Bài giảng Xác suất & Thống kê - Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất

 Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất §1. Một số loại hội tụ trong xác suất và các định lý §2. Các loại xấp xỉ phân phối xác suất 2.2. Xấp xỉ phân phối Nhị thức bởi Poisson §2. CÁC LOẠI XẤP XỈ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.1. Xấp xỉ phân phối Siêu bội bởi Nhị thức 2.3. Xấp xỉ phân phối Nhị thức bởi phân phối Chuẩn  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất 2.1. Xấp xỉ phân phối Siêu bội bởi Nhị thức Xét BNN X có phân phối Siêu bội ( ; ; ) A H N N n . • Nếu p cố định, N ® ¥ và 1A N p q N ® = - thì: A A k n k N N N d k k n k nn N C C C p q C - - -¾ ¾® .  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất ỨNG DỤNG Nếu N khá lớn và n rất nhỏ so với N thì ( ; ), .A N X B n p p N =: Chú ý Khi cỡ mẫu n khá nhỏ so với kích thước N (khoảng 5%N ) của tổng thể thì việc lấy mẫu có hoàn lại hay không hoàn lại là như nhau.  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất Đỏ: (10.000; 4.000; 10)X HÎ , Xanh: (10; 0, 4)X BÎ . VD 1. Một vườn lan có 10.000 cây sắp nở hoa, trong đó có 1.000 cây hoa màu đỏ. 1) Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 20 cây lan thì được 5 cây có hoa màu đỏ. 2) Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 50 cây lan thì được 10 cây có hoa màu đỏ. 3) Có thể tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 200 cây lan thì có 50 cây hoa màu đỏ được không ?  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất 2.2. Xấp xỉ phân phối Nhị thức bởi Poisson Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối Nhị thức ( ; )B n p . • Khi n ® ¥ , nếu 0p ® và np ® l thì: . ! k dk k n k n e C p q k - l - l¾ ¾ ® . • Ứng dụng, đặt npl = . Nếu n đủ lớn và p gần bằng 0 (hoặc gần bằng 1) thì: ( ).X P l:  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất Xanh: (1.000; 0, 005)X BÎ , Đỏ: (5)X PÎ . VD 2. Một lô hàng thịt đông lạnh đóng gói nhập khẩu có chứa 0,4% bị nhiễm khuẩn. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 1.000 gói thịt từ lô hàng này có: 1) không quá 2 gói bị nhiễm khuẩn; 2) đúng 34 gói bị nhiễm khuẩn.  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất VD 3. Giải câu 3) trong VD 1. Giải Ta có: (10.000; 1.000; 200)X HÎ . Ta xấp xỉ (200; 0,1)X B: , với 0,1p = . Tiếp tục xấp xỉ (20)X P: , với 20npl = = . Vậy 50 20 9 50 20 ( 50) . 7, 6.10 50! P X p e- -= » = = .  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất Tóm tắt các loại xấp xỉ rời rạc ( , , ) A X H N N nÎ A N p N = ( , )X B n pÎ 5 5 np nq é <ê ê <êë ( )X P lÎ ( )5%n N< npl = . A N n N l = Sai số rất lớn  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất 2.3. Xấp xỉ phân phối Nhị thức bởi phân phối Chuẩn a) Định lý giới hạn địa phương Moivre – Laplace Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối Nhị thức ( ; )B n p . Với 0,1,...,k n= bất kỳ và k np x npq - = , ta có : 2 2 . ( ) lim 1 1 2 n xn npq P X k e ® ¥ - = = p .  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất b) Định lý giới hạn tích phân Moivre – Laplace Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối Nhị thức ( ; )B n p . Với mọi ,a b Î ¡ và a b< , ta có: 2 2 1 lim ( ) 2 b np npq x n a np npq P a X b e dx - - ® ¥ - £ £ = p ò .  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất c) Ứng dụng xấp xỉ Cho ( ; )X B n pÎ . Nếu n khá lớn, 5np ³ và 5nq ³ thì 2( ; )X N m s: với 2, np npqm= s = . Khi đó: 1 ( ) . . k P X k f æ ö- m÷ç= = ÷ç ÷ç ÷s sè ø (giá trị được cho trong bảng A với ( ) ( )f x f x- = ).  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất 2 1 1 2 ( ) . k k P k X k æ ö æ ö- m - m÷ ÷ç ç÷ ÷£ £ = j - jç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çs sè ø è ø (giá trị được cho trong bảng B với ( ) ( )x xj - = - j ). Chú ý Khi k = m, ta sử dụng công thức hiệu chỉnh: ( ) ( 0, 5 0, 5).P X k P k X k= » - £ £ +  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất Xanh: (30; 0, 6)X BÎ , Đỏ: (18; 7, 2)X NÎ . VD 4. Trong một đợt thi tuyển công chức ở một thành phố có 1.000 người dự thi với tỉ lệ thi đạt là 80%. Tính xác suất để: 1) có 172 người không đạt; 2) có khoảng 170 đến 180 người không đạt.  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất VD 5. Trong 10.000 sản phẩm trên một dây chuyền sản xuất có 2.000 sản phẩm không được kiểm tra chất lượng. Tìm xác suất để trong 400 sản phẩm sản xuất ra: 1) có 80 sản phẩm không được kiểm tra; 2) có từ 70 đến 100 sản phẩm không được kiểm tra.  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất VD 6. Một khách sạn nhận đặt chỗ của 325 khách hàng cho 300 phòng vào ngày 1/1 vì theo kinh nghiệm của những năm trước cho thấy có 10% khách đặt chỗ nhưng không đến. Biết mỗi khách đặt 1 phòng, tính xác suất: 1) có 300 khách đến vào ngày 1/1 và nhận phòng; 2) tất cả khách đến vào ngày 1/1 đều nhận được phòng. Hướng dẫn: 2(325; 0,9) 292, 5; 29, 25X BÎ Þ m= s = (292, 5; 29, 25)X NÞ : . 1) ( 300) 0, 0281P X = = ; 2) (0 300) 0, 9177P X£ £ = .  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất VD 7. Một cửa hàng bán cá giống có 20.000 con cá loại da trơn trong đó để lẫn 4.000 con cá tra. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên (1 lần) 1.000 con từ 20.000 con cá da trơn đó. Tính xác suất khách chọn được từ 182 đến 230 con cá tra ? A. 0,8143; B. 0,9133; C. 0,9424; D. 0,9765. Hướng dẫn: • Dùng xấp xỉ Siêu bội – Nhị thức – Chuẩn. • Đáp án: B.  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất Tóm tắt xấp xỉ Chuẩn cho Nhị thức ( , )X B n pÎ npm= 2( , )X N m sÎ 5 5 np nq ìï ³ï í ï ³ïî EX np= VarX npq= 2 npqs = EX m= 2VarX s= .  Chương 5. Định lý giới hạn trong xác suất