Bài giảng Xác suất - Trần An Hải

TRẦN AN HẢI
  TUẦN 2
HÀ NỘI - 2009 a) Các biến cố độc lập • Hai biến cố A và B liên quan đến một phép thử T được gọi là đc lp nếu ( ) ( ) ( )BPAPABP = . Khi P(B)>0, thì ( ) ( ) ( )BPAPABP = ⇔ ( ) ( )( )BP ABPAP = ⇔ ( ) ( )BAPAP /= . Như vậy, việc xảy ra của biến cố B không làm thay đổi xác suất của biến cố A. Chú ý Nếu A và B độc lập thì hai biến cố trong mỗi cặp sau cũng độc lập : A và B ; A và B; A và B . Định nghĩa Các biến cố A1, A2, …, An liên quan đến phép thử T được gọi là đc lp toàn phn nếu với mọi tổ hợp nkji ≤<<<≤ K1 , ta có các đẳng thức sau: ( ) ( ) ( )jiji APAPAAP = , ( ) ( ) ( ) ( )kjikji APAPAPAAAP = ,…, ( ) ( ) ( ) ( )nn APAPAPAAAP LL 2121 = . Ví dụ Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm. Rút ngẫu nhiên lần lượt 4 sản phẩm theo kiểu mỗi lần rút thì kiểm tra xong và hoàn lại. Nếu tất cả 4 sản phẩm này đều tốt thì lô hàng được nhận. Tìm xác suất để lô hàng này được nhận. Giải H = “lô hàng được nhận”, Ai = “sản phẩm rút ở lần thứ i là tốt”, (i = 1, 2, 3, 4) H = A1A2A3A4 và A1, A2, A3, A4 độc lập toàn phần nên P(H) = P(A1A2A3A4) = P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) = 4 100 90       = 0,6561. ☺ Chú ý A1, A2, …, An độc lập toàn phần ⇒ độc lập từng đôi một. Nhưng điều ngược lại có thể không đúng. Ví dụ Gieo một khối tứ diện đều có mặt thứ nhất sơn đỏ, mặt thứ hai sơn xanh, mặt thứ ba sơn vàng, mặt thứ tư sơn 3 màu: đỏ, xanh, vàng. Ký hiệu Đ, X, V tương ứng là biến cố xuất hiện mặt có màu đỏ, xanh, vàng. Ta có: P(Đ) = P(X) = P(V) = 2 1 4 2 = . P(Đ/X) = P(V/X) = P(X/V) = P(Đ/V) =P(X/Đ) = P(V/Đ) = 2 1 ⇒ Đ, X, V độc lập từng đôi. P(Đ/XV) = 1 ≠ P(Đ) ⇒ Đ, X, V không độc lập toàn phần. ☺ b) Công thức xác suất đầy đủ • Các biến cố H1, H2, … , Hn được gọi là một nhóm đy đ các bin c nếu thỏa hai điều kiện sau:  HiHj = ∅ với mọi i ≠ j ;  Ω=∪ = i n i H1 . Định lí Giả sử H1, H2, … , Hn là một nhóm đầy đủ các biến cố có xác suất khác 0 và A là một biến cố nào đó trong cùng một phép thử. Ta có ( ) ( ) ( )∑ = = n i ii HAPHPAP 1 / (công thức Xác suất đầy đủ) Chứng minh (AHi)(AHj) = (AA)(HiHj) = A∅ = ∅ và AAHAAH i n ii n i =Ω=∪=∪ == 11 )( H1 H2 H3 H4 Hk Hn A ⇒ ( ) ( )∑ = = n i iAHPAP 1 theo Quy tắc cộng xác suất. Do Công thức nhân xác suất: P(AHi) = P(Hi)P(A/Hi) (i = 1,…, n), ta có ( ) ( ) ( )∑ = = n i ii HAPHPAP 1 / . ☺ Ví dụ HỘP 1 HỘP 2 HỘP 3 Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm. 6 chính phẩm 4 phế phẩm 10 chính phẩm 5 phế phẩm 15 chính phẩm 5 phế phẩm Giải A = “lấy được chính phẩm”. Hi = “sản phẩm lấy ra thuộc hộp thứ i” (i = 1, 2, 3) là nhóm đầy đủ các biến cố và P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3. HỘP 1: ⇒ P(A/H1) = 6/10 HỘP 2: ⇒ P(A/H2) = 10/15 HỘP 3: ⇒ P(A/H3) = 15/20 6 chính phẩm 4 phế phẩm 10 chính phẩm 5 phế phẩm 15 chính phẩm 5 phế phẩm Do đó, theo Công thức Xác suất đầy đủ P(A) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) = 20 15 3 1 15 10 3 1 10 6 3 1 ⋅+⋅+⋅ = 121/180 ☺ Nhận xét mang tính kinh nghiệm: Nếu phép thử gồm 2 giai đoạn, biến cố A liên quan đến giai đoạn sau, thì các kết quả có thể có của giai đoạn đầu chính là một nhóm đầy đủ. Trong ví dụ trên, giai đoạn đầu của phép thử là lấy ra 1 trong 3 hộp, giai đoạn hai là lấy ra một sản phẩm từ 1 hộp đã được lấy ra. c) Công thức Bayes Định lí Giả sử H1, H2, … , Hn là một nhóm đầy đủ các biến cố có xác suất khác 0 và A là một biến cố nào đó trong cùng một phép thử, P(A) ≠ 0. Với mỗi i = 1, 2, … , n, ta có công thức sau P(Hi/A) = ( ) ( )( ) ( )∑ = n i ii ii HAPHP HAPHP 1 / / (công thức Bayes). Chứng minh Từ Công thức nhân xác suất P(A)P(Hi/A) = P(AHi) = P(Hi)P(A/Hi) ta có P(Hi/A) = ( ) ( )( ) =AP HAPHP ii / ( ) ( ) ( ) ( )∑ = n i ii ii HAPHP HAPHP 1 / / .☺ Nhận xét Theo Công thức Xác suất đầy đủ, biểu thức P(H1)P(A/H1) + ⋅⋅⋅ + P(Hn)P(A/Hn) chính là P(A), nên Công thức Bayes hay được dùng cùng với Công thức Xác suất đầy đủ. Ví dụ HỘP 1 HỘP 2 HỘP 3 Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, thấy đó là chính phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm đó thuộc hộp 1. 6 chính phẩm 4 phế phẩm 10 chính phẩm 5 phế phẩm 15 chính phẩm 5 phế phẩm Giải A = “ lấy được chính phẩm”. Hi = “sản phẩm lấy ra thuộc hộp thứ i” (i = 1, 2, 3) là nhóm đầy đủ các biến cố Theo Ví dụ trên P(H1) = 1/3, P(A/H1) = 6/10, P(A) = 121/180. Theo công thức Bayes P(H1/A) = [P(H1)P(A/H1)]/P(A) = 36/121 ☺ • Công thức Bayes có ứng dụng đa dạng và phong phú trong nhiều lĩnh vực khác nhau vì đó là công thức cho phép nắn lại phán đoán, cập nhật thông tin, tính lại xác suất P(Hi) khi đã có thêm thông tin về biến cố A xuất hiện. Trong ví dụ trên, trước khi phép thử được tiến hành P(H1) = 1/3. Còn sau khi đã biết kết quả của phép thử, thì xác suất của H1 bằng 36/121. Ví dụ Người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về một sản phẩm định đưa ra thị trường và thấy có: • 34 người trả lời “S mua”, • 96 người trả lời “Có th s mua” • 70 người trả lời “Không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời trên là 40%, 20% và 1%. 1) Hãy đánh giá thị trường tiềm năng của sản phẩm đó (hay tỉ lệ người thực sự mua sản phẩm đó). 2) Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì có bao nhiêu phần trăm đã trả lời “S mua”? Giải A = “Lấy ngẫu nhiên một khách hàng thì người đó th c s mua sản phẩm” Tỉ lệ khách hàng th c s mua sản phẩm = P(A) H1 = “Người đó trả lời S mua”, H2 = “Người đó trả lời Có th s mua”, H3 = “Người đó trả lời Không mua”. H1, H2, H3 là nhóm đầy đủ các biến cố. P(H1) = P(“Người đó trả lời S mua”) = 200 34 = 0,17 P(H2) = P(“Người đó trả lời Có th s mua”) = 200 96 = 0,48 P(H3) = P(“Người đó trả lời “Không mua””) = 200 70 = 0,35 P(A/H1) = 40/100 = 0,4 P(A/H2) = 20/100 = 0,2 P(A/H3) = 1/100 = 0,01 1) Theo Công thức xác suất đầy đủ P(A) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) = 010 200 7020 200 9640 200 34 ,,, ⋅+⋅+⋅ = 0,1675. Vậy thị trường tiềm năng của sản phẩm đó là 16,75%. 2) Theo Công thức Bayes P(H1/A) = ( ) ( )( ) 16750 4017011 , ,,/ × = AP HAPHP ≈ 0,40597 = 40,597%. ☺ MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ TỔ HỢP Phần này cung cấp cho ta cách tính gián tiếp số phần tử của một tập hợp hữu hạn.
Quy tắc cộng Giả sử một việc V được hoàn thành khi và chỉ khi một trong n việc V 1 , V 2 ,..., Vn khác nhau được hoàn thành. Mỗi việc Vi có ki cách làm. Khi đó số cách thực hiện V bằng k1 + k2 + ⋅⋅⋅ +kn. Ví dụ Giả sử V là việc đi từ tỉnh A đến tỉnh B theo một trong các phương tiện: ôtô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ôtô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy, 2 chuyến máy bay. Theo Quy tắc cộng, V có 20 cách làm.  Quy tắc nhân Giả sử một việc V được hoàn thành khi và chỉ khi toàn bộ n việc V 1 , V 2 ,..., Vn khác nhau được hoàn thành. Mỗi việc Vi có ki cách làm. Khi đó số cách thực hiện V bằng k1⋅k2⋅⋅⋅kn. Ví dụ Theo Quy tắc nhân, số cách bỏ n viên bi vào k hộp bằng kn.  Chỉnh hợp • Một tập con gồm k phần tử sắp thứ tự của một tập n phần tử được gọi là một chnh hp chp k ca n phn t này. Đặc biệt, một chỉnh hợp chập n của n phần tử được gọi là một hoán vị của n phần tử này. Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử bằng = k nA n(n - 1)(n - 2)⋅⋅⋅(n – k + 1) Số tất cả các hoán vị của n phần tử bằng Pn = n! Ví dụ Có =23A 3⋅2 = 6 cách chọn 2 trong 3 người đi làm nhiệm vụ, trong đó một người làm đội trưởng.  Tổ hợp • Một tập con gồm k phần tử không quan tâm đến thứ tự của một tập n phần tử được gọi là một t hp chp k ca n phn t này. Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử bằng = k nC )!(! ! knk n Ví dụ Có =23C 3 cách chọn 2 trong 3 người đi làm nhiệm vụ.  Quy tắc chia nhóm • Cho tập hợp A gồm n phần tử. Chia A ra k nhóm sao cho: nhóm thứ i có ni phần tử (n1+n2 + ⋅⋅⋅ +nk = n). Khi đó số cách chia nhóm bằng !!! ! 21 knnn n L . Ví dụ Có bao nhiêu cách chia một bộ bài tulơkhơ (52 con) thành 4 phần bằng nhau? Số cách chia = 284 )10.(3,5≈)!13( !52 . Nếu mỗi giây đồng hồ chia được một cách thì mất khoảng 1680 tỉ tỉ năm để chia xong. Chương 2 BIẾN NGẪU NHIÊN _________________________________________________ '1 KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN Những đại lượng như: lượng khách vào 1cửa hàng trong ngày, số khuyết tật của 1 sản phẩm vừa làm ra, nhiệt độ ở 1 thời điểm trong ngày, con số mũi tên trỏ tới trong trò chơi Chiếc nón kỳ diệu… có đặc điểm chung là ta không thể đoán trước được giá trị nó sẽ nhận. Những đại lượng kiểu này được gọi là bin ngu nhiên (bnn). Ta dùng những chữ cái hoa như X, Y, Z …để ký hiệu biến ngẫu nhiên. Nhu cầu dự báo dẫn đến việc phải nghiên cứu bnn. Biến ngẫu nhiên được chia làm 2 loại:  Một bnn được gọi là ri rc nếu ta có thể liệt kê tất cả các giá trị có thể của nó thành một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn. Ví dụ Số khuyết tật của 1 sản phẩm vừa làm ra.  Một bnn X được gọi là liên tc nếu: Các giá trị có thể của X lấp đầy một hay một số khoảng của trục số, thậm chí lấp đầy cả trục số. Ví dụ Nhiệt độ ở một thời điểm trong ngày. '2  QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Chỉ biết tập các giá trị có thể của một bnn là chưa đủ để xác định nó. Chẳng hạn, gọi X := số lần xuất hiện mặt sấp khi gieo một đồng xu 3 lần, Y := số lần ra 1 chấm khi gieo một con xúc xắc 3 lần. Tập giá trị có thể của X, Y trùng nhau, là {0, 1, 2, 3}. Nhưng nói chung P{X = i} ≠ P{Y = i}. Vì vậy, một bnn được xác định khi ta biết xác suất để nó nhận giá trị bất kỳ, hay nhận giá trị trong một khoảng bất kỳ. Một hình thức cho phép làm điều đó được gọi là quy lut phân phi xác sut ca bnn. Những hình thức cho quy luật ppxs: công thức, bảng ppxs, hàm pbxs, hàm mật độ.
Cho quy luật ppxs bằng công thức Ví dụ Một người nhằm bắn một mục tiêu cho tới khi trúng được một phát thì thôi (số phát bắn không hạn chế). Xác suất trúng đích của mỗi phát bắn bằng p. Tìm quy luật ppxs của số viên đạn được sử dụng. Giải X := số viên đạn được sử dụng. X có tập giá trị là N*. P{X = 1} = p P{X = 2} = (1-p)p P{X = 3} = (1-p)2p …………………. ⇒ Quy luật ppxs của X là P{X = n} = (1-p)n-1p. ☺ Tính P{X = 1} + P{X = 2} + P{X = 3} + ⋅⋅⋅  Cho quy luật ppxs bằng bảng Giả sử bnn X có thể nhận các giá trị x1, x2,…, xn với các xác suất tương ứng là p1, p2,…, pn. Quy luật ppxs của X được cho bởi bảng X x1 x2 … xn pi p1 p2 … pn Chú ý p1 + p2 + ⋅⋅⋅ + pn = 1 Ví dụ Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc xắc cân đối. X 1 2 3 4 5 6 pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Cho quy luật ppxs bằng hàm phân bố xác suất • Hàm phân b xác sut (hay hàm phân b) của bnn X là F(x) := P{X < x}. Trong ví dụ trên X 1 2 3 4 5 6 pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 ∗ Tìm hàm pbxs của bnn X và vẽ đồ thị của nó. ∗ Tính )(lim _ xF x 2→ , )(lim→ xFx +2 , )(lim-→ xFx ∞ , )(lim→ xFx +∞ . ∗ F(x) có liên tục tại x ≠ i với i∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}? ∗ Tính P{1,5<X < 4}. Nếu X là bnn rời rạc và có tập giá trị được sắp là x1 < x2 < x3 < … với P{X = xi} = pi thì F(x) = 0 nếu x ≤ x1 F(x) = p1 nếu x1< x ≤ x2 F(x) = p1 + p2 nếu x2< x ≤ x3 …………………… F(x) = p1 + p2 + ⋅⋅⋅ + pk-1 nếu xk-1< x ≤ xk Tính chất 1) F(x) xác định ∀x∈R. 2) 0≤ F(x) ≤ 1 3) )(lim -→ xFx ∞ = 0, )(lim→ xFx +∞ =1 4) Nếu x1 < x2, thì F(x1) ≤ F(x2). 5) P{a≤X<b} = F(b) - F(a).  Cho quy luật ppxs bằng hàm mật độ Người ta chứng minh được : Nếu X là bnn liên tục thì P{X = a} = 0 ∀a∈R. Tuy nhiên giá trị X có thể nhận lại có thể tập trung vào một khoảng nào đó. Ví dụ Gọi X là thời điểm một đoàn tàu đến ga Hà Nội. Theo quy định tàu đến đúng là lúc 5 giờ. Rõ ràng X là bnn liên tục nên P{X = 5} = 0 ∀a∈R. Tuy nhiên, với ε > 0 cho trước khá bé, nếu tàu càng đến đúng giờ thì xác suất để X∈(5-ε ; 5+ε) càng gần 1, hay mức độ tập trung xác suất trong khoảng này càng cao. { } ε εε 2 +5<<5 XP - = mật độ xác suất trung bình trên (5-ε ; 5+ε). Nếu tồn tại ε εε ε 2 }+5<<-{5lim 0 XP → = p thì p là mật độ xác suất tại 5. Tàu càng đến đúng giờ khi và chỉ khi p càng lớn. Tổng quát, ta có định nghĩa • Hàm mt đ của bnn liên tục X, ký hiệu là p(x), là hàm thỏa mãn điều kiện ε εε ε 2 }+<<-{xlim=)( 00 00 xXP xp → . với mọi x0 sao cho vế phải tồn tại. Tính chất 1) p(x) ≥ 0 ∀x∈R. 2) Nếu p(x) liên tục tại x0, thì F’(x0) = p(x0). 3) F(x) = ∫ ∞- x dttp )( . 4) P{a<X<b} = P{a≤X≤b} = P{a≤X<b} = P{a<X≤b} = ∫ )( b a dttp . Từ 3) suy ra ∫ ∞ ∞- + 1=)( dttp . Ném ngẫu nhiên một điểm lên đường tròn (C): x2 + y2 = 22. Tìm hàm pbxs và hàm mật độ của hoành độ điểm đó.