Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 16: Khôi phục ảnh

312 Ch­¬ng 16 KHÔI PHỤC ẢNH 16.1. GIỚI THIỆU Trong lịch sử, lĩnh vực hoạt động rộng lớn của xử lý ảnh số đã dành hết cho việc khôi phục ảnh. Công việc này bao gồm cả nghiên cứu phát triển thuật giải lẫn chương trình, xử lý ảnh có mục đích. Nhiều đóng góp đáng chú ý trong xử lý ảnh số đã được thực hiện trước kia cũng như sau này. Dựa vào khôi phục ảnh, chúng ta muốn loại bỏ hay làm giảm những suy giảm gặp phải trong khi thu nhận ảnh số. Sự suy giảm bao gồm sự mờ do hệ thống quang học, di chuyển đối tượng và cả nhiễu từ điện tử hay nguồn quang trắc. Trong khi khôi phục ảnh có thể được định nghĩa bao gồm nhiều kỹ thuật đã đề cập trong Phần 1, ta coi nó là biểu hiện của lớp các thao tác bị hạn chế nhiều hơn. Tiêu chí cho việc khôi phục ảnh là mang lại một ảnh tương đối giống ảnh ban đầu khi ảnh số thu được bị suy giảm. Mỗi phần tử trong chuỗi thu nhận ảnh (thấu kính, film, bộ số hoá,...) đều có thể tạo ra suy giảm. Khôi phục từng phần ảnh bị mất chất lượng có thể thoả mãn một khía cạnh thẩm mỹ nào đó, tuỳ thuộc vào từng ứng dụng cụ thể. Một ví dụ cho trường hợp sau là các nhiệm vụ thu thập ảnh mặt trăng và hành tinh trong chương trình không gian. Trong chương này, chúng ta xem xét một vài phương pháp tiếp cận khôi phục ảnh. Ta cũng xem xét các bài toán nhận biết hệ thống và mô phỏng nhiễu. Đối với những tin tức chi tiết về các đối tượng, độc giả nên tham khảo tài liệu hay nghiên cứu về lĩnh vực này. 16.1.1. Tiếp cận và mô phỏng Tiến trình khôi phục ảnh bị suy giảm có thể tiếp cận theo một trong hai cách cơ bản. Nếu không biết nhiều về ảnh, ta có thể cố gắng để mô phỏng và mô tả đặc điểm các nguồn suy giảm (mờ và nhiễu) và thực hiện quá trình loại bỏ và giảm bớt ảnh hưởng của chúng. Đây là cách tiếp cận ước đoán, vì ta thử ước đoán ảnh như thế nào trước khi bị suy giảm thông qua xử lý các đặc tính liên quan còn lại. Nói cách khác, rất nhiều nhận thức trước đây về ảnh đã có sẵn, có thể thành công hơn để phát triển mô hình toán học của ảnh ban đầu và điều chỉnh mô hình ảnh quan sát. Một ví dụ cho trường hợp này, giả sử rằng ảnh đã biết chỉ chứa các đối tượng hình tròn có kích thước cố định (các vì sao, các hạt, các tế bào,). Ở đây, công việc là sự phát hiện, vì chỉ một vài thông số của ảnh ban đầu là chưa biết (số lượng, vị trí, biên độ,). Việc tiếp cận bài toán khôi phục ảnh cũng thể hiện ở một vài lựa chọn khác. Thứ nhất, việc phát triển có thể sử dụng các phép toán rời rạc hay liên tục. Thứ hai, việc phát triển có thể thực hiện trong miền không gian hay miền tần số. Cuối cùng, trong khi việc thực hiện phải là số (digitally) thì khôi phục có thể thực hiện trong miền không gian (qua tích chập) hay miền tần số (qua phép nhân). Thật may mắn, bây giờ ta đã xác định đượ tập điều kiện mà, nếu được bảo toàn, làm cho các phương pháp tiếp cận khác nhau đều cần thiết ngang nhau. Vì thế, chúng 313 ta có thể sử dụng bất cứ cách tiếp cận nào phù hợp với yêu cầu và ràng buộc của ta nhất, miễn là chúng ta quan tâm đến những giả thiết cơ bản. Thường thường, có hai hay nhiều cách tiếp cận đều dẫn đến cùng một kỹ thuật khôi phục. Các phương pháp tiến hành tốt trong thực tiễn là cơ sở cho bài toán này. Một trong số chúng luôn luôn có vẻ như chờ đợi ta cuối hành trình, không quan tâm đến hướng ta xuất phát hay loại bản đồ và la bàn mà ta sử dụng. Trong chương này, chúng ta xem xét một vài kỹ thuật khôi phục ảnh quan trọng. Chúng ta bắt đầu bằng cách tiếp cận trong miền tần số liên tục theo thứ tự phát triển và ứng dụng của chúng đối với ảnh số. Sau đó ta sẽ nghiên cứu trong miền không gian rời rạc để thống nhất các kết quả có trước thành cơ cấu chung. Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét khía cạnh thực tiễn của việc xử lý mờ biến thiên và nhiễu không cố định. Sau khi xác định các tham số suy giảm ta tiến hành khôi phục ảnh. 16.2. CÁC BỘ LỌC KHÔI PHỤC ẢNH KINH ĐIỂN Trong phần này, chúng ta sử dụng hệ thống trong Hình 16-1 để mô phỏng sự suy giảm và khôi phục ảnh. Ảnh f(x,y) được làm mờ bằng phép toán tuyến tính h(x,y) và nhiễu n(x,y) được thêm vào để tạo thành ảnh suy giảm w(x,y). Ảnh này được nhân chập với bộ lọc khôi phục g(x,y) để cho ảnh khôi phục f^(x,y). Hình 16-1 Mô hình khôi phục ảnh liên tục Lý thuyết hệ thống tuyến tính đã được sử dụng để thiết kế các bộ lọc điện tử trong nhiều năm trước khi xử lý ảnh trở nên phổ biến. Nó được ứng dụng rộng rãi trong quang học, xử lý tín hiệu số và các lĩnh vực khác. Ví dụ, giải chập được biết đến trong thiết kế bộ lọc điện tử và phân tích chuỗi thời gian. Thậm chí ước lượng sai số bình phương trung bình (MSE) tối thiểu được Norbert Wienner trình bày vào năm 1948. Vì thế, nhiều kỹ thuật ứng dụng trong khôi phục ảnh là sự tổng hợp từ các phương pháp một chiều đã sử dụng trong xử lý tín hiệu tương tự và tín hiệu số. Thậm chí khi trở thành đặc trưng, các kỹ thuật mới đã được trình bày, chúng tập trung vào cách tiếp cận miền tần số kinh điển 16.2.1. Giải chập (Deconvolution) Vào giữa thập niên 60, giải chập (lọc ngược) đã bắt đầu được ứng dụng rộng rãi để khôi phục ảnh số. Nathan đã sử dụng giải chập hai chiều để khôi phục ảnh từ các nhiệm vụ thám hiểm hành tinh Ranger, Surveyor và Mariner. Vì phổ tín hiệu thường tắt dần nhanh hơn nhiễu ở cùng tần số, nên các thành phần tần số cao thường bị nhiễu tác động. Phương pháp tiếp cận của Nathan đã hạn chế hàm truyền đạt giải chập xuống một giá trị tối đa nào đó (Hình 16-2). Trong suốt chu kỳ lấy mẫu, Harris đã giải chập vệt mờ do sự hỗn loạn của bầu khí quyển trong ảnh thiên văn sử dụng một mô hình phân tích đối với PSF và McGlamery đã giải chập sự hỗn loạn khía quyển sử dụng một PSF xác định qua thực nghiệm. Do đó, giải chập đã trở thành kỹ thuật tiêu chuẩn cho vấn đề khôi phục ảnh. + ),( yxf ),( yxh ),( yxg ),( yxn ),( yxw ),(^ yxf 314 Hình 16-3 minh hoạ sự cải tiến có thể có trên ảnh khi kỹ thuật này được thực hiện cẩn thận. Hình 16-2 Giải chập HÌNH 16-3 Hình 16-3 Giải chập ảnh Surveyor: (a)trước; (b) sau 16.2.2. Giải chập Wienner Trong đa số các ảnh, các điểm ảnh liền kề rất tương quan với nhau, trong khi các mức xám của các điểm ảnh riêng biệt chỉ tương quan lỏng lẻo. Từ đó, chúng ta có thể chứng tỏ rằng hàm tự tương quan của ảnh đặc thù nói chung là suy giảm nhiều so với ban đầu. Vì phổ năng lượng của ảnh là biến đổi Fourier (thực và chẵn) hàm tự tương quan của nó nên chúng ta có thể chứng tỏ được rằng phổ năng lượng của một ảnh nói chung suy giảm theo tần số. Các nguồn nhiễu đặc trưng có phổ năng lượng bằng phẳng hoặc suy giảm theo tần số chậm hơn so với phổ năng lượng của ảnh. Vì thế, trạng thái mong muốn là sao cho 1 1 15 h h hh (a) §¸p øng lý thuyÕt (b) §¸p øng thùc tÕ (c) §¸p øng ®¶o (d) §¸p øng ®· hiÖu chØnh 0 0.2 1 315 phổ tín hiệu ở tần số thấp còn nhiễu chiếm các tần số cao. Bởi vì kích thước bộ lọc giải chập thường tăng theo tần số nên bộ lọc sẽ tăng cường nhiễu tần số cao. Những cố gắng vận dung giải chập bài toán nhiễu bằng các phương pháp đặc biệt và trực quan. Helstrom đã chấp nhận thủ tục ước lượng sai số bình phương trung bình và đã trình bày bộ lọc giải chập Wienner, có hàm truyền đạt hai chiều ),(),(),( ),(),( ),( 2 * vuPvuPvuH vuPvuH vuG nf f   (1) và có thể viết lại như sau: ),(/),(),( ),(),( 2 * vuPvuPvuH vuHvuG fn  (2) trong đó Pf và Pn là phổ năng lượng của tín hiệu và nhiễu. Bộ lọc này được trình bày trong chương 11 cho trường hợp một chiều. Hình 16-4 Vấn đề nhiễu trong giải chập Slepian đã mở rộng giải chập Wienner để giải thích PSF suy biến (ví dụ do nhiễu loạn khí quyển). Sau đó, Pratt và Habibi đã phát triển công cụ để tăng hiệu quả tính toán của giải chập Wienner.  s ss s s Hµm tù t­¬ng quan Phæ n¨ng l­îng nhiÔu Phæ n¨ng l­îng Tû lÖ tÝn hiÖu/nhiÔu (SNR) Phæ biªn ®é Bé läc gi¶i chËp )(fR )(sPn )(sPf )( )( sP sP n f )(sF )( 1 sH 316 Giải chập Wienner tạo ra một phương pháp tối ưu cho việc thực hiện hàm truyền đạt giải chập trong sự hiện diện của nhiễu, nhưng nó bị vướng mắc với ba vấn đề hạn chế tính hiệu quả của nó. Thứ nhất, tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình (MSE) của sự tối ưu không đặc biết tốt nếu ảnh đang được khôi phục trong mắt người. Vấn đề là ở chỗ tiêu chuẩn MSE xử lý mọi sai số như nhau, bất chấp vị trí của chúng trong ảnh, trong khi mắt phải chịu đựng các sai số trong vùng tối và vùng gradient cao nhiều hơn các hệ thống khác. rong việc tối thiểu hoá sai số bình phương trung bình, bộ lọc Wienner cũng có xu hướng làm trơn ảnh nhiều hơn những gì mà mắt ưa thích. Thứ hai, giải chập Wienner cổ điển không thể vận dụng PSF có biến làm mờ thuộc không gian. Điều này xuất hiện với sự hôn mê, chứng loạn thị, sự uốn cong của trường thể hiện và với vệt mờ di chuyển trong khi quay. Cuối cùng, kỹ thuật không thể vận dụng cho các trường hợp phổ biến của tín hiệu và nhiễu dừng. Đa số các ảnh là không dừng, có các khu vực bằng phẳng rộng phân biệt bởi sự chuyển tiếp dễ nhận thấy (biên). Hơn nữa, một vài nguồn nhiễu quan trọng tuỳ thuộc rất nhiều vào mức xám cục bộ. Trong hai phần tiếp theo, ta sẽ xem xét những cách thức thực hiện và cải tiến giải chập Wienner. 16.2.3. Cân bằng phổ năng lượng Canon đã chứng minh bộ lọc khôi phục phổ năng lượng của ảnh bị suy giảm thành biên độ ban đầu là 2/1 2 ),(),(),( ),( ),(           vuPvuPvuH vuP vuG nf f (3) Giống như bộ lọc Wienner, bộ lọc cân bằng phổ năng lượng (Power Spectrum Equalization-PSE) này không có pha (thực và chẵn). Nó thích hợp cho các hàm làm mờ không pha hay pha được xác định bởi các phương pháp khác. Điểm tương đồng giữa bộ lọc PSE (biểu thức (3)) và bộ lọc giải chập Wienner (biểu thức (1)) là quá rõ ràng. Cả hai bộ lọc đều giảm xuống còn giải chập trực tiếp trong tình trạng không nhiễu và cả hai cắt hoàn toàn trong tình trạng không có tín hiệu. Tuy nhiên, bộ lọc PSE không cắt tại các vị trí 0 trong hàm truyền đạt làm mờ F(u, v). Khả năng khôi phục ảnh của bộ lọc PSE rất tốt và trong vài trường hợp bộ lọc PSE có thể được ưa thích hơn giải chập Wienner. Đôi khi bộ lọc PSE còn được gọi là bộ lọc đồng hình (homomorphic filter). 16.2.4. Các bộ lọc trung bình hình học Xét hàm truyền đạt bộ lọc khôi phục được cho bởi                     1 2 * 2 * ),(/),(),( ),( ),( ),(),( vuPvuPvuH vuH vuH vuHvuG fn (4) trong đó  và  là các hằng số thực dương. Bộ lọc này là sự khái quát của các bộ lọc đã đề cập trước đây. Hàm truyền đạt được tham số hoá theo  và . Chú ý, nếu  = 1 thì biểu thức (4) rút gọn thành bộ lọc giải chập. Hơn nữa, nếu  = 1/2 và  = 1, thì nó sẽ trở thành bộ lọc PSE trong biểu thức (3). 317 Cần lưu ý thêm rằng, nếu  = 1/2 thì biểu thức (4) sẽ xác định bộ lọc trung bình hình học giữa giải chập bình thường và giải chập Wienner. Vì thế biểu thức (3) còn có một tên gọi nữa là bộ lọc trung bình hình học. Tuy nhiên, thực tế thì tên gọi này thường dùng cho bộ lọc tổng quát hơn trong biểu thức (4). Nếu trong biểu thức (4),  = 0 thì nó trở thành bộ lọc tham số Wienner           ),(/),(),( ),(),( 2 * vuPvuPvuH vuHvuG fn (5) Nếu  = 1 biểu thức này sẽ trở thành bộ lọc giải chập Wienner của biểu thức (2), ngược lại  = 0 sẽ rút gọn thành giải chập trực tiếp. Nói chung,  có thể được chọn để có được bộ lọc làm trơn kiểu Wienner mong muốn. Biểu thức (4) trình bày một lớp các bộ lọc khôi phục rất phổ biến thường dùng trong các hàm làm mờ tuyến tính, bất biến không gian và nhiễu cộng không tương quan. Andrews và Hunt đã nghiên cứu khả năng khôi phục của bộ lọc trong biểu thức (4) dưới các điều kiện hơi mờ và nhiễu vừa phải. Chúng chứng tỏ rằng, dưới những điều kiện này, giải chập trực tiếp ít mong muốn nhất và giải chập Wienner tạo ra hiệu quả lọc thông thấp khắt khe hơn mà mắt người mong muốn. Bộ lọc tham số Wienner  < 1 và bộ lọc trung bình hình học cùng một ràng buộc có vẻ như tạo ra các kết quả dễ chịu hơn. 16.3. SỰ KHÔI PHỤC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Andrews và Hunt đã đề xuất một phương pháp tiếp cận bài toán khôi phục ảnh dựa trên cơ sở đại số tuyến tính. Tiếp cận này có thể lôi cuốn những người thích dùng đại số ma trận hơn phép tính tích phân và toán học rời rạc để phân tích các hàm liên tục. Nó đưa ra một sự trình bày thống nhất về các bộ lọc khôi phục, kể cả những bộ lọc đã đề cập trước đây và nó mang lại những hiểu biết về khía cạnh bằng số của bài toán khôi phục ảnh. Bởi vì kích thước các vec tơ và cả các ma trận nên phương pháp tiếp cận đại số tuyến tính có thể không mang lại hiệu quả. Thay vào đó, một kỹ thuật khôi phục phát triển theo phương pháp tiếp cận này có thể được thực hiện hiệu quả hơn bằng phương pháp khác. 16.3.1. Mô hình khôi phục rời rạc Hình 16-5 trình bày một mô hình mad ta sẽ sử dụng trong việc phát triển các kỹ thuật khôi phục không gian rời rạc. Hàng trên đỉnh biểu thị trạng thái mong muốn (nhưng không có khả năng), đó là một bộ số hoá lý tưởng hoạt động trên f(x, y), là hàm liên tục không sy biến biểu diễn cho cảnh vật lý tạo ra ảnh. Bộ số hoá này tạo ra một vec tơ cột f N2  1, đệm thêm và xếp chồng theo hàng, chứa ảnh số mong muốn. Khuôn dạng vec tơ cột này đối với việc lưu trữ ảmh số đã được đề cập trong phần 9.3.4. Hàng thứ hai của mô hình mô phỏng điều sẽ xảy ra khi một ảnh được số hoá và được khôi phục. Hàm f(x, y) bị mờ bởi một phép toán tuyến tính h(x, y) và sau đó một ảnh nhiễu hai chiều n(x, y) được thêm vào, tạo thành g(x, y). Một bộ số hoá lý tưởng tạo ra một vec tơ cột g đệm thêm, sắp xếp theo hàng, chứa ảnh số N  N quan sát được. Điều này tuỳ thuộc vào phép toán khôi phục tạo ra  f , xấp xỉ với kết quả mong muốn, f. 318 Hàm mờ là tuyến tính, nhưng nó có thể là bất biến dịc hoặc không. Nếu nó là bất biến dịch thì nó chẳng qua là tích chập của f(x, y) với PSF h(x, y). Nếu thực tế có nhiều hơn một toán tử làm mờ trong chuỗi mô phỏng, thì các toán tử này được giả định là kết hợp với nhau thành h(x, y). Cũng như vậy, nhiều nguồn nhiễu được giả thiết là kết hợp thành một nguồn n(x, y). Mô hình này vẫn chưa hoàn thiện, vì nó không tính đến nhiễu phi tuyến và nhiễu phụ thuộc tín hiệu. Hàng thứ ba của hình cho thấy mô hình mà chúng ta phân tích ở đây. Một bộ số hoá lý tưởng tạo ra f, như trước, nhưng điều này tuỳ thuộc vào phép toàn tuyến tính rời rác H. Một ảnh nhiễu rời rạc, mã hoá theo vec tơ cột n, được thêm vào để tạo ra ảnh quan sát g, cũng có dạng vec tơ. Một phép toán khôi phục rời rạc lại tạo ra ước lượng  f . Khuôn dạng của vec tơ ảnh quan sát bây giờ có thể được biểu diễn dưới dạng đầy đủ như sau g = Hf + n (6) trong đó g, f và n là các vec tơ cột N2  1 và H là ma trận N2  N2. Nếu hàm mờ là bất biến dịch thì H là ma trận khối vòng tròn. Ngoài ra, các ảnh số mà ta quan tâm đều là N  N sau khi đệm thêm các giá trị 0 cần thiết. Lưu ý rằng bây giờ, bằng các phép toán rời rạc, chúng ta đang mô phỏng các suy biến nhận được trước khi ảnh được chuyển đổi sang dạng số. Mô phỏng này có hai nhánh. Đầu tiên, ta có thể tạo các ví dụ mô phỏng rất ấn tượng bằng mô hình này, vì ta có thể thiết kế quá trình suy biến và thực hiện nó chính xác. Sự khôi phục trở thành một bài tập bằng số đơn thuần, nếu ta chọn một quá trình suy biến có thể đảo ngược. Ta thực hiện điều đó, ta xoa bỏ nó, và ta khôi phục lại nguên mẫu trong phạm vi sai số làm tròn. Thứ hai, bây giờ ta tiến hành mô phỏng các quá trình (liên tục) bằng các phép toán rời rạc. Điều này tương tự như tình huống trước đây mà chúng ta đã phải bảo đảm rằng quá trình xử lý rời rạc dữ liệu lấy mẫu bảo toàn nguyên vẹn các hàm liên tục cơ bản. Hiệu lực của khôi phục ảnh cố gắng xoay quanh sự mô phỏng chính xác quá trình suy biến ảnh. 16.3.2. Khôi phục không ràng buộc Nếu n = 0 hoặc nếu ta không biết một tí gì về nhiễu, ta có thể thiết lập sự khôi phục như bài toán tối thiểu hoá bình phương nhỏ nhất theo cách dưới đây. Cho )(  fe là một vec tơ sai số thặng dư thu được từ việc sử dụng  f như một xấp xỉ của f. Khi đó biểu thức (6) trở thành   fHgfefefHHfg )()( hay (7) và ta tối thiểu hoá hàm mục tiêu                         fhgfHgfHgfef t W 22 (8) trong đó aaa t ký hiệu cho tiêu chuẩn Ơ clit của một vec tơ, tức là, câưn bậc hai của tổng bình phương các phần tử của nó. 319 Nghĩa là ta chọn  f sao cho nếu nó bị H làm mờ thì kết quả sẽ khác ảnh quan sát g càng ít càng tốt theo nghĩa bình phương trung bình. Vì bản thân g là f đơn giản bị làm mờ bởi H, nên đây là cách tiếp cận tốt nhất. Nếu f và  f , cả hai đều bị H làm mờ, gần giống nhau thì  f có thể là xấp xỉ tốt nhất đối với f. Chú ý rằng công thức này có phần khác với công thức đã sử dụng trong phần trình bày bộ lọc Wienner trong phần 11.5.2. Ở đó, ta đã cố gắng tối thiểu hoá sự khác nhau giữa tín hiệu khôi phục và tín hiệu ban đầu. Ở đây, ta đã hoàn thành việc tối thiểu hoá sự khác nhau giữa ảnh mờ ban đầu và ước lượng mờ của ảnh ban đầu. Chúng ta không thể mong đợi hai công thức này cho kết quả như nhau. Cho đạo hàm của )(  fW theo  f bằng 0, ta được 02)(             fHgH f f tW (9) và giải theo  f ta được gHgHHHf 11)(    tt (10) trong đó dấu bằng thứ hai là đúng vì H là ma trận vuông. Biểu thức (10) giống như bộ lọc đảo. Với hàm mờ bất biến dịch, H sẽ là ma trận khối vòng tròn và nó có thể được dùng để xác định giải chập, cho trong miền tần số bởi     vuH vuGvuF , ,,   (11) Nếu H(u, v) có các giá trị 0 thì H là duy nhất và H-1 hay (HtH)-1 không tồn tại. 16.3.3. Khôi phục ràng buộc bình phương nhỏ nhất Ta có thể sắp xếp biểu thức (6) lại như sau g - Hf = n (12) Một cách để đưa thành phần nhiễu vào ràng buộc tối thiểu mà các tiêu chuẩn của mỗi vế trong biểu thức (12) là như nhau; tức là, 2 2 nfHg   (13) Bây giờ chúng ta có thể thiết lập bài toán như tối thiểu hoá của           2 22 )( nfHgfQf W (14) trong đó Q là một ma trận mà ta chọn để định nghĩa một toán tử tuyến tính nào đó trên  f và  là một hằng số gọi là số nhân Lagrăng. Khả năng xác định Q cho ta tính linh hoạt khi thiết lập mục đích khôi phục. 320 Như trước, ta đặt đạo hàm W(  f ) theo  f bằng 0: 0)(22)(       fHgHfQQ f f ttW  (15) Sau đó giải với f ta được gHQQHHf ttt 1)(     (16) trong đó  = 1/ là hằng số mà phải được điều chỉnh sao cho ràng buộc của biểu thức (13) thoả mãn. Đây là biểu thức tổng quát cho giải pháp khôi phục ràng buộc bình phương nhỏ nhất. 16.3.3.1. Bộ lọc giả ngược Nếu ta đặt Q = I, ma trận đồng nhất, thì ta sẽ tối thiểu hoá được tiêu chuẩn f tuỳ thuộc vào ràng buộc nhiễu của biểu thức (13). Khi đó biểu thức (16) trở thành   gHIHHf tt 1   (17) Chú ý rằng nếu ta đặt  = 0 thì biểu thức này rút rọn thành bộ lọc đảo như biểu thức (10). 16.3.3.2. Bộ lọc tham số Wienner Chúng ta có thể coi f và n như các vec tơ ngẫu nhiên và chọn Q bằng tỷ số nhiễu- tín hiệu 2/12/1 nf RRQ  (18) Trong đó Rf = {fft} và Rn = {nnt} là các ma trận hiệp biến của tín hiệu và nhiễu tương ứng. Khi đó biểu thức (16) trở thành gHRRHHf tnf t 11 )(     (19) Bằng cách giả thiết tính dừng và bất biến dịch, và bằng cách sử dụng ma trận biến đổi Fourier, ta có thể dễ dàng chứng minh rằng biểu thức này dẫn đến bộ lọc tham số Wienner của biểu thức (5). Trong khi  là một tham số có thể điều chỉnh, chú ý rằng với  = 1, ta có bộ lọc Wienner cổ điển đã đề cập trong phần 11.5.2 để tối thiểu hoá độ lệch bình phương trung bình giữa ảnh ban đầu và ảnh khôi phục. Trình bày về đại số tuyến tính trước đây, sử dụng sự tối thiểu hoá của biểu thức (14) với tiêu chuẩn của biểu thức (18) đối với trường hợp hàm mờ bất biến dịc