Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 14: Biến đổi sóng con

244 Ch­¬ng 14 BIẾN ĐỔI SÓNG CON 14.1. GIỚI THIỆU Những quan tâm chính trong thời gian gần đây là việc phát triển các kỹ thuật biến đổi mới. Nhận biết địa chỉ các vấn đề đối với việc nén ảnh, các cạnh và các đặc trưng cần nhận biết khác, cũng như việc phân tích cấu trúc ảnh. Các kỹ thuật được biết đến như phân tích đa giải pháp, phân tích phổ thời gian, thuật toán hình chóp, và biến đổi sóng con (Wavelet). Trong chương này, chúng ta sẽ xem lại một vài giới hạn trong biến đổi cổ điển Fourier và biến đổi tương tự Fourier và định nghĩa ba loại biến đổi sóng con. biến đổi sóng con mở ra một triển vọng cải thiện được cho các chương trình ứng dụng. Chúng ta sẽ sơ qua lịch sử phát triển dẫn tới phép phân tích sóng con, nên nhớ biến đổi tương tự có khuynh hướng thống nhất các cách tiếp cận khác nhau với mục đích quan trọng là biến đổi sóng con. Phần sau trong chương này, chúng ta sẽ minh hoạ một vài ứng dụng của biến đổi sóng con. Chúng ta hạn chế biến đổi sóng con với các giá trị thực, tính toán được, các hàm tính tích phân của một hoặc hai chiều, bao gồm các tín hiệu và các ảnh mà chúng ta quan tâm. Như trước, để đơn giản chúng ta giới thiệu các khái niệm một chiều và sau đó tổng quát hoá nó trong hai chiều cho các chương trình ứng dụng. Chúng ta bắt đầu bằng cách giới thiệu ba loại biến đổi cơ sở của sóng con. Sau đó chúng ta minh hoạ một vài trường hợp cụ thể của sóng con và một vài chương trình ứng dụng của sóng con. 14.1.1. Sóng và sóng con Trở lại biến đổi Fourier mà chúng ta đã sử dụng, các hàm cơ sở, sóng hình sin. Chúng được gọi với tên như vậy vì nó giống như sóng của đại dương và được truyền trong các phương tiện khác. Đối với biến đổi tích phân mà hai cận ở vô cùng. Các vec tơ của biến đổi Fourier rời rạc cũng là các số khác 0 trên toàn miền xác định; tức là, chúng không được hỗ trợ trọn gói. Ngược lại, các thành phần tín hiệu tức thời chỉ khác 0 trong một khoảng thời gian ngắn, nhiều đặc điểm quan trọng trong ảnh (các biên chẳng hạn) cũng được định vị trong không gian. Các thành phần kể trên không giống các hàm cơ sở của biến đổi Fourier và chúng không được thể hiện đầy đủ trong các hệ số biến đổi (chẳng hạn như phổ tần số), sẽ đề cập đến sau này. Việc này làm cho biến đổi Fourier và các biến đổi sóng khác, như đã đề cập trong phần trước của chương, ít các tuỳ chọn cho phép nén và phân tích tín hiệu và ảnh trong các thành phần tạm thời hay cố định. Tính chất khá tốt đó là, chúng ta chú ý biến đổi Fourier có thể đưa ra các hàm phân tích chẵn của một tín hiệu tức thời hẹp như tổng của tín hiệu hình sin. Thực hiện việc này, rất phức tạp cho việc huỷ bỏ các sóng hình sin để tạo ra các hàm có giá trị 0 trong chủ yếu các khoảng thời gian. Một cách đúng đắn cho việc thực hiện biến đổi ngược, nhưng bỏ đi các phổ hơn là việc làm rối tung các hàm. 245 Bạn có thể hiểu một cách không đầy đủ, các nhà toán học và các kỹ sư đã mở rộng một vài cách tiếp cận sử dụng biến đổi với các hàm cơ sở với khoảng tồn tại giới hạn. Các hàm cơ sở có nhiều loại như chẳng hạn như tần số. Chúng là sóng giới hạn bị chặn và được biết đến với tên là sóng con (Wavelet). Biến đổi dựa trên chúng gọi là biến đổi sóng con. Chúng cũng được gọi như việc thực hiện xoá trong một lượng đáng quan tâm của ngôn ngữ tiếng pháp đối với các chủ thể. Hình 14-1 minh hoạ sự khác biệt giữa sóng và sóng con. Hai sóng trên là sóng cosin và sóng sin khác nhau về tần số, nhưng không bền. Hai sóng dưới là sóng con khác nhau về tần số và vị trí theo trục. HÌNH 14-1 Hình 14-1 Sóng và sóng con Phép biến đổi Haar là ví dụ đơn giản nhất trong biến đổi sóng con. Nó khác các biến đổi khác trong chương 13 cả vec tơ cơ sở sinh ra nó bởi phép chuyển đổi và lấy tỷ lệ của một hàm đơn. Hàm Haar, nó là một cặp xung chữ nhật lẻ, là biến đổi cổ điển nhất và đơn giản nhất của biến đổi sóng con. 14.1.2. Phân tích phổ thời gian. Trong các tài liệu về xử lý tín hiệu bao gồm các công việc như nhận và phân tích tín hiệu trong thuật ngữ của biến đổi hai chiều theo không gian tần số và thời gian. Các tiếp cận thực sự trước biến đổi Sóng con, nhưng bây giờ phải cải tạo cho thích hợp cùng công việc. Tuỳ thuộc vào nó, mỗi thành phần tức thì của bản đồ tín hiệu được định vị trong miền tần số và thời gian mà đảm nhận cho các tính trội cho các thành phần tần số và thời gian xảy ra (hình 14-2). HÌNH 14-2 246 Hình 14-2 Không gian tần số- thời gian: (a) tín hiệu; (b) biểu diễn của nó Trong phân tích ảnh, không gian là ba chiều và có thể được xem như một ngăn xếp ảnh. Vị trí của thành phần sẽ xuất hiện chủ yếu tại mức cao của ngăn xếp sẽ đảm nhận cho tính trội của thành phần tần số. Trong hình 14-3 chỉ ra một ảnh chứa hai thành phần định vị được đưa ra cho hai bộ lọc thông. Trong trường hợp này hai bộ lọc hoàn toàn cô lập hai thành phần. Phương pháp tiếp cận này bắt đầu bằng với biến đổi Fourier cửa sổ Gabor, và dẫn đến biến đổi Fourier thời gian ngắn và mã hoá băng con. 14.1.2.1. Sóng con và âm nhạc Hãy chú ý các nốt nhạc trong hình 14-4, nó có thể được xem như việc mô tả không gian hai chiều tần số và thời gian. Tần số tăng từ dưới lên, trong khi thời gian tăng theo chiều trái sang phải. mỗi nốt trên khuôn nhạc đảm nhận cho thành phần của sóng con (âm tần) mà nó sẽ xuất hiện trong khi thực hiện một bài hát. Độ bền của mỗi sóng con là được mã hoá bằng loại nốt, chứ không theo độ rộng của nó. Nếu ta phân tích việc thực hiện một bản nhạc và viết ra các điểm của nó, chúng ta sẽ có một loại biến đổi sóng con. Tương tự, việc ghi một bài hát có thể xem như một phép biển sóng con rời rạc, do nó xây dựng lại các tín hiệu từ việc đặt lại các tần số và thời gian. HÌNH 14-3 Hình14-3 Phân tích không gian-tần số ảnh. HÌNH 14-4 Hình14-4 Nốt nhạc như một mặt tần số-thời gian. 247 14.1.3. Các biến đổi Nhắc lại rằng mỗi hệ số trong một biến đổi được xác định bằng một tích giữa hàm đầu vào và một trong những hàm cơ sở. Trong một vài trường hợp, giá trị này biểu diễn mức độ giống nhau hàm đầu vào và hàm cơ sở đó. Nếu các hàm cơ sở là trực giao (hay trực chuẩn), thì tích nhận được giữa hai hàm cơ sở bằng 0, nghĩa là chúng hoàn toàn giống hệt nhau. Vì vậy, nếu tín hiệu hay ảnh được tạo thành từ các thành phần tương tự với một hay một vài hàm cơ sở, thì tất cả trừ một hay một vài hệ số sẽ nhỏ. Tương tự, biến đổi ngược có thể xem như sự khôi phục lại các tín hiệu ban đầu hay các ảnh bằng cách tính tổng các hàm cơ sở có biên độ lớn bằng biến đổi các hệ số. Vì nếu tín hiệu hay ảnh được xây dựng từ các thành phần mà tương tự một hay một vài hàm cơ sở, sau đó phép tính tổng cần thiết có chỉ một vài thuật ngữ của biên độ tín hiệu. Rất nhiều thuật ngữ có thể sau đó bỏ qua và các tín hiệu hay ảnh có thể đưa lại bằng chỉ một vài biến đổi hệ số. Thêm vào đó, nếu các thành phần quan tâm trong tín hiệu hay ảnh tương tự như một hay một vài hàm cơ sở, sau đó những thành phần này sẽ rõ ràng trong các hệ số lớn đối với các hàm cơ sở. Do đó chúng sẽ dễ dàng tìm thấy trong biến đổi. Cuối cùng nếu một thành phần không được nhận biết tương tự là một hay một vài biến đổi cơ sở, sau đó nó cũng sẽ dễ dàng được tìm thấy. Nó sẽ dễ dàng bỏ đi, đơn giản bằng cách giảm hệ số đối với đáp ứng của biến đổi. Chúng ta bao gồm tất cả những giá trị tiềm ẩn trong sử dụng biến đổi với các hàm cơ sở mà mở rộng các thành phần của tín hiệu hay ảnh được thực hiện việc biến đổi. Chúng ta cũng nhớ đó là các thành phần tức thời không thể tương tự với các hàm cơ sở của biến đổi Fourier hay các biến đổi sóng khác. 14.1.3.1. Các loại biến đổi. Trở lại trong chương 10 có ba loại biến đổi khác nhau, nhưng đều có kỹ thuật liên quan đến biến đổi Fourier. biến đổi tích phân Fourier, biến đổi chuỗi Fourier, biến đổi Fourier rời rạc. Phép biến đổi Fourier tích phân được thiết lập với hàm liên tục hai chiều (một tín hiệu và phổ của nó). Nó và rời rạc của nó được đưa ra trong tích phân một chiều là:                   dsexFxfdxexfxF xsjxsj  22 vµ (1) Phép biến đổi chuỗi Fourier mở rộng đưa ra một hàm tuần hoàn (hay một hàm tức thời có thể tính trong một chu kỳ của một hàm tuần hoàn) như một sự liên tục của hệ số Fourier (hữu hạn hoặc vô hạn). nó và rời rạc của nó thông thường được tạo với s = ns một biến rời rạc, vì vậy:               0 2 0 2 n sxnj n L sxnj n eFsxfdxexfsnFF  vµ (2) Trong đó L là quãng thời gian với s = 1/L. Phép biến đổi Fourier rời rạc đưa ra một hàm mẫu bằng một phổ mẫu, và số các mẫu độc lập trong cùng cả hai miền. Nó thông thường được tạo với x = ix một biến rời rạc. nếu g(x) là giới hạn giải và mẫu như đòi hỏi bởi thuyết lấy mẫu, sau đó gi = g(ix) và 248        1 0 21 0 2 1 N k N kij ki N i N i πkj ik eGN geg N G  vµ 1 (3) Trong tất cả ba kỹ thuật biến đổi, sin và cosin của các tần số khác nhau tạo thành một tập các hàm cơ sở trực chuẩn. Hơn nữa, mỗi hệ số biến đổi được xác định bởi tích của hàm biến đổi và một trong những hàm cơ sở. DFT sử dụng một tích rời rạc và các hàm rời rạc cơ sở, trong khi các biến đổi khác sử dụng một tích nguyên và các hàm cơ sở liên tục. Trong mỗi trường hợp, biến đổi ngược bao gồm tổng các hàm cơ sở mà biên độ của nó thay đổi tuỳ thuộc vào hệ số biến đổi. Tổng này có thể trở thành một số nguyên đối với biến đổi Fourier liên tục. Biến đổi Fourier rời rạc trong chương trước cũng sử dụng các hàm rời rạc trực chuẩn cơ sở. Vì thế, chúng thực hiện theo cách chung thông thường của biến đổi Fourier rời rạc. Hầu hết trong các trường hợp, các hàm cơ sở là thực và biến đổi xuôi và ngược đều giống nhau. 14.1.3.2. Các loại biến đổi sóng con. Như với biến đổi Fourier, sóng con cũng có ba loại biến đổi: biến đổi sóng con liên tục (CWT), khai triển chuỗi sóng con, và biến đổi sóng con rời rạc (DWT). Tuy nhiên, nó hơi phức tạp hơn một chút, vì các hàm sóng con cơ sở có thể hoặc không thể là các hàm trực chuẩn. Tập các hàm cơ sở có thể hỗ trợ cho một biến đổi thậm chí khi các hàm không trực chuẩn. Điều đó có nghĩa là, cho ví dụ, khai triển một chuỗi sóng con mở rộng phải thể hiện một hàm bằng rất nhiều hệ số. Nếu dãy các hệ số bị cắt để có độ dài hữu hạn, thì chúng ta có thể khôi phục chỉ một phần gần đúng các hàm ban đầu. Cũng như thế, một biến đổi sóng con rời rạc có thể đòi hỏi nhiều hệ số các điểm mẫu hơn hàm ban đầu để khôi phục lại nó một cách chính xác, hay mức gần giống có thể chấp nhận. 14.1.3.3. Các ký hiệu và định nghĩa. Tiếp theo chúng ta đưa ra một số định nghĩa để làm sáng tỏ các khái niệm về biến đổi sóng con. Chúng ta giới hạn điểm quan tâm chính chỉ là các hàm biến đổi một chiều. Mục đích làm cho phù hợp với phần lớn tài liệu biến đổi sóng con chúng ta sử dụng j như là một chỉ số nguyên trong chương này. Như một vài phần khác trong cuốn sách, chúng ta cũng sử dụng j để biểu diễn đơn vị ảo 1 , phải lưu ý không sử dụng trong cả hai phương pháp trong cùng một biểu thức. Điểm phân biệt này sẽ rõ ràng hơn trong nội dung của nó. Lớp các hàm chúng ta tìm kiếm để thể hiện bằng biến đổi sóng con đó là các tích của hàm bình phương trên một trục thực (chẳng hạn là tập các số thực trên trục x). Lớp này được ký hiệu là L2(R). Do đó ký hiệu f(x) L2(R) nghĩa là     dxxf 2 (4) Trong phân tích sóng con, chúng ta tạo ra một tập các hàm cơ sở bằng cách giãn và tính tiến một hàm (x) đơn nguyên, gọi là một sóng con cơ sở. Đây là một hàm dao động nào đó, thường tập trung vào ở giá trị ban đầu và tắt dần khi x . Vì thế, (x  L2(R). 249 14.2. BIẾN ĐỔI SÓNG CON LIÊN TỤC Phép biến đổi sóng con liên tục (còn được gọi là biến đổi sóng con tích phân) được đưa ra bởi hai ông Grossman và Morlet. 14.2.1. Định nghĩa Nếu (x) là hàm thực của phổ Fourier,(x), thoả mãn tiêu chuẩn có thể chấp nhận       ds s s C 2)(  (5) và (x) được gọi là sóng con cơ sở. Chú ý rằng, vì s thuộc mẫu số của tích phân nên cần có     dxx)(0)0(  (6) Hơn nữa, vì () cũng bằng 0 nên chúng ta có thể nhận thấy phổ biên độ của sóng con có thể chấp nhận tương tự hàm truyền đạt của bộ lọc thông dải. Thực tế, đáp ứng xung của một bộ lọc thông dải bất kỳ với trung bình 0, suy giảm về 0 đủ nhanh bằng với tốc độ tăng tần số, đều có thể thoả mãn như một sóng con cơ sở đối với biến đổi này. Hình 14-5 Một sóng con Tập các hàm sóng con cơ bản, {a,b(x)}, có thể được tạo ra bằng cách tịnh tiến và lấy tỷ lệ sóng con cơ bản,        a bx a xba  1)(, (7) trong đó a > 0 và b là các số thực. Biến a phản ảnh tỷ lệ hàm sóng con cơ bản, còn b xác định rõ vị trí tịnh tiến của hàm theo trục x. Thông thường, sóng con cơ sở, (x), được đặt tại gốc toạ độ sao cho a,b(x) đặt tại x = b.   2/2 21 3 2)( xexx    (8) Biến đổi sóng con liên tục của f(x) liên quan đến sóng con (x) là 0 2 4 6x 0 1 0.5 -0.5 250     dxxxffbaW babaf )()(,),( ,,  (9) Grossman và Morlet đã chứng minh rằng biến đổi sóng con liên tục ngược là       0 2, )(),(1)( a dadbxbaW C xf baf   (10) Hệ số tỷ lệ trước vế phải của biểu thức (7) bảo đảm các tiêu chuẩn của tất cả các hàm sóng con cơ sở đều như nhau, vì  xfadx a bxf a bxf                 2 (11) 14.2.2. CWT hai chiều Biến đổi sóng con liên tục W(a,b) của hàm f(x) một chiều là một hàm hai biến. Đối với các hàm nhiều hơn một biến, biến đổi này cũng làm tăng số chiều thêm một. Nếu f(x,y) là hàm hai chiều thì biến đổi sóng con của nó là        dxdyyxyxfbbaW yx bbayxf ),(),(),,( ,, (12) trong đó bx và by xác định biến đổi theo hai chiều. Biến đổi sóng con ngược liên tục hai chiều là          0 3,, ),(),,(1),( a dadbdbyxbbaW C yxf yxbbayxf yx  (13) trong đó         a bx a bx a yx yxbba yx , 1),(,,  (14) và (x,y) là sóng con cơ sở hai chiều. Tổng quát hoá mở rộng để kiểm soát các hàm có nhiều hơn hai biến. 14.2.3. Giải thích khối lọc (Filter Bank) Ví dụ minh hoạ tiếp theo là một cách để xem xét biến đổi sóng con liên tục. Chúng ta đầu tiên định nghĩa các hàm cơ sở chung với tỷ lệ a là         a x a xa  1 (15) Đây là hàm sóng con cơ sở tỷ lệ a và thông thường là a-1/2. Nó định nghĩa một tập các hàm trở nên rộng rãi với việc tăng a. Chúng ta cũng định nghĩa.           a x a xx aa ** ~ 1  (16) Nó là liên hợp phức được phản xạ của sóng con tỷ lệ. Nếu (x) là thực và chẵn, như các trường hợp thông thường khác, thì phản xạ và liên hợp không có kết quả. Bây giờ chúng ta có thể viết biến đổi sóng con [Biểu thức 9] như sau: 251       aaf fdxxbxfbaW ~~ ,      (17) Với phần không đổi a, sau đó Wf(a,b) là tích chập của f(x) với sóng con liên hợp theo tỷ lệ a. Hình 14-6 cho thấy biến đổi sóng con tích phân như một khối (bank) các bộ lọc tuyến tính (tích chập) thực hiện trên f(x). mỗi giá trị của a định nghĩa một bộ lọc thông dải khác nhau, và đầu ra của tất cả các bộ lọc, thực hiện đồng thời, bao gồm biến đổi sóng con. Thêm vào đó biểu thức 10 trở thành         20 ~ 0 2 ~ 11 a daxf Ca dadbxbbf C xf aaaa                 (18) Nó ngụ ý rằng các đầu ra bộ lọc, mỗi đầu ra lại được lọc bởi a(x) và lấy tỷ lệ hợp lý, kết hợp với nhau để khôi phục f(x). Nó là phát biểu của Calderon, ra đời trước Grossman và Morlet 20 năm. HÌNH 14-6 Hình 14-6 Sự giống nhau của khối lọc đối với biến đổi sóng con tích phân của một tín hiệu Nhắc lại từ thuyết đồng dạng (Phần 10.2.5) đó là rằng          a sF a axf 1 (19) Có nghĩa là       asaxs aa   (20) Và các tần số trung tâm của các bộ lọc thông dải giảm khi các hàm truyền đạt trở nên hẹp hơn với việc tăng a. 14.2.4. Các khối lọc hai chiều Hình 14-7 minh hoạ tiếp cận khối lọctheo hai chiều. Ở đây, mỗi bộ lọc a(x,y) là một đáp ứng xung hai chiều, và đầu ra của nó là một ảnh sao chép đã lọc thông dải. Ngăn xếp các ảnh lọc bao gồm biến đổi sóng con. Mặt khác, độ dư thừa là rất đáng quan tâm. Trong thực tế, nếu hàm truyền đạt (u,v) của (x,y) khác 0, ngoại trừ tại gốc, thì theo lý thuyết, chúng ta có thể khôi 252 phục ảnh ban đầu từ bất kỳ một trong các đầu ra của bộ lọc bằng cách lọc ngược (giải chập). Nếu ảnh bị giới hạn dải trong một khoảng mà trên đó tồn tại ít nhất một a(u,v) khác 0, thì f(x,y) có thể được khôi phục từ đầu ra bộ lọc đơn lẻ đó. Phần cuối là giá trị tiềm năng của biến đổi sóng con tích phân không cần trình bày đầy đủ, mà để phân tích tín hiệu và ảnh. Để minh hoạ việc này, giả sử lấy ảnh trong hình 14-7 làm ví dụ, các đối tượng hình tròn có kích cỡ khác nhau và thành phần sóng con cơ sở được chọn chỉ tương ứng với các đối tượng hình tròn có bán kính đơn vị. Xem xét ngăn xếp ảnh ra sẽ phát hiện vị trí các đối tượng. Hơn nữa, mỗi đối tượng chỉ xuất hiện trong từng ảnh ra cụ thể tương ứng với từng kích cỡ riêng biệt. HÌNH 14-7 Hình 14-7 Sự giống nhau của khối lọc đối với biến đổi sóng con tích phân của một ảnh 14.3. KHAI TRIỂN CHUỖI SÓNG CON 14.3.1. Cặp sóng con (Dyadic Wavelet) Kiểu biến đổi sóng con thứ hai có một vài điểm hạn chế hơn so với kiểu thứ nhất. Ngoài ra, một sóng con cơ sở được lấy tỷ lệ và tịnh tiến để tạo thành tập các hàm cơ sở. Tuy nhiên, ở đây tỷ lệ và phép tịnh tiến được định rõ bởi các số nguyên chứ không phải là các số thực. Trong định nghĩa thứ hai này, chúng ta sẽ tự giới hạn để tạo các hàm cơ sở bằng các tỷ lệ nhị phân và những cặp tịnh tiến của sóng con cơ sở, (x). Một cặp tịnh tiến là một phép dịch đi một lượng k/2j, nó là một phép nhân số nguyên hệ số tỷ lệ nhị phân và vì thế cũng là chiều rộng của sóng con. Phép lấy tỷ lệ nhị phân và cặp tịnh tiến được minh hoạ trong hình 14-8. HÌNH 14-8 253 Hình 14-8 Tỷ lệ nhị phân và cặp tịnh tiến của biến đổi sóng con 14.3.2. Định nghĩa Hàm (x) là sóng con trực giao nếu tập {j,k(x)} của các hàm được định nghĩa bởi    kxx jjkj  22 2/,  (21) Trong đó -<j, k< là các số nguyên, tạo thành co sở trực giao của L2(R). Số nguyên j xác định độ giãn, trong khi k chỉ rõ sự tịnh tiến. Tập sóng con đã đề cập tạo thành một cơ sở trực giao nếu, đầu tiên, mkljmlkj ,,,, ,   (22) Trong đó l và m là các số nguyên, j,k là hàm delta Kronecker, và .,. cho biết tích; và thứ hai nếu hàm f(x)  L2(R) bất kỳ có thể viết lại như sau           j k kjkj xcxf ,,  (23) Trong đó hệ số biến đổi được cho bởi các tích; tức là            dxkxxfxxfc jjkjkj 22, 2/ ,,  (24) Biểu thức (23) và (24) chỉ rõ khai triển chuỗi sóng con của f(x) có liên quan tới sóng con (x). Chú ý rằng ở đây một hàm liên tục được thể hiện bởi một chuỗi vô hạn gấp hai lần, và nói chung, biến đổi lại được khắc phục. Do các hàm cơ sở thường mở rộng ra vô hạn hạn theo cả hai hướng, nên việc khôi phục hoàn chỉnh phải được bao gồm tất cả các số hạng. Tuy nhiên, nếu chọn (x) thích hợp thì ta có thể cắt chuỗi mà không gặp sai số xấp xỉ nghiêm trọng. Nếu f(x) bị chặn và sóng con cơ sở được định vị tốt, thì nhiều hệ số với |k| lớn sẽ không đáng kể. Các hệ số với |j| lớn cũng sẽ nhỏ, vì các hàm sóng con cơ sở sau đó trở thành cực kỳ rộng hay hẹp. 14.3.3. Cặp sóng con đầy đủ (Compact Dyadic Wavelet) Nếu ta giới hạn f(x) và sóng con cơ sở hơn nữa thành các hàm có gái trị 0 bên ngoài khoảng [0,1], thì họ các hàm cơ sở trực chuẩn thường được xác định bằng một chỉ số đơn n; tức là,    kxx jjn  22 2/  (25) Trong đó j và k là các hàm thực sự của n, như sau: 12,...,1,0,...1,02  jj kjkn víi (26) Đối với n, j bất kỳ là số nguyên lớn nhất ví dụ như nj 2 và k = n - 2j.