Bài giảng xác suất thống kê - Trần Ngọc Hội

1 BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ (GV: Trần Ngọc Hội – 2009) CHƯƠNG 3 LÝ THUYẾT MẪU VÀ ƯỚC LƯỢNG §1. Khái niệm về mẫu Khi nghiên cứu các vấn đề về kinh tế - xã hội, cũng như nhiều vấn đề thuộc các lĩnh vực khác, người ta thường phải khảo sát một số dấu hiệu trên những phần tử thuộc một số đối tượng nào đó. Tập hợp toàn bộ các phần tử chứa đựng thông tin về các dấu hiệu cần nghiên cứu được gọi là đám đông hay tổng thể. Để nghiên cứu đám đông theo một hay một số dấu hiệu nào đó, thông thường ta không thể nghiên cứu toàn bộ các phần tử thuộc đám đông vì nhiều lý do, chẳng hạn như: số lượng quá lớn, một số trường hợp các phần tử sau khi được nghiên cứu sẽ bị mất phẩm chất,… Vì những lý do trên, để nghiên cứu đám đông ta thuờng chọn ngẫu nhiên n phần tử nào đó để khảo sát. Ta gọi đó là một mẫu cỡ n. Thông thường, cỡ mẫu nhỏ hơn nhiều so với số lượng phần tử của đám đông, vì vậy ta có khả năng thực tế để thu thập, xử lý và khai thác thông tin mẫu một cách nhanh chóng, toàn diện hơn. Từ những thông tin thu được trên mẫu, sử dụng lý thuyết xác suất, người ta sẽ đưa ra những kết luận tương ứng về đám đông. Đó chính là mục đích của phương pháp thống kê. Có nhiều phương pháp lấy mẫu. Lấy mẫu có hoàn lại là lấy một phần tử để khảo sát, xong rồi lại trả vào đám đông rồi mới lấy tiếp phần tử khác, khi đó các kết quả lấy được sẽ độc lập với nhau. Còn lấy không hoàn lại hay lấy luôn một lần thì kết quả sẽ phụ thuộc. Trong thực tế, nếu đám đông khá lớn thì việc lấy mẫu có hoàn lại hay không hoàn lại cho ta kết quả sai lệch không đáng kể. Đặc biệt khi đám đông là vô hạn còn cỡ mẫu hữu hạn thì không có sự khác biệt giữa hai phương pháp chọn mẫu này. Trong phần bài giảng này, chúng ta chỉ xét việc chọn mẫu cho ta các kết quả độc lập. 2 Khi nghiên cứu đám đông theo một dấu hiệu nào đó, dấu hiệu đó thay đổi từ phần tử này sang phần tử khác của đám đông và do đó tạo nên một đại lượng ngẫu nhiên X. Vì vậy, ta xem đám đông như là một đại lượng ngẫu nhiên X đặc trưng cho dấu hiệu của các phần tử trong đám đông mà ta quan tâm. Tất nhiên X có luật phân phối nhưng vì chưa nghiên cứu được toàn bộ đám đông nên xem như ta chưa biết được luật phân phối của X. Như vậy, khi xét đám đông X thì một mẫu cỡ n sẽ như thế nào? Chọn ngẫu nhiên một phần tử của đám đông để đo dấu hiệu mà ta quan tâm, gọi X1 là kết quả thu được. Vì phần tử được chọn ngẫu nhiên từ đám đông, nên X1 có thể nhận các giá trị khác nhau (giống như X), tuy nhiên việc X1 nhận các giá trị nào, với xác suất bao nhiêu phải tuân theo luật phân phối của X (mặc dù, nói chung ta chưa biết luật phân phối này!). Như vậy X1 là đại lượng ngẫu nhiên có cùng phân phối với X. Chọn ngẫu nhiên tiếp theo một phần tử của đám đông để đo dấu hiệu mà ta quan tâm (sau khi đã hoàn lại phần tử đầu đã chọn, hoặc không cần hoàn lại nếu đám đông lớn), gọi X2 là kết quả thu được. Lý luận tương tự như trên cho thấy X2 cũng là đại lượng ngẫu nhiên có cùng phân phối với X. Cứ tiếp tục như thế ta sẽ chọn được một mẫu cỡ n. Như vậy, có thể nói một mẫu cỡ n là một bộ gồm n đại lượng ngẫu nhiên độc lập (X1,X2,…,Xn), trong đó mỗi Xi đều có cùng phân phối với X. Ta còn gọi đây là một mẫu tổng quát cỡ n. Mỗi giá trị (x1,x2,…,xn) của mẫu (X1,X2,…,Xn) được gọi là một mẫu cụ thể cỡ n. Như vậy một mẫu cụ thể cỡ n chính là một bộ n số liệu thu thập được khi ta chọn ngẫu nhiên n phần tử của đám đông để đo dấu hiệu mà ta quan tâm (đây chính là mẫu mà ta thường dùng trong thực tế). Ứng với một mẫu tổng quát sẽ có nhiều mẫu cụ thể tương ứng. Ví dụ: Một lô hàng rất lớn có tỉ lệ sản phẩm tốt là p chưa biết. Dấu hiệu X mà ta quan tâm khi xem xét một sản phẩm là chất lượng của nó. Khi sản phẩm tốt ta đặt X = 1, khi sản phẩm không tốt ta đặt X = 0. Như vậy X có phân phối Bernoulli X ∼ B(p) như sau: X 0 1 P q p Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 3 Một mẫu cỡ n = 5 là một bộ gồm 5 đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2, X3, X4, X5) mà mỗi Xi đều có cùng phân phối Bernoulli với X: Xi ∼ B(p), nghĩa là Xi 0 1 P q p (i= 1, 2, 3, 4, 5). Nếu ta tiến hành chọn ngẫu nhiên n = 5 sản phẩm để quan sát và được kết quả: Sản phẩm thứ nhất tốt, thứ hai và thứ ba xấu, thứ tư và thứ năm tốt. Khi đó X1 = 1, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 1, X5 = 1 và ta có một mẫu cụ thể cỡ n = 5: (x1, x2, x3, x4, x5) = (1, 0, 0, 1, 1). Chú ý: • Đám đông (hay Tổng thể): Tập hợp tất cả các phần tử cần khảo sát. Đặc điểm của đám đông: rất nhiều phần tử; khó khảo sát hết;... • Cách khảo sát đám đông: Quan tâm đến một tính chất cụ thể nào đó. Tính chất này thay đổi từ phần tử này sang phần tử khác - ----> đồng nhất đám đông với với một ĐLNN X nào đó. • Để khảo sát đám đông X người ta chọn ngẫu nhiên n phần tử nào đó của đám đông để khảo sát. Ta gọi đó là một mẫu kích thước n (hay cỡ n). Từ những thông tin thu được trên mẫu, dùng lý thuyết xác suất để rút ra những kết luận tương ứng cho đám đông (đây là mục tiêu của Thống kê) Ví dụ: Xét đám đông X là điểm môn XSTK của SV Việt Nam nói chung. Tất nhiên X có luật phân phối (mà ta chưa biết): X 0 0,5 ................ 9,5 10 P ? ? ................ ? 0,1% Để khảo sát X ta chọn một mẫu cỡ n = 3. Các số liệu thu thập được như sau: Mẫu cỡ 3 X1 X2 X3 Lấy mẫu lần 1 6,0 7,5 9,0 Lấy mẫu lần 2 0,0 9,5 10,0 Lấy mẫu lần 3 1,0 2,0 3,0 Lấy mẫu lần 4 4,0 5,0 6,0 Mỗi Xi có cùng phân phối với X. Các Xi độc lập nhau. Như vậy: - Một mẫu cỡ n là một bộ gồm n ĐLNN độc lập (X1, X2,..., Xn) mà mỗi Xi có cùng phân phối với X. 4 - Khi cho X1 nhận giá trị x1; X2 nhận giá trị x2; ...; Xn nhận giá trị xn thì mẫu (X1, X2,..., Xn) nhận giá trị là (x1, x2,..., xn) (đây chính là mẫu thông thường trong thực tế). §2. Kỳ vọng mẫu 2.1. Định nghĩa: Kỳ vọng mẫu hay Trung bình mẫu của đám đông X ứng với mẫu (X1, X2,…, Xn), kí hiệu XXn hay là đại lượng ngẫu nhiên định bởi: n i i 1 1X X n = = ∑ Khi (X1,X2,…,Xn) nhận giá trị là mẫu cụ thể (x1, x2,…,xn) thì kỳ vọng mẫu X nhận giá trị cụ thể là: ∑ = = n i ixn x 1 1 Nhận xét: Kỳ vọng mẫu của đám đông X ứng với mẫu (X1,X2,…,Xn) chính là trung bình cộng của X1, X2,…, Xn. 2.2. Ý nghĩa: Khi ∞→n kỳ vọng mẫu nX hội tụ về kỳ vọng đám đông μ = M(X). Do đó khi n khá lớn ta xấp xỉ: nXXM ≈= )(μ 2.3. Các đặc số cuả kỳ vọng mẫu: Khác với kỳ vọng của đám đông μ = M(X) là một hằng số, kỳ vọng mẫu X là một đại lượng ngẫu nhiên mà giá trị được xác định khi ta biết các giá trị quan sát cụ thể. Trong phần này, ta sẽ xác định kỳ vọng và phương sai của kỳ vọng mẫu X theo kỳ vọng μ = M(X) và phương sai σ2 = D(X) của đám đông X. Kỳ vọng Phương sai Đám đông X μ σ2 Kỳ vọng mẫu X ? ?? - Kỳ vọng của X : Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 5 1 2 n 1 2 n 1 2 n i X X ... X M(X X ... X )M(X) M( ) n n M(X ) M(X ) ... M(X ) n M(X) M(X) ... M(X) (do mỗi X có cùng phân phối với X) n M(X) . + + + + + += = + + += + + += = = μ Vậy kỳ vọng của kỳ vọng mẫu X bằng kỳ vọng đám đông μ = M(X). Nghĩa là trong xấp xỉ nXXM ≈= )(μ giá trị trung bình của những số liệu mà ta có được, dùng để tính xấp xỉ kỳ vọng đám đông (giá trị mà ta cần biết) bằng đúng kỳ vọng đám đông. Trong phần sau, ta gọi xấp xỉ này là ước lượng không chệch. - Phương sai của X : 1 2 n 1 2 n 2 1 2 n i2 i2 2 X X ... X D(X X ... X )D(X) D( ) n n D(X ) D(X ) ... D(X ) (do các X độc lập) n D(X) D(X) ... D(X) (do mỗi X có cùng phân phối với X) n D(X) . n n + + + + + += = + + += + + += σ= = Vậy phương sai của kỳ vọng mẫu X bằng phương sai đám đông chia cho cỡ mẫu. Tóm lại: Kỳ vọng Phương sai Đám đông X μ σ2 Kỳ vọng mẫu X μ σ2/n Điều đó chứng tỏ các giá trị của kỳ vọng mẫu X có trung bình bằng trung bình của X nhưng các giá trị này đồng đều hơn các giá trị của X. §3. Phương sai mẫu và độ lệch mẫu 6 3.1. Định nghĩa: Phương sai mẫu của đám đông X ứng với mẫu (X1, X2,…, Xn), kí hiệu  2 nS hay S2 , là đại lượng ngẫu nhiên định bởi:  n2 2 i i 1 1S (X X) n = = −∑ Căn bậc hai của phương sai mẫu là S được gọi là độ lệch mẫu. Khi (X1,X2,…,Xn) nhận giá trị là mẫu cụ thể (x1, x2,…,xn) thì phương sai mẫu S2 nhận giá trị cụ thể là: n2 2 i i 1 1s (x x) n = = −∑ Nhận xét: Ứng với mẫu (X1, X2,…, Xn), ta có : • (X1 - X , X2 - X ,…, Xn - X ) là mẫu độ lệch (so với kỳ vọng mẫu). • ((X1 - X )2, (X2 - X )2,…, (Xn - X )2) là bình phương của mẫu độ lệch (so với kỳ vọng mẫu). Như vậy, phương sai mẫu  n 2 i i 1 1S (X X) n = = −∑2 chính là trung bình cộng (tức trung bình mẫu) của bình phương độ lệch mẫu (so với kỳ vọng mẫu). 3.2. Công thức tính phương sai mẫu: Tương tự như phương sai đám đông, ta có công thức tính phương sai mẫu như sau:  n n n2 2 2 2 i i i i 1 i 1 i 1 1 1 1S X (X) X ( X ) n n n= = = = − = −∑ ∑ ∑2 Thật vậy, Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 7  n n2 2 2 i i i i 1 i 1 n n n n n 2 2 2 2 i i i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 n n 2 2 2 2 i i i 1 i 1 1 1S (X X) (X 2XX X ) n n 1 1 1 1 1 1 = X 2XX X X 2X( X ) nX n n n n n n 1 1 X 2XX X X X n n = = = = = = = = = = − = − + − + = − + = − + = − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2 3.3. Ý nghĩa: Khi ∞→n phương sai mẫu 2n S hội tụ về phương sai đám đông σ2 = D(X). Do đó khi n khá lớn ta xấp xỉ: 2 D(X)σ = ≈ 2n S 3.4. Kỳ vọng của phương sai mẫu: Khác với phương sai của đám đông σ2 = D(X) là một hằng số, phương sai mẫu 2n S là một đại lượng ngẫu nhiên mà giá trị được xác định khi ta biết các giá trị quan sát cụ thể. Kỳ vọng Phương sai Đám đông X μ σ2 Phương sai mẫu  2n S ? Người ta chứng minh được rằng phương sai mẫu có kỳ vọng là:  2n 1M( ) . n −= σ2n S Như vậy, trong xấp xỉ 2 D(X)σ = ≈ 2n S , giá trị trung bình của 2nS hơi lệch so với σ2 một ít, nghĩa là trung bình của những số liệu mà ta có được, dùng để tính xấp xỉ phương sai đám đông (giá trị mà ta cần biết), không bằng phương sai đám đông mà hơi lệch một ít. Vì vậy, để có được ước lượng không chệch như khi tính xấp xỉ kỳ vọng đám đông, người ta xây dựng phương sai mẫu đã hiệu chỉnh như sau: 3.5. Phương sai mẫu hiệu chỉnh: 8 Phương sai mẫu hiệu chỉnh của đám đông X ứng với mẫu (X1, X2,…, Xn), kí hiệu 2 2nS Shay là đại lượng ngẫu nhiên định bởi: 2n S n 1 = − 2 S Căn bậc hai của phương sai mẫu hiệu chỉnh là S được gọi là độ lệch mẫu hiệu chỉnh. Công thức tính phương sai mẫu hiệu chỉnh như sau: n 2 2 2 i i 1 1 nS X (X) n 1 n 1= = −− −∑ Nhận xét: Với định nghĩa như trên, ta có:  2 2 2 2n n n n 1) M( S M(S . n 1 n 1 n 1 n −= = = σ = σ− − − 2 M(S ) ) . nghĩa là kỳ vọng của phương sai mẫu đã hiệu chỉnh bằng phương sai đám đông. §3. Tỉ lệ mẫu 3.1. Mở đầu: Trong phần này, ta xét đám đông với tỉ lệ các phần tử có tính chất A là p. Dấu hiệu X mà ta quan tâm khi khảo sát một phần tử của đám đông là nó có tính chất A hay không: Nếu có, ta đặt X = 1; nếu không, ta đặt X = 0. Như vậy, đám đông được đặc trưng bởi đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Bernoulli X ∼ B(p) như sau: X 0 1 P q p (q = 1-p). Với đám đông X như trên, một mẫu cỡ n là một bộ gồm n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn) mà mỗi Xi đều có cùng phân phối Bernoulli với X: Xi ∼ B(p), nghĩa là Xi 0 1 P q p Nói cách khác, mỗi Xi chỉ nhận hai giá trị: 0 (với xác suất q) và 1 (với xác suất p). 3.2. Định nghĩa: Tỉ lệ mẫu của đám đông X ứng với mẫu (X1, X2,…, Xn), kí hiệu Fn, là đại lượng ngẫu nhiên định bởi: Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 9 n n i i 1 1F X n = = ∑ Khi (X1, X2,…, Xn) nhận giá trị là mẫu cụ thể (x1, x2,…,xn) thì tỉ lệ mẫu Fn nhận giá trị cụ thể là: ∑ = = n i in xn f 1 1 . Nhận xét: Theo định nghĩa, tỉ lệ mẫu có biểu thức giống như kỳ vọng mẫu. Tuy nhiên, ở đây các Xi chỉ nhận hai giá trị 0 và 1 tùy theo phần tử thứ i mà ta quan sát là không có tính chất A hay có tính chất A. Như vậy, các giá trị của tỉ lệ mẫu chính là tỉ lệ các phần tử có tính chất A trong các mẫu cụ thể. 3.3. Ý nghĩa: Khi ∞→n tỉ lệ mẫu Fn hội tụ về tỉ lệ đám đông p. Do đó khi n khá lớn ta xấp xỉ: p ≈ Fn 3.4. Các đặc số cuả tỉ lệ mẫu: Chú ý rằng đám đông X có phân phối Bernoulli X ∼ B(p) nên kỳ vọng đám đông là M(X) = p và phương sai đám đông là D(X) = pq. Vì biểu thức của tỉ lệ mẫu giống biểu thức của kỳ vọng mẫu nên lý luận hoàn toàn tương tự như đối với kỳ vọng mẫu, ta tìm được các đặc số của tỉ lệ mẫu như sau: • Kỳ vọng của Fn: M(Fn) = M(X) = p. Vậy kỳ vọng của tỉ lệ mẫu Fn bằng tỉ lệ đám đông p, nghĩa là trong xấp xỉ p ≈ Fn giá trị trung bình của những số liệu mà ta có được, dùng để tính xấp xỉ tỉ lệ đám đông (giá trị mà ta cần biết) bằng đúng tỉ lệ đám đông. Như đã nói, trong phần sau, ta gọi xấp xỉ này là ước lượng không chệch. • Phương sai của Fn: n pq n XDFD n == )()( §4. Bảng số liệu và ví dụ tính các đặc trưng mẫu 4.1. Bảng số liệu: 10 Khi thu thập số liệu ta thường lập bảng số liệu theo các dạng sau: Dạng 1: Liệt kê dưới dạng: x1, x2,…, xn trong đó mỗi số liệu có thể lặp lại nhiều lần. Dạng 2: Lập bảng có dạng: Xi x1 x2 ……………………….. xk ni n1 n2 ………………………… nk trong đó x1 < x2 <… < xk và mỗi số liệu xi xuất hiện ni lần. Dạng 3: Lập bảng có dạng: Xi x1-x2 x2-x3 ……………………….. xk-xk+1 ni n1 n2 …………………………. nk trong đó x1 < x2 <… < xk < xk+1 và mỗi nửa khoảng [xi; xi+1) (trừ cái cuối cùng là đoạn [xk; xk+1]) chứa ni số liệu. Khi xử lý số liệu ta sẽ đưa số liệu về Dạng 2: Có thể đưa Dạng 1 về Dạng 2 bằng cách thống kê lại. Dạng 3 được đưa về Dạng 2 bằng cách thay các khoảng xi-xi+1 bằng giá trị trung bình của hai đầu mút 2 ' 1+ += iii xxx . Dưới Dạng 2 các công thức về kỳ vọng mẫu và phương sai mẫu như sau: • Kỳ vọng mẫu: k i i i 1 1X X n n = = ∑ • Phương sai mẫu:  k2 2 2 i i i 1 1S X n (X) n = = −∑ • Tỉ lệ mẫu: Việc tính tỉ lệ mẫu rất đơn giản vì ta chỉ cần xác định số phần tử m thỏa tính chất A của mẫu cỡ n, khi đó ta có n mF n = Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 11 4.2. Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18 Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19 cm trở xuống được xếp vào loại B. Hãy xác định kỳ vọng mẫu, phương sai mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh của chỉ tiêu X và tỉ lệ mẫu sản phẩm loại B. Giải Trước hết ta thay các khoảng xi-xi+1 bằng giá trị trung bình của hai đầu mút 2 ' 1+ += iii xxx . Xi 13 17 21 25 29 33 37 ni 8 9 20 16 16 13 18 Ta có: ;100=n i iX n 2636;=∑ 2i iX n 75028.=∑ • Kỳ vọng mẫu của X là ∑ == ).(36,261 cmnXnX ii • Phương sai mẫu của X là: 2 2 2 2 2 i i 1S X n X (7,4452) 55,4304 (cm ). n = − = =∑ • Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X là:  22 2 2nS S (7,4827) 55,9903 (cm ). n 1 = = =− • Tỉ lệ mẫu sản phẩm loại B là: %.1717,0 100 17 ==== n mFn vì trong n = 100 sản phẩm có m = 8 + 9 = 17 sản phẩm có chỉ tiêu X nhỏ hơn hay bằng 19 cm, nghĩa là có 17 sản phẩm loại B. 12 4.3. Hướng dẫn sử dụng phần mềm thống kê trong các máy tính bỏ túi CASIO 500MS, 570MS, 500ES, 570ES,..) tính các đặc trưng mẫu: Ví dụ. Xét lại ví dụ trên với bảng số liệu: Xi 13 17 21 25 29 33 37 ni 8 9 20 16 16 13 18 a) Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570MS: 1) Vào MODE SD: Bấm MODE (vài lần...) và bấm số ứng với SD, trên màn hình sẽ hiện lên chữ SD. 2) Xóa bộ nhớ thống kê: Bấm SHIFT MODE 1 (màn hình hiện lên Stat clear) AC = . Kiểm tra lại: Bấm nút tròn ∇ hoặc Δ thấy n = và ở góc số 0 là đã xóa. 3) Nhập số liệu: Trình tự bấm như sau: +xi SHIFT , ni M (khi bấm SHIFT , trên màn hình hiện lên dấu ;). Cụ thể, ta bấm: + + + + + + + 1 3 SHIFT , 8 M 1 7 SHIFT , 9 M 2 1 SHIFT , 2 0 M 2 5 SHIFT , 1 6 M 2 9 SHIFT , 1 6 M 3 3 SHIFT , 1 3 M 3 7 SHIFT , 1 8 M 4) Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút tròn ∇ để kiểm tra việc nhập số liệu. Thấy số liệu nào sai thì để màn hình ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm = thì số liệu mới sẽ thay cho số liệu cũ. Ví dụ. Nhập sai +1 3 SHIFT , 7 M . Khi kiểm tra ta thấy trên màn hình hiện ra: Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 13 - x1 = 13 (sai). - Freq1 = 7 (sai) Sửa như sau: Để màn hình ở Freq1 = 7, bấm 8 = thì nhận được số liệu đúng Freq1 = 8. Số liệu nào bị nhập dư thì để màn hình ở số liệu đó và bấm +SHIFT M thì tòan bộ số liệu đó (gồm giá trị của X và xác suất tương ứng) sẽ bị xóa. Chẳng hạn, nhập dư +4 7 SHIFT , 1 8 M . Khi kiểm tra ta thấy x8 = 47 (dư). Ta để màn hình ở số liệu đó và bấm +SHIFT M thì tòan bộ số liệu dư (gồm giá trị của X = 47 và tần số tương ứng 18) sẽ bị xóa. Chú ý. Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để xóa màn hình và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa. 5) Đọc kết quả: Đại lượng cần tìm Thao tác Kết quả Ghi chú Tổng bình phương 2 i iX n∑ SHIFT 1 1 = 2X 75028=∑ 2 2i iX n X=∑ ∑ Tổng i iX n∑ SHIFT 1 2 = X 2636=∑ i iX n X=∑ ∑ Cỡ mẫu n SHIFT 1 3 = n = 100 Kỳ vọng M(X) SHIFT 2 1 = X 26.36= M(X) X= Độ lệch mẫu S SHIFT 2 2 = nx 7.4452σ =  nS x= σ Độ lệch mẫu hiệu chỉnh S SHIFT 2 3 = n 1x 7.4827−σ = n 1S x −= σ • Phương sai mẫu 2 2S (7, 4452)= • Phương sai mẫu hiệu chỉnh 2 2S (7,4827)= b) Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570ES: 1) Khai báo cột tần số: Bấm SHIFT SETUP 4 1∇ (Bấm ∇ bằng cách bấm nút tròn xuống) 2) Vào Mode Thống kê: Bấm MODE 3 1 (hoặc MODE 2 1 ) (Trên màn hình sẽ hiện lên chữ STAT) 3) Nhập số liệu: Như trong bảng sau: 14 4) Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút tròn để kiểm