 .0,2 0 2 .0,3 1 0 .0,05 1 1 .0,15 1 2 .0,2 1,75 E Z E X Y               nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Hiệp phương sai (Covariance) • Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu cov(X,Y), là kỳ vọng toán của tích các sai lệch của các bnn đó và kỳ vọng toán của chúng. 28     cov ,      X Y XYX Y E X Y    cov , X YX Y E XY    nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Tính chất Covariance 1 29                       1) cov , cov , 2)cov , 3) cov ', cov , cov ', 4)cov , cov , 5)cov , cov , X Y Y X X X V X X X Y X Y X Y kX Y k X Y aX c bY d ab X Y          nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ 13 30 -2 5 10 - 1 0,10 0,05 0 4 0,15 0,20 0,05 8 0,05 0,05 0,35 X Y nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 2/19/2019 6 Tính chất Covariance 2 31                         2 2 2 6) cov , 0, 7) 2cov , 8) 9) co 2 co v , , v . Neáu X vaø Y ñoäc laäp thì ngöôïc laïi khoâng chaéc ñuùng. X Y V X Y V X V aX bY a V X b V Y ab X Y X Y V Y X V X V Y Y              nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Hệ số tương quan • Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X, Y ký hiệu Corr(X,Y) và định nghĩa bởi công thức: • Hệ số tương quan còn ký hiệu là: 32    cov , ,    X Y or X Y rC X Y    , ; ,X Y r X Y nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Tính chất 33   , , , , , , ) 1 1 ) 0. ) ) , 0 1 1 vôùi moïi X, Y. Neáu X vaø Y ñoäc laäp thì neáu ab>0 neáu ab<0 khi vaø chæ khi: neáu a>0 neáu a<0 X Y X Y X Y aX c bY d X Y X Y i ii iii iv Y aX b a                        nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ý nghĩa • Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa X và Y. • Khi |ρX,Y| càng gần 1 thì mức độ quan hệ tuyến tính càng chặt. • Khi |ρX,Y| càng gần 0 thì mức độ quan hệ tuyến tính càng yếu. • Khi ρX,Y = 0 ta nói X và Y không tương quan. 34nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Về dấu của Corr(X,Y) • https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/113/ • Tại sao ρX,Y có thể đo mức độ tương quan tuyến tính? • Tại sao ρX,Y càng gần 1; -1 thì mức độ quan hệ tuyến tính càng mạnh 35nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 Ví dụ 14 Cho bảng ppxs đồng thời: a) Tìm hệ Corr(X,Y) b) X và Y có phải là hai biến ngẫu nhiên độc lập 36nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019