Bài giảng Xác suất & thống kê - Lê Văn Trọng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TPHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA GIÁO DỤC CƠ BẢN BÀI GIẢNG XÁC SUẤT & THỐNG KÊ (LƯU HÀNH NỘI BỘ-NĂM 2012) BIÊN SOẠN: LÊ VĂN TRỌNG 2 Phần xác suất Ch0: Giải tích tổ hợp Ch1: Xác suất các biến cố ngẫu nhiên Ch2: BNN & luật phân phối xác suất Ch3: Một số luật phân phối thường dùng Ch4: Các định lý giới hạn và luật số lớn Phần thống kê Ch1: Mẫu, và các đặc trưng mẫu Ch2: Ước lượng tham số Ch3: Kiểm định giả thiết thống kê 3 CHƯƠNG 0: GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1. Quy tắc nhân 2. Chỉnh hợp chập k 3. Hoán vị bậc n 4. Chỉnh hợp lặp chập 5. Tổ hợp chập k 6. Nhị thức newton Bài tập chương 0 1. Công thức nhân Công việc A được chia thành k giai đoạn, giai đoạn thứ i có ni cách hoàn thành i=1..k. Vậy số cách để hoàn thành cả công việc A là: n=n1n2...nk (1) TD1: Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách vào 3 ngăn kéo? Giải: Công việc xếp 5 cuốn sách vào 3 ngăn kéo được chia thành 5 giai đoạn. Gđ1: Xếp cuốn thứ nhất, có 3 cách Gđ2: Xếp cuốn thứ hai, có 3 cách .... Gđ5: Xếp cuốn thứ năm, có 3 cách Vậy số cách để xếp 5 cuốn sách là: n = 35 2. Hoán vị bậc n Một cách sắp xếp n phần tử theo một thứ tự xác định gọi là một hoán vị bậc n. Số hoán vị bậc n là: Pn=n! (2) Qui ước: n! = n(n-1)(n-2)...2.1; 0! = 1 ; 1 !=1 3. Chỉnh hợp chập k Một cách lấy k phần tử theo một thứ tự xác định trong một tập hợp gồm n phần tử, gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số chỉnh hợp chập k của là: k n n!A n(n 1)(n 2)...(n k 1) (n k)!        (3) Chú ý: Một hoán vị bậc n là một chỉnh hợp chập n của n phần tử. TD2: Có 5 quả cầu, trên mỗi quả cầu ghi một số từ 1 5. Lầy ngẫu nhiên lần lượt 2 quả cầu. Hỏi có bao nhiêu số có 2 chữ số được hình thành từ 2 số trên hai quả cầu được lấy ra? 4 Giải: Một cách lấy hai quả cầu có thứ tự cho ta một số có 2 chữ số. Vậy số có 2 chữ số là: n=A25=20 TD3: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 8 tốt và 2 xấu. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 sản phẩm để kiểm tra. a- Có bao nhiêu cách lấy như thế? b- Có bao nhiêu cách lấy để có đúng một sản phẩm tốt ? c- Có bao cách lấy có ít nhất một xấu ? d- Có không quá 1 tốt ? Giải: a) n1=A210=90; b) n2=32; c) n3=A210–A28=34; d) n4= A210–A28=34 4. Chỉnh hợp lặp chập k Một cách lấy k phần tử theo một thứ tự xác định có hòan lại trong một tập hợp gồm n phần tử là một chỉnh hợp lặp chập k của n phân tử. Số chỉnh hợp lặp chập k là: Pkn=nk (4) TD3: Cho các chữ số số 0,1,2,..,6. a- Có bao nhiêu số có 3 chữ số được hình thành từ các số đã cho? b- Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số được hình thành từ các số đã cho? c- Có bao nhiêu số chia hết cho 3 có 3 chữ số được hình thành từ các số đã cho? 5. Tổ hợp chập k Một cách lấy k phần tử không phân biệt thứ tự trong một tập hợp gồm n phần tử, gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số tổ hợp chập k của n phần tử là: )!kn(!k !n !k A C k nk n   (5) Hệ quả: Ta chứng minh được: kn n k n CC  ; k 1n 1k 1n k n CCC     (6) 6. Nhị thức Newton 0     n n k n n k n k (a b) C a b (7) Hệ quả: Số các tập con của một tập hợp gồm n phần tử là: 0 2   n k n n k C (8) TD4: Một số có 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. a) Hỏi có bao nhiêu số có 5 chữ số 1 liền nhau b) Hỏi có bao nhiêu số có 5 chữ số 1 bất kỳ 5 Giải: a) n1=5 !=120 ; b) n2=C59P4!=3024 TD5: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm, hỏi: a) Có bao nhiêu cách lấy? b) Có bao nhiêu cách lấy được 1 tốt? c) Có bao nhiêu cách lấy được ít nhất 1 xấu? d) Có bao nhiêu cách lấy để có không quá 2 xấu? Giải: a) na=C310=120; b) nb=C17C23=21; c) nc=C310-C37=85; d) nd=C310-C33=119 TD6: Xếp 5 cuốn sách vào 3 ngăn kéo. Hỏi: a) Có bao nhiêu cách xếp? b) Có bao cách xếp để ngăn kéo nào cũng có sách? c) Có bao cách xếp để 2 ngăn có số sách bằng nhau? Giải: a) n1=35=243 b) n2=n1-[C13+C23(25 – C12)]=93 c) n3=35-(C15*3 !+C25*3 !) = 153 (tất cả trừ 2 ngăn có sách) Bài tập chương 0: 1) Có 5 đội bóng thi đấu, các đội thi đấu vòng tròn một lượt. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? ĐS: n=A25 2) Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ và 20 nam, giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ngẫu nhiên 4 em vào ban tự quản. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để được: a) 4 sinh viên bất kỳ b) Có 1 nam và 3 nữ c) Có 2 nam và 2 nữ d) Phải có ít nhất 1 nam ĐS: na=C45; nb=C120C330; nc= C220C230; nd=C45-C430 3) Một hộp có 10 sản phảm, trong đó có 7 tốt và 3 xấu. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Hỏi có bao nhiêu cách lấy để được: a) Hai sản phẩm bất kỳ? b) Một tốt và một xấu? c) Có ít nhất 1 tốt? d) Có không quá một tốt? ĐS: na=C210=45; nb=C17C13=21; nc=C210-C23=42; nd=C210-C27=24 4) Biết 3 tháng cuối năm có 3 trận mưa lớn. a) Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xẩy ra? b) Hỏi có bao nhiêu khả năng để mỗi ngày có không quá một trận mưa lớn? ĐS: na=C192+C292*2+C392=134044; nb=C392=125580 5) Một người sáng nào cũng gieo 5 xúc xắc để cầu may. Nếu có ít nhất một con 6 xuất hiện, thì ngày đó là ngày may mắn. a) Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xẩy ra trong một tuần? b) Biết trong tuần qua có 3 ngày may mắn. Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xẩy ra? 6 c) Trong tuần qua có 3 ngày may mắn. Hỏi có bao khả năng để những ngày may mắn có không quá một con 6 xuất hiện? ĐS: na=(65)7; nb=C37(65-55)7; nc=C37(C1554)7 6) a) Có bao nhiêu cách chia ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 người? b) Có bao nhiêu cách chia ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 người sao cho người thứ nhất có đúng 3 tặng phẩm? c) Có bao nhiêu cách chia ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 người sao cho mỗi người có 5 tặng phẩm? ĐS: a) n1 = 420; b) n2 = C320x317; c) n3=C520xC515xC510xC55 7) 7.1. Có bao nhiêu cách phân ngẫu nhiên 12 khách lên 3 toa tàu? 7.2. Có bao nhiêu cách phân ngẫu nhiên 12 khách lên 3 toa tàu sao cho toa thứ nhất có đúng 4 khách? 7.3. Có bao nhiêu cách phân ngẫu nhiên 12 khách lên 3 toa tàu để mỗi toa có 4 khách? ĐS: 7.1. n1=312; 7.2. n2=C412x28; 7.3. n3=C412xC48xC44  7 CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT CÁC BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1. Phép thử và biến cố ngẫu nhiên 2. Quan hệ giữa các BCNN 3. Định nghĩa xác xuất 4. Các công thức tính xác suất 1. Phép thử và biến cố ngẫu nhiên Phép thử: Phép thử là một khái niệm cơ bản, không được định nghĩa mà chỉ mô tả như một quan sát, một thí nghiệm nhằm trắc nghiệm một tính chất X nào đó trên một lớp các đối tượng đồng nhất, gọi là một phép thử T. Phép thử T có nhiều hơn một kết cục liên quan đến tính chất X, khi chưa thử thì không thể biết trước kết cụ nào sẽ xẩy ra, gọi là phép thử ngẫu nhiên. Lý thuyết xác suất chỉ quan tâm đến phép thử ngẫu nhiên. Biến cố ngẫu nhiên (BCNN): Một kết cục liên quan đến tính chất X của phép thử T gọi là một biến cố ngẫu nhiên. Ký hiệu A, B, C ... TD1: Quan sát một người bắn một viên đạn vào một mục tiêu, tính chất X ta quan tâm là viên đạn trúng mục tiêu hay không? Là một phép thử ngẫu nhiên. Gọi A là biến cố viên đạn trúng mục tiêu, B là biến cố viên đạn không trúng mục tiêu là các biến cố ngẫu nhiên. TD2: Gieo một xúc xắc, tính chất X ta quan tâm là số chấm xuất hiện của xúc xắc. Gọi Ai là biến cố mặt i chấm xuất hiện i=1..6; A là biến cố mặt chẵn chấm, B là biến cố có số chấm lớn hơn 3...là các biến cố ngẫu nhiên… Biến cố không thể: Là biến cố không bao giờ xẩy ra khi thử T, ký hiệu là . Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn xẩy ra khi thử T, ký hiệu là . TD3: Một hộp có 5 sản phẩm, trong đó có 4 tốt và 1 xấu. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 sản phẩm. Biến cố “trong hai sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 tốt” là biến cố chắc chắn. Biến cố “trong 2 sản phẩm lấy ra cả hai đều xấu” là biến cố không thể. Biến cố sơ cấp: Là một kết cục cụ thể có thể xẩy ra khi thử T. Tập hợp các biến cố sơ cấp ký hiệu . TD4: Phép thử gieo đồng thời một xu và một xúc xắc. Gọi S, N là biến cố xu xuất hiện mặt sấp/ngửa, Ai là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt i chấm. a) Hãy liệt kê tất cả các biến cố sơ cấp theo S, N, Ai b) Hãy mô tả một biến cố ,  Giải: a) SA1,SA2... SA6; NA1,NA2...NA6 (12 biến cố sơ cấp) b) “Xúc xắc có số chấm lớn hơn 0” là biến cố chắc chắn; “Xúc xắc có số chấm lớn hơn 6” là biến cố không thể 8 2. Quan hệ giữa các BCNN Biến cố kéo theo: Nếu biến cố A xẩy ra thì B cũng xẩy ra, Khi đó ta nói A kéo theo B, Ghi AB, đọc A kéo theo B hoặc A thuận lợi cho B. Hai biến cố bằng nhau: Nếu biến cố A xẩy ra thì B cũng xẩy ra và ngược lại, thì ta nói biến cố A bằng biến cố B, Ghi A=B. Hai biến cố đối lập: Ta nói biến cố đối lập của biến cố A là biến cố A không xẩy ra, ký hiệu là A . Hai biến cố xung khắc: A,B xung khắc nếu A xẩy ra thì B không xẩy ra và ngược lại. Họ biến cố xung khắc từng đôi: Họ biến cố {A1, A2, ...An} gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kì trong họ đều xung khắc với nhau. Chú ý: Tập các biến cố sơ cấp thì xung khắc từng đôi Tổng hai biến cố A, B: Là biến cố A xẩy ra hoặc B xẩy ra, ghi A+B. Tích hai biến cố A, B: Là biến cố đồng thời A và B cùng xẩy ra, ghi A.B Biến cố A hiệu B: Là biến cố A xẩy ra và B không xẩy ra; ghi A-B. Các tính chất: a) A+B = B+A b) (A+B)+C = A+(B+C) c) A.B = B.A d) (A.B).C = A(BC) e) A(B+C) = A.B+A.C f) AB  A+B = B; A.B = A g)   A A ;  A.A h) A, B xung khắc  A.B =  B A B A A A + B A.B B 9 i) Họ {Ai} xung khắc từng đôi khi và chỉ khi AiAj= ij j) 1/ A B A.B  ; 2/ A.B A B  Chú ý: Tập hợp các biến cố sơ cấp cùng với hai phép toán cộng và nhân hai biến cố tạo thành không gian các biến cố sơ cấp. TD5: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn một viên. Gọi Ai là biến cố người thứ i bắn trúng mục tiêu, i =1,2 hãy viết các biến cố sau theo A1, A2. a) Chỉ có người thứ nhất bắn trúng: A= 21A A b) Có đúng một người bắn trúng :  2 11 2B A A A A c) Có ít nhất một người bắn trúng: C= A1+A2 d) Cả hai người đều bắn trúng: D=A1A2 e) Cả hai Không trúng : 1 2A A hoặc 1 2A A TD6: Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm để kiểm tra. Gọi Ai là biến cố có i phế phẩm trong 4 sản phẩm được kiểm tra, Hãy biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố Ai i=0,1,2,3 a) Cả 3 sản phẩm đều tốt b) Có đúng một phế phẩm c) Có ít nhất 1 tốt d) Có số phế phẩm chẵn e) Có không quá 1 phế phẩm TD7: Ba người cùng bắn vào một mục tiêu một cách độc lập, mỗi người bắn 1 viên. Gọi Ai là biến cố người thứ i bắn trúng mục tiêu i=1..3. Hãy biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố Ai i=1..3. a) Mục tiêu có 1 viên trúng. b) Mục tiêu có ít nhất 1 viên trúng. c) Mục tiêu có không quá 1 viên trúng. d) ,  e) Bọi Bi là biến cố mục tiêu có i viên trúng, i=0,.,3. Chứng tỏ {Bi} là họ biến cố xung khắc từng đôi và B0+B1+B2+B3= 3. Định nghĩa xác suất các biến cố ngẫu nhiên 3.1. Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển Giả sử T là phép thử có n biến cố sơ cấp có cùng một khả năng xuất hiện như nhau. A là biến cố ngẫu nhiên liên quan đến T có m biến cố sơ cấp kéo theo A. Ta gọi tỷ số m/n là xác suất của biến cố A. Ký hiệu:  m Soábieáncoá sôcaápkeùotheoAP(A) n Soá taát caû caùcbieáncoá sôcaáp TD8: Phép thử gieo một xúc xắc, A là biến cố mặt 2 chấm xuất hiện, B là biến cố mặt chẵn chấm xuất hiện. Tính P(A)=?, P(B)=? Giải: Số các biến cố sơ cấp của phép thử T là n=6 Số các biến cố sơ cấp kéo theo A là m=1 Số các biến cố sơ cấp kéo theo B là m=3 Vậy P(A)=1/6=0.1666, P(B)=3/6=0.5 TD9: Một hộp có 3 bi xanh và 2 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi, tính xác suất để: 10 a) Hai bi lấy ra cùng màu xanh? b) Hai bi khác màu? Giải: Phép thử T có số các biến cố sơ cấp n=C25=10 a) A là biến cố 2 bi màu xanh  m=C23=3  P(A)=3/10=0.333 b) B là biến cố 2 bi khác màu  m=C13C12=6  P(B)=6/10=0.6 TD10: Bỏ ngẫu nhiên 5 viên bi vào 3 hộp. Tính xác suất để: a/ Chỉ có một hộp có bi (A) b/ Một hộp có 3 bi (C) c/ Hộp nào cũng có bi (B) Giải: a/ P(A)=3/35=1/34=1/81=0.0123 b/ P(B)=C35C13(22-C12)/35=60/243=0.2469 c/ P(C)=[35–C13–(C23*25-C12)]/35=146/243=0.6 Nhận xét: 1) Xác suất của biến cố A cho biết khả năng có thể xẩy ra biến cố A khi thử T ở mức bao nhiêu %. P(A)=p nghĩa là tiến hành phép thử T vô hạn lần thì tỷ lệ số lần xuât hiện A bằng p. 2) Xác suất của mỗi biến cố sơ cấp đều bằng nhau và bằng 1/n 3) Phép thử T có số biến cố sơ cấp là vô hạn, hoặc các biến cố sơ cấp có khả năng xẩy ra ở các mức độ khác nhau thì định nghĩa này không tồn tại. Để khắc phục thiếu sót này người ta xây dựng khái niệm xác suất theo lối thống kê như sau: 3.2. Định nghĩa theo lối thông kê Tần suất: Tiến hành phép thử T- n lần độc lập và giả sử có m lần xuất hiện A. Ta gọi số fAn = m/n là tần suất của biến cố A trong n lần thử T. Xác suất: Người ta chứng minh được, khi số lần thử tăng lên vô hạn, thì tần suất fAn biến thiên xoay quanh một số p. (limfAn=p khi n). Ta gọi số p là xác suất của biến cố A ký hiệu P(A)=p. Trong thực tế khi n đủ lớn ta ta có thể coi P(A)=fAn TD11: Hai nhà bác học Buffon và Pearson tiến hành thí nghiệm gieo một xu và có kết quả như sau: Người thực hiện Số lần gieo (n) Số lần sấp (m) Tần suất fnS Buffon 4040 2048 0.5069 Pearson 12000 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005 Từ 3 thí nghiệm trên ta thấy fSn  0,5 khi n  P(S) = 0.5 TD12: Để tính tỷ lệ suy dinh dưỡng bé sơ sinh tại thành phố HCM, người ta tiến hành kiểm tra lần lượt 1000 bé (n=1000), trong 1000 lượt kiểm tra thấy có 200 (m=200) bé suy dinh dưỡng.Ta có tần suất bé suy dinh dưỡng tại TP HCM là f1000=20%. Do vậy người ta nói tỷ lệ bé suy dinh dưỡng tại TPHCM là 20% 3.3. Định nghĩa theo lối hình học 11 T là phép thử có không gian các bién cố sơ cấp , và giả sử tập hợp  có diện tích tương ứng là S, A là biến cố ngẫu nhiên liên quan có diện tích tương ứng là SA. Xác suất của bién cố A là: ASP(A) S  TD13: Hai người hẹn gặp nhau ở một địa điẻm xác định và khoảng 8 đén 9 giờ sáng, và quy ước: Người đến trước sẽ đợi người kia 10 phút, sau đó nếu không gặp thì sẽ đi khỏi điểm hẹn. Tính xác suất để hai người gặp nhau, nếu biết rằng mỗi người có thể đến chỗ hẹn trong khoảng thời gian quy định một cách ngẫu nhiên và không phụ thuôic vào người kia đến lúc nào. Giải: gọi x là thời điểm ngươiì thứ nhất đến điểm hẹn, y là thời điểm người thứ hai đến điểm hẹn (đơn vị là phút)  hai người gặp nhau khi và chỉ khi |x-y|≤10. Ta biể diễn x,y trên mặt phẳng tọa độ vuông góc Khi đó diện tích của  là hình vuông 60 có cạnh là 60. Diện tích của biến cố A (hai người gặp nhau là hình chữ nhật S bị gạch.    2 2 2 60 50 11P(A) 3660 3.4. Các tính chất cơ bản của xác suất 1. P()=0, P(O)=1 2. 0P(A) 1 3. AB thì P(A)=P(B) 4. Nếu A, B xung khắc  P(A+B)=P(A)+P(B) 5. Nếu họ {Ai} với i=1,2,..,n.. xung khắc từng đôi thì: 1 1          n n i i i i P A P(A ) (Bao gồm cả khi n=∞) 6. P(A) = 1–P(A) 3.5. Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn: Những biến cố có xác suất rất nhỏ p0, thì có rất ít khả năng xẩy ra khi thử T. Khi đó người ta cho rằng biến cố này không xẩy ra (nguyên lý xác suất nhỏ). Ngược lại một biến cố có xác suất lớn p1, thì có rất nhiều khả năng xẩy ra khi thử T. Khi đó người ta cho rằng biến cố này sẽ xẩy ra khi thử T (nguyên lý xác suất lớn). Thường P(A) 0,9973 được coi là xác suất lớn. BT1: Một hộp có 10 bi trong đó có 5 đỏ, 3 trắng và 2 vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất để: a) Hai bi cùng màu. b) Một đỏ hoăc một vàng. c) Ba bi khác màu. SA S SA S 12 d) Có ít nhất một đỏ. ĐS: P(A)=79/120; P(B)=106/120; P(C)=30/120; P(D)=11/12 BT2: Gieo đồng thời hai xúc xắc (một xanh và một đỏ). Tính xác suất các biến cố: a) Tổng số chấm trên hai xúc xắc là 7 b) Số chấm của xúc xắc đỏ lớn hơn xúc xắc trắng c) Tích số chấm trên hai xúc xắc là một số lẻ ĐS: P(A)=1/6; P(B)=15/6; P(C)=9/36 BT3: Xếp 5 cuốn sách vào 3 ngăn kéo. Tính xác suất để: a) Ngăn kéo nào cũng có sách b) Có 2 ngăn kéo có số sách bằng nhau ĐS: a) P(A)=150/243; b) P(B)=153/243 BT4/ Ba công nhân A, B, C cùng kỹ năng cùng tay nghề thay nhau sản xuất một loại sản phẩm. Trong số sản phẩm họ làm ra trong một tháng có 4 phế phẩm. Tính xác suất để : a/ Số phế phẩm do một người làm b/ Công nhân nào cũng có phế phẩm ĐS: a/ P(A)=1/33 ; b/ P(B)=C24*C12*3 !/34=8/9 BT5/ Biết 3 tháng cuối năm có 3 trận mưa lớn. Tính xác suất để mỗi ngày có không quá một trận mưa lớn. ĐS: P(A)=125580/1340044=0.9368 BT6/ Một người sáng nào cũng gieo 5 xúc xắc để cầu may. Nếu có ít nhất một con 6 xuất hiện, thì ngày đó là ngày may mắn. Biết rằng trong tuần qua người đó có 3 ngày may mắn. Tính xác suất trong những ngày may mắn có không qua một con 6 xuất hiện. ĐS: P(A)=C37(C1554)3(55)4/C37(65-55)3(55)4=0.0121 4. Các công thức tính xác suất 4.1. Các công thức cộng a) Công thức cộng thứ nhất: Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì: P(A+B)=P(A)+P(B) (1) Mở rộng, nếu Ai i=1..n là họ biến cố xung khắc từng đôi thì: n n i i i 1 i 1 P A P(A )           (2) (công thức vẫn đúng khi n=) b) Công thức cộng thứ hai: Nếu A,B là hai biến cố không xung khắc: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (3) 13 Mở rộng nếu họ {Ai} không xung khắc từng đôi: 1 2 1 1 n n n+1 i i i j i j k n i i i j i<j<k P A P(A ) P(A A )+ P(A A A )-...+(-1) P(A A ..A )               (4) TD14: Một lớp có 50 học sinh, trong đó có 20 giỏi toán, 15 giỏi văn, 20 giỏi sinh ngữ, 10 giỏi cả 2 môn toán và sinh ngữ, 12 giỏi cả 2 môn văn và sinh ngữ, 5 giỏi cả 2 môn toán và văn, và 3 giỏi cả 3 môn. Lấy ngẫu nhiên từ danh sách ra một em, tính xác xuất để học sinh này giỏi ít nhất một môn. Giải: Gọi T là biến cố lấy được học sinh giỏi toán V là biến cố lấy được học sinh giỏi văn S là biến cố lấy được học sinh giỏi sinh ngữ A là biến cố lấy được học sinh giỏi ít nhất một môn  A=T+V+S  P(A)=P(T)+P(V)+P(S)-P(TV)-P(TS)-P(VS)+P(TVS)=31/50 TD15: Một chủ khách sạn gửi ngẫu nhiên 3 chiếc mũ bị bỏ quên cho 3 vị khách vì không biết mũ nào của ai. Tính xác suất để: a) Không ai nhận được mũ của mình (A) b) Chỉ có một người nhận đúng mũ của mình (B) Giải: Gọi Ai là biến cố người thứ i nhận đúng mũ của mình i=1,2,3 a) P(A)=1-P( A )=1-P(A1+A2+A3) =1-[P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)] Ta có A1A2=A1A2A3 A1A2=A1A3=A2A3=A1A2A3 Mặt khác P(Ai)=2!/3!; P(A1A2A3)=1/3!  P(A)=1-[3*2!/3!-2/3!]=1/3 b) P(B)=P( 2 3 1 3 1 21 2 3A A A A A A A A A  ) Ta có P( 21 3A A A )=P(A1)P( 2 1A / A )P( 23 1A / A A )=1/6  P(B)=1/2 TD16: Hai công ty A, B cùng kinh doanh một mặt hàng. Biết khả năng thua lỗ của A là 10% và B là 20% và cả hai cùng thua lỗ là 5%. tính xác suất chỉ có một công ty bị thua lỗ. Giải: Gọi A là biến cố công ty A thua lỗ, B là biến cố công ty B thua lỗ, F là biến cố chỉ có một công ty thua lỗ. 0 2 F AB AB P(F) P(AB) P(AB) P(AB) P(A) P(AB); P(AB) P(B) P(AB) P(F) ,             4.2. Công thức xác suất điều kiện, công thức nhân Hai biến cố độc lập: Hai biến cố A, B độc lập khi và chỉ khi, biến cố này xẩy ra hay không xẩy ra không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia và ngược lại. Họ độc lập hoàn toàn: Họ biến cố {Ai} i=1..n gọi là độc lập hoàn toàn nếu một biến cố bất kỳ trong họ, đều độc lập với tích của một họ con bất kỳ. 14 TD17: Một hộp có 1 bi xanh, 1 bi vàng, 1 bi đỏ, và 1 bi có 3 màu (xanh, vàng, đỏ), lấy ngẫu nhiên 1 bi. Gọi X, V, D là biến cố lấy được bi có màu tương ứng. Khi đó họ X,V,D độc lập từng đôi nhưng không độc lập hoàn toàn. a) Công thức xác suất điều kiện Xác suất của biến cố A trong điều kiện biến cố B có P(B)>0 đã xẩy ra gọi là xác suất điều kiện. Ký hiệu là P(A/B) P(A/B) =P(AB)/P(B) (7) TD18: Có 5 hộp sữa trong đó có một hộp kém phẩm chất. Người ta kiểm tra từng hộp cho đến khi phát hiện được hộp kém phẩm chất. Tính xác suất để việ