Bài giảng: Xác suất và thống kê

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG Bài giảng:XÁC SUẤT và THỐNG KÊ (Lưu hành nội bộ) TP. HỒ CHÍ MINH 2010 Mục lục Chương 1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1 1.1. Tập Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Các phép toán tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Giải Tích Tổ Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1. Quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2. Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.3. Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.4. Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.5. Hoán vị lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.6. Chỉnh hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.7. Nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 2. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 6 2.1. Khái Niệm Biến Cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.1. Phép thử, không gian mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 i MỤC LỤC 2.1.2. Biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.3. Các phép toán của biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.4. Quan hệ giữa các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.5. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2. Định Nghĩa Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1. Định nghĩa (cổ điển) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2. Định nghĩa xác suất theo thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.3. Định nghĩa theo hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.4. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3. Công Thức Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.1. Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.2. Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.3. Công thức nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4. Công Thức Xác Suất Đầy Đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4.1. Công thức xác suất đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4.2. Công thức Bayès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4.3. Công thức Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 13 3.1. Khái Niệm Đại Lượng Ngẫu Nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2. Hàm Phân Phối Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2.1. Định nghĩa và tính chất của hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . 13 3.2.2. Bảng phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Khoa Giáo Dục Đại Cương ii Xác Suất Và Thống Kê MỤC LỤC 3.2.3. Hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . . . . . 16 3.3. Các Đặc Trưng Của Đại Lượng Ngẫu Nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3.1. Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3.2. Phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3.3. Mode và trung vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4. Các Quy Luật Phân phối Xác Suất Thông Dụng . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4.1. Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . 20 3.4.2. Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . 23 3.5. Định Lí Giới Hạn Trung Tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.6. Véctơ Ngẫu Nhiên - Đại Lượng Ngẫu Nhiên 2 Chiều . . . . . . . . . . . . . 31 3.6.1. Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều . . . . . 31 3.6.2. Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều . . . . . . . . 32 3.6.3. Hệ Số Tương Quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chương 4. LÝ THUYẾT MẪU 36 4.1. Mẫu Ngẫu Nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1.1. Khái niệm tổng thể và mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1.2. Các phương pháp chọn mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1.3. Mẫu ngẫu nhiên, mẫu cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.1.4. Các đặc trưng mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2. Phương pháp tính tham số mẫu cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Khoa Giáo Dục Đại Cương iii Xác Suất Và Thống Kê MỤC LỤC Chương 5. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 40 5.1. Ước Lượng Điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.1.1. Bài toán ước lượng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.1.2. Ước lượng không chệch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2. Ước Lượng Khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2.1. Khái niệm ước lượng khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2.2. Phương pháp ước lượng khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Chương 6. LÝ THYẾT KIỂM ĐỊNH 46 6.1. Khái Niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.1.1. Khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.1.2. Các bước kiểm định giả thiết: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.2. Kiểm Định Giả Thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.2.1. Kiểm định giả thiết về tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.2.2. Kiểm định giả thiết về trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.2.3. Kiểm định giả thiết về phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.3. Kiểm Định So Sánh Các Tham Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.3.1. So sánh hai tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.3.2. So sánh hai giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.3.3. So sánh hai phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Khoa Giáo Dục Đại Cương iv Xác Suất Và Thống Kê Chương 1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1 Tập Hợp 1.1.1 Các khái niệm cơ bản Tập hợp là một khái niệm cơ bản của Toán học, không được định nghĩa. Ví dụ như khái niệm tập hợp sinh viên của một trường Đại học, tập hợp các nghiệm của phương trình x3 − x+ 6 = 0, tập hợp N các số tự nhiên,... Nếu a là một phần tử thuộc tập hợp A ta viết a ∈ A, ngược lại ta viết a /∈ A. Tập hợp không chứa bất kỳ phần tử nào được gọi là tập rỗng, ký hiệu ∅. Để xác định một tập hợp ta có thể dùng một trong hai cách thông dụng sau: ∗ Cách 1: Xác định tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của nó như A = {0, 1, 2, ..., 9}, B = {a1, a2, a3},... ∗ Cách 2: Xác định tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của phần tử thuộc nó. Chẳng hạn, S = {x ∈ R : x3 − 5x+ 1 = 0}, T = {n ∈ N : n là ước của 26},... Tập hợp A gọi là con của B, nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B, ký hiệu A ⊂ B. A ⊂ B ⇔ {∀x ∈ A⇒ x ∈ B} Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì ta nói A,B là hai tập bằng nhau và viết A = B. A = B ⇔ {x ∈ A⇔ x ∈ B} 1 CHƯƠNG 1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1.2 Các phép toán tập hợp Cho A và B là hai tập hợp tùy ý. a. Phép hợp: Hợp của của A và B là tập gồm các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B, ký hiệu là A ∪ B. A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B} b. Phép giao: Giao của A và B là tập gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B, ký hiệu A ∩ B. A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B} c. Phép hiệu: Hiệu của tập X đối với tập A là tập hợp gồm các phần tử thuộc X nhưng không thuộc A. Ký hiệu: X \ A. X \ A = {x/x ∈ X ∧ x /∈ A} Đặc biệt, nếu A ⊂ X thì X \A gọi là phần bù của A trong X và ký hiệu A. Vậy X \A = A. 1.2 Giải Tích Tổ Hợp 1.2.1 Quy tắc nhân Một công việc có thể được thực hiện qua 2 giai đoạn I và II. Trong đó:  Giai đoạn I có n cách thực hiện,  Giai đoạn II có m cách thực hiện. Khi đó, để hoàn thành công việc có n×m cách thực hiện. Ví Dụ 1.1. Để đi từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng: ôtô, tàu cao tốc hoặc máy bay. Đi từ tỉnh B đến tỉnh C có thể đi bằng: ôtô, tàu cao tốc, tàu hỏa hoặc máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh C, bắt buộc phải ghé qua tỉnh B? Khoa Giáo Dục Đại Cương 2 Xác Suất Và Thống Kê CHƯƠNG 1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP A ôtô tàu cao tốc máy bay B ôtô tàu cao tốc máy bay tàu hỏa C Tổng quát: Một công việc được thực hiện qua k giai đoạn 1, 2, 3, ..., k. Trong đó:  Giai đoạn 1 có n1 cách thực hiện,  Giai đoạn 2 có n2 cách thực hiện,  Giai đoạn 3 có n3 cách thực hiện, .......................................................  Giai đoạn k có nk cách thực hiện. Khi đó, để hoàn thành công việc có n1 × n2 × n3 × ...× nk = ∏k i=1 ni cách thực hiện. Ví Dụ 1.2. Một người có 5 cái quần 3 cái áo 4 đôi giày. Mỗi lần đi chơi người đó chọn một quần, một áo và một đôi giày. Hỏi có bao nhiêu cách để lựa chọn? 1.2.2 Chỉnh hợp Định Nghĩa 1.1. Một cách chọn lần lượt không hoàn lại (không lặp, có thứ tự) k phần tử từ một tập hợp có n phần tử, được gọi là một chập hợp chập k của n phần tử. Định Lí 1.1. Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử, ký hiệu là Akn và được tính bởi công thức sau: Akn = n(n− 1)(n− 2)...[n− (k − 1)] (Quy ước 0! = 1) Ta có thể viết gọn lại là Akn = n(n− 1)(n− 2)...[n− (k − 1)](n− k)[n− (k + 1)]...3.2.1 (n− k)[n− (k + 1)]...3.2.1 = n! (n− k)! Ví Dụ 1.3. Có 20 đội bóng tham dự một giải bóng đá. Biết rằng, các đội sẽ thi đấu vòng tròn 2 lượt (lượt đi và lượt về). Hỏi để chọn được đội vô địch thì phải tổ chức tất cả bao nhiêu trận đấu? 1.2.3 Hoán vị Định Nghĩa 1.2. Một phép hoán vị của n (n ≥ 1) phần tử phân biệt là một cách sắp thứ tự của n phần tử đó. Khoa Giáo Dục Đại Cương 3 Xác Suất Và Thống Kê CHƯƠNG 1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP Ví Dụ 1.4. Một kệ sách có thể sắp được 5 quyển sách. Hỏi có thể có bao nhiêu cách sắp xếp 5 quyển sách lên kệ. 1.2.4 Tổ hợp Định Nghĩa 1.3. Một cách chọn k (0 < k ≤ n) phần tử không để ý thứ tự, không lặp từ một tập có n phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Định Lí 1.2. Số các tổ hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là Ckn và được cho bởi biểu thức: Ckn = Akn k! = n! k!(n− k)! Ví Dụ 1.5. Một lớp có 30 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 sinh viên để làm ban cán sự lớp. Tính Chất 1.1. Cho n, k ∈ N. khi đó: i) Ckn = C n−k n với 0 ≤ k ≤ n; ii) Ckn + C k−1 n = C k n+1 với 1 ≤ k ≤ n. 1.2.5 Hoán vị lặp Định Nghĩa 1.4. Một cách sắp thứ tự của n phần tử mà trong đó có k (k 6= n) phần tử giống nhau được gọi là một hoán vị lặp. Ký hiệu là Pn(k) và được xác định bởi biểu thức: Pn(k) = n! k! Ví Dụ 1.6. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số, biết rằng trong số đó chữ số 3 xuất hiện 3 lần và các chữ số còn lại đều khác nhau. 1.2.6 Chỉnh hợp lặp Định Nghĩa 1.5. Một cách chọn có lặp k phần tử có thứ tự từ một tập có n phần tử được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. Định Lí 1.3. Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được tính theo công thức: A˜kn = n k Ví Dụ 1.7. Có 6 quyển sách xếp tùy ý vào 3 ngăn trên kệ, hỏi rằng có tất cả bao nhiêu cách sắp xếp? Khoa Giáo Dục Đại Cương 4 Xác Suất Và Thống Kê CHƯƠNG 1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.2.7 Nhị thức Newton (a+ b)n =C0na nb0 + C1na n−1b1 + C2na n−2b2 + ... + Ckna n−kbk + ... + Cnna 0bn = n∑ i=0 C ina n−ibi = n∑ i=0 C ina ibn−i, khai triển trên gọi là nhị thức Newton. Khoa Giáo Dục Đại Cương 5 Xác Suất Và Thống Kê Chương 2 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 2.1 Khái Niệm Biến Cố 2.1.1 Phép thử, không gian mẫu  Phép thử: Khi ta làm một thí nghiệm hay quan sát một hiện tượng mà có chú ý đến kết quả thì gọi là phép thử. Ký hiệu phép thử là: T.  Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của một phép thử được gọi là không gian mẫu. Ký hiệu: Ω. 2.1.2 Biến cố  Biến cố: Tập con A của Ω, được gọi là biến cố. Ví Dụ 2.1. Xét một số ví dụ về biến cố sau đây:  Gieo một con xúc xắc thì việc xuất hiện số chấm lẻ là một biến cố;  Tung một đồng xu là một phép thử, biến cố là mặt xấp xuất hiện hay mặt ngữa xuất hiện. a. Biến cố sơ cấp: Mỗi phần tử ω của Ω được gọi là biến cố sơ cấp. 6 CHƯƠNG 2. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ b. Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử. Ký hiệu: Ω c. Biến cố không thể: Là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử. Ký hiệu: ∅ Ví Dụ 2.2. Tung một con xúc xắc. Ta có: Không gian mẫu là Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Các biến cố sơ cấp là: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}. Biến cố chẵn: A = {2, 4, 6}. Biến cố chắc chắn: B = Ω. Biến cố không thê: C = {7}. d. Biến cố đồng khả năng: Là những biến cố có khả năng xuất hiện như nhau khi thực hiện phép thử. Trong một phép thử mà mọi biến cố sơ cấp đều có khả năng xảy ra như nhau thì số phần tử của không gian mẫu được gọi là số trường hợp dồng khả năng. 2.1.3 Các phép toán của biến cố a. Phép tổng: Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi hoặc A hoặc B xảy ra. Ký hiệu C = A+B = A ∪B. Ví Dụ 2.3. Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia. A là biến cố người thứ nhất bắn trúng bia, B là biến cố người thứ hai bắn trúng bia. Nếu gọi C là biến cố bia bị trúng đạn thì khi đó C = A+B. b. Phép tích: Biến cố C gọi là tích của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi cả A và B cùng xảy ra. Ký hiệu C = A.B = A ∩ B. Ví Dụ 2.4. Một sinh viên dự thi hai môn văn và toán. Gọi A là biến cố sinh viên thi đậu môn văn, B là biến cố sinh viên thi đậu môn toán và C la biến cố sinh viên thi đậu cả hai môn. Khi đó C = A.B 2.1.4 Quan hệ giữa các biến cố a. Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu chúng không thể cùng xảy ra trong một phép thử. Ký hiệu A ∩B = ∅. Ví Dụ 2.5. Tung một con xúc xắc. Gọi A là biến cố xuất hiện số nút chẵn, B là biến cố xuất hiện số nút lẽ. Khi đó A và B là hai biến cố xung khắc. b. Họ các biến cố xung khắc: Họ các biến cố A1, A2, ..., An được gọi là họ xung khắc nếu một biến cố bất kỳ trong họ xảy ra thì các biến cố còn lại không xảy ra. Nghĩa là: Ai.Aj = ∅, ∀i, j(i 6= j) Khoa Giáo Dục Đại Cương 7 Xác Suất Và Thống Kê CHƯƠNG 2. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ c. Biến cố đối lập: Hai biến cố A và B được gọi là đối lập, nếu: i) A và B xung khắc. ii) A +B = Ω Hai biến cố A và B trong ví dụ trên là đối lập. d. Họ đầy đủ Họ các biến cố A1, A2, ..., An được gọi là một họ đầy đủ nếu chúng thỏa: i) Họ xung khắc: Ai.Aj = ∅, ∀i, j(i 6= j) ii) A1 + A2 + ...+ An = Ω e. Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu biến cố này xảy ra hay không thì không phụ thuộc vào biến cố kia. Ví Dụ 2.6. Bắn hai phất đạn vào bia. Gọi A là biến cố phát thứ nhất trúng bia, B là biến cố phát thứ hai trúng bia. Khi đó A và B là hai biến cố độc lập. 2.1.5 Tính chất Cho A,B,C ⊂ Ω. Khi đó: a. A+A = A; A.A = A; AΩ = A; A+B = B+A; A.B = B.A; A+(B+C) = (A+B)+C b. A ⊂ B ⇒ B ⊂ A; A ⊂ A +B; A.B ⊂ B c. A.(B + C) = AB + AC; A.B = A+B; A+B = A.B Ví Dụ 2.7. Kiểm tra 3 sản phẩm. Gọi Ak là biến cố sản phẩm thứ k tốt. Hãy trình bày các cách biểu diễn qua Ak các biến cố sau: a. A: tất cả các sản phẩm đều xấu. b. B: có ít nhất một sản phẩm xấu. c. C: có ít nhất một sản phẩm tốt. d. D: không phải tất cả sản phẩm đều tốt. e. E: có đúng một sản phẩm xấu. f. F : có ít nhất 2 sản phẩm tốt. Khoa Giáo Dục Đại Cương 8 Xác Suất Và Thống Kê CHƯƠNG 2. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 2.2 Định Nghĩa Xác Suất 2.2.1 Định nghĩa (cổ điển) Định Nghĩa 2.1. Gia sử một phép thử có n trường hợp đồng khả năng. Trong đó có m trường hợp thuận lợi cho biến cố A. Khi đó, xác suất của biến cố A. Ký hiệu P (A) và xác đinh bởi công thức. P (A) = m n = Số trương hợp thuận lợi Số trường hợp đông khả năng Ví Dụ 2.8. Một hộp chứa 10 sản phẩm tốt và 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất hai sản phẩm được chọn là sản phẩm tốt. 2.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê Định Nghĩa 2.2. Giả sử phép thử được thực hiện n lần độc lập trong đó biến cố A xuất hiện mA lần. Khi đó, mA được gọi là tần số xuất hiện của biến cố A và tỉ số mA n = fn(A) được gọi là tần suất (tần số tương đối) của biến cố A. Ví Dụ 2.9. Qua thống kê dân số, người ta tổng kết được xác suất để một em bé ra đời là trai hay gái xấp xỉ 1 2 . 2.2.3 Định nghĩa theo hình học Định Nghĩa 2.3. Cho miền Ω. Khi đó độ đo của miền Ω có thể là độ dài, điện tích hoặc thể tích. Gọi A là biến cố điểm M ∈ S ⊂ Ω. P (A) = độ đoS độ đoΩ . Ví Dụ 2.10. Tìm xác suất của điểm M rơi vào tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính là 1. 2.2.4 Tính chất i) ∀A ⊂ Ω, 0 ≤ P (A) ≤ 1, ii) Nếu A⇒ B thì P (A) ≤ P (B). Do đó, nếu A⇔ B (A = B) thì P (A) = P (B) iii) Nếu A = Ω thì P (A) = 1 và nếu A = ∅ thì P (A) = 0. Khoa Giáo Dục Đại Cương 9 Xác Suất Và Thống Kê CHƯƠNG 2. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 2.3 Công Thức Xác Suất 2.3.1 Công thức cộng  Cho {A1, A2, A3, ..., An} là hệ các biến cố tùy ý. Khi đó ta có công thức sau P ( n∑ i=1 Ai) = n∑ i=1 P (Ai)− ∑ 1≤i<j≤n P (AiAj)+ ∑ 1≤i<j<k≤n P (AiAjAk)+· · ·+(−1)n−1P (A1...An) gọi là công thức cộng xác suất. ∗ Đặc biệt, nếu họ {A1, A2, A3, ..., An} xung khắc từng đôi thì P ( n∑ i=1 Ai) = n∑ i=1 P (Ai)  Cho A và B là hai biến cố tùy ý: P (A+B) = P (A) + P (B)− P (AB) ∗ Đặc biệt, nếu A và B xung khắc thì P (A+B) = P (A) + P (B)  Cho A, B và C là 3 biến cố tùy ý, có: P (A+B + C) = P (A) + P (B) + P (C)− P (AB)− P (BC)− P (CA) + P (ABC). ∗ Đặc biệt, nếu A,B và C xung khắc từng đôi thì: P (A+B+C) = P (A)+P (B)+P (C) Ví Dụ 2.11. Gieo đồng thời 2 con xúc xắc, hãy tính xác suất để: a. Có ít nhất 1 con xuất hiện mặt 4 chấm, b. Có đúng 1 con xuất hiện mặt 4 chấm. 2.3.2 Xác suất có điều kiện Định Nghĩa 2.4. Cho A,B ⊂ Ω với P (B) > 0. Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A đối với biến cố B. Ký hiệu: P (A/B). Khi đó: P (A/B) = P (AB) P (B) , (P (B) 6= 0) Ví Dụ 2.12. Gieo một con xúc xắc. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt hai chấm, B là biến cố xuất hiện mặt một chấm. Tính P (A/B) và P (B/A) Khoa Giáo Dục Đại Cương 10 Xác Suất Và Thống Kê CHƯƠNG 2. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 2.3.3 Công thức nhân  Cho 2 biến cố A và B. Ta có: P (A.B) = P (A).P (A/B) = P (B).P (B/A).  Cho {A1, A2, A3, ..., An} là hệ các biến cố tùy ý. Khi đó ta có công thức sau P (A1.A2.A3...An) = P (A1)P (A2/A1)P (A3/A1A2)...P (An/A1A2...An−1), gọi là công thức nhân xác suất. Ví Dụ 2.13. Trong 1 hộp có 100 phiếu, trong đó có 10 phiếu trúng thưởng. Tính xác suất để người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba đều rút được phiếu trúng thưởng? 2.4 Công Thức Xác Suất Đầy Đủ 2.4.1 Công thức xác suất đầy đủ Giả sử, hệ các biến cố {A1, A2, A3, ..., An} là đầy đủ và B là một biến cố bất kỳ. Khi đó: P (B) = P (A1)P (B/A1) + P (A2)P (B/A2) + P (A3)P (B/A3) + · · ·+ P (An)P (B/An) = ∑n i=1 P (Ai)P (B/Ai), gọi là công thức xác suất đầy đủ. Ví Dụ 2.14. Giả sử có 3 hãng H1, H2 và H3 sản xuất cùng một loại sản phẩm. Trong đó tỉ lệ phần trăm sản phẩm của mỗi hãng trên thị trường lần lượt là 60%, 10% và 30% với tỉ lệ sản phẩm bị khuyết tật tương ứng là 1%, 5% và 3%. Mua ngẫu nhiên một sản phẩm, tính xác suất sản phẩm được mua bị khuyết tật? 2.4.2 Công thức Bayès Cũng với giả thiết như ở trên, ta có công thức sau gọi là công thức xác suất Bayès P (Ak/B) = P (Ak)P (B/Ak)∑n i=1 P (Ai)P (B/Ai) , với k = 1, n. Ví Dụ 2.15. Từ Ví dụ ở trên, giả sử sản phẩm đã mua bị khuyết tật. Hãy tính xác suất để sản phẩm đó thuộc hãng H3? 2.4.3 Công thức Bernoulli a. Dãy phép thử Bernoulli Khoa Giáo Dục Đại Cương 11 Xác Suất Và Thống Kê CHƯƠNG 2. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Định Nghĩa 2.5. Dãy phép thử Bernoulli là dãy n phép thử thỏa mãn 3 điều kiện sau: i) Các phép thử của dãy độc lập với nhau. Nghĩa