Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 8: Các phép toán hình học

94 CHƯƠNG 8 CÁC PHÉP TOÁN HÌNH HỌC 8.1 GIỚI THIỆU Các phép toán hình học làm thay đổi mối quan hệ không gian giữa các đối tượng trong ảnh. Những phép toán như thế có thể được xem như di chuyển các vật khắp nơi trong ảnh. Tác đọng này cũng giống như khi in ảnh lên một tấm cao su, kéo giãn tấm cao su đó và ghim nó xuống tại những điểm khác nhau. Thực ra, một phép toán hình học được hiểu theo một nghĩa rộng hơn, bởi vì một điểm bất kỳ trong ảnh đầu vào nào cũng có thể di chuyển đến bất cứ vị trí của ảnh đầu ra. Một phép toán hình học không hạn chế như thế thường làm lộn xộn nội dung ảnh, do đó các phép toán hình học thường được giới hạn để giữ được một trật tự bề ngoài nào đó. Một phép toán hình học yêu cầu phải có hai thuật giải. Trước hết phải có một thuật giải định nghĩa sự biến đổi không gian. Phép toán này định rõ "sự chuyển động" của mỗi điểm ảnh khi nó "di chuyển" từ vị trí ban đầu đến vị trí kết thúc trong ảnh. Phép nội suy mức xám cũng đòi hỏi phải có một thuật giải. Nói chung, phép toán này là cần thiết bởi vì các vị trí x, y nguyên trong ảnh đầu vào ánh xạ đến các vị trí phân số (không nguyên) trong ảnh đầu ra và ngược lại. 8.1.1 Sự biến đổi không gian Trong hầu hết các ứng dụng, người ta thường mong muốn bảo toàn tính liên tục của các đặc tuyến cong tuyến tính (curvilinear) và sự kết nối của các đối tượng trong ảnh. Một thuật giải biến đổi không gian ít hạn chế hơn có thể làm đứt đoạn các đường và các đối tượng và có khuynh hướng "làm bắn tung toé" nội dung ảnh. Người ta có thể hoàn toàn xác định được sự di chuyển của mỗi điểm ảnh trong ảnh, nhưng nó sẽ nhanh chóng trở nên khó di chuyển, thậm chí với cả những ảnh nhỏ. Để thuận tiện hơn thì ta nên xác định chính xác mối quan hệ không gian giữa các điểm trong ảnh vào và các điểm trong ảnh ra. Định nghĩa chung cho một phép toán hình học là )],(),,([)','(),( yxbyxafyxfyxg  (1) trong đó f(x,y) là ảnh đầu vàu và g(x,y) là ảnh đầu ra. Các hàm a(x,y) và b(x,y) xác định sự biến đổi không gian duy nhất. Nếu các hàm này liên tục thì tính liên kết trong ảnh sẽ được bảo toàn. 8.1.2 Phép nội suy mức xám (Gray-Level Interpolation) Yêu cầu thứ hai đối với một phép toán hình học là một thuật giải cho phép nội suy các giá trị mức xám. Trong ảnh đầu vào f(x,y), các giá trị mức xám chỉ được xác định tại các giá trị tích phân của x và y. Tuy nhiên, biểu thức (1) nói chung sẽ chỉ ra rằng giá trị mức xám đối với ảnh g(x,y) có được từ các vị trí phân số (không nguyên) kết hợp của ảnh f(x,y). Nếu một phép toán hình học được xem là một ánh xạ từ f sang g, thì các điểm ảnh trên f có thể ánh xạ tới các vị trí giữa các điểm ảnh trên g và ngược lại. Với mục đích của phần thảo luận này,chúng ta quy định rằng các điểm ảnh phải được định vị chính xác tại các tạo độ giao nhau của lưới lấy mẫu (sampling grid). 95 Để nói về sự biến đổi không gian và một thuật giải chophép nội suy mức xám, chúng ta sẽ thực hiện một phép toán hình học. Thông thường, một thuật giải nội suy mức xám được cài đặt cố định trong chương trình máy tính. Tuy nhiên, thuật giải xác định sự biến đổi không gian được định rõ duy nhất cho công việc sắp tới. Bởi vì thuật giải nội suy mức xám luôn giống nhau, hoặc một trong nhiều tuỳ chọn, nên sự biến đổi không gian là sự biến đổi không gian định nghĩa phép toán hình học cụ thể. 8.1.3 Sự thực hiện Khi thực hiện một phép toán hình học, ta có thể đi theo một trong hai hướng trên. Ta có thể xem phép toán đó như là việc chuyển các mức xám từ ảnh đầu vào sang ảnh đầu ra, lần lượt từng điểm ảnh một. Nếu một điểm ảnh đầu vào ánh xạ đến một vị trí giữa bốn điểm ảnh đầu ra, thì mức xám của nó là một trong bốn điểm ảnh ra này, tuỳ thuộc vào quy tắc của phép nội suy. Chúng ta gọi nó là cách tiếp cận mang điểm ảnh sang (pixel carry-over) hay ánh xạ tiến (forward mapping). (Xem hình 8-1.) Một sự thực hiện luân phiên, và hiệu quả hơn, được hoàn thành nhờ thuật giải lấp đầy điểm ảnh (pixel filling) hay ánh xạ lùi (backward mapping). Trong trường hợp này, các điểm ảnh đầu ra được ánh xạ ngược lại thành ảnh đầu vào, từng điểm ảnh một, để thiết lập các mức xám của chung. Nếu một điểm ảnh ra nằm giữa bốn điểm ảnh vào thì mức xám của nó được xác định bằng phép nội suy mức xám (Hình 8-1). Sự biến đổi không gian lùi là nghịch đảo của biến đổi tiến. Thuật giải ánh xạ lùi có phần lãng phí, bởi vì nhiều điểm ảnh vào có thể ánh xạ đến các vị trí bên ngoài ảnh đầu ra. Hơn nữa, mỗi điểm ảnh ra có thể được đánh địa chỉ vài lần, cùng với các điểm ảnh đầu vào tập trung thành giá trị mức xám cuối cùng của nó. Nếu sự biến đổi không gian bao gồm cả sự thu nhỏ thì có thể có nhiều hơn bốn điểm ảnh đầu vào cùng tham gia. Nếu có sự phóng to thì tất nhiên một số điểm ảnh đầu ra sẽ bị mất khi không có điểm ảnh đầu vào nào ánh xạ đến các vị trí gần chúng. Tuy nhiên, thuật giải ánh xạ lùi tạo ra ảnh đầu ra theo từng điểm ảnh một, từng dòng một. Mức xám của mối điểm ảnh được xác định duy nhất bởi một bước nội suy giữa bốn điểm ảnh (đa số là như vậy). Dĩ nhiên, ảnh đầu vào phải được truy cập một cách ngẫu nhiên theo một cách mà được xác định bâừng sự biến đổi không gian, và việc này có thể rất phức tạp. Tuy nhiên, cách tiếp cận lấp đầy điểm ảnh là thuật giải thực tiễn hơn đối với công dụng chung. HÌNH 8-1 Hình 8-1 Chuyển điểm ảnh 96 8.2 PHÉP NỘI SUY MỨC XÁM Vì những điểm ảnh đầu ra ánh xạ đến những vị trí phân số trong ảnh đầu ra, cho nên chúng thường rơi vào khoảng giữa bốn điểm ảnh vào. Như vậy phép nội suy là cần thiết để xác định mức xám nào sẽ tương ứng với vị trí đó. 8.2.1 Phép nội suy lân cận gần nhất (Nearest Neighbor) Sơ đồ nội suy đơn giản nhất được gọi là nội suy bậc không (zero order), hay lân cận gần nhất (nearest neighbor). Trong trường hợp này, mức xám của điểm ảnh đầu ra được lấy bằng mức xám của điểm ảnh đầu vào nằm gần nhất mà điểm ảnh ra ánh xạ sang. Phép nội suy này tính toán đơn giản và tạo ra những kết quả có thể chấp nhận trong nhiều trường hợp. Tuy nhiên, phép nội suy lân cận gần nhất có thể cho ra những đồ tạo tác (ý muốn nói là trông ảnh như phiến đá tạc của người cổ) trong những ảnh mang cấu trúc tinh vi, với mức xám thay đổi đáng kể từ điểm ảnh này sang điểm khác. Hình 8-2 đưa ra một ví dụ các ảnh quay bằng phép nội suy lân cận gần nhất, với kết quả bị hiệu ứng răng cưa ở một cạnh nào đó. 8.2.2 Phép nội suy song tuyến tính (Bilinear Interpolation) Phép nội suy bậc thứ nhất (first-order), hay song tuyến tính (binear) mang lại kết quả mong muốn hơn phép nội suy bậc không, mà việc lập trình chỉ hơi phức tạp và tốn thời gian một chút. Vì việc tạo một mặt phẳng đi qua bốn điểm là vấn đề quá khó khăn, phép nội suy bậc một trên hệ toạ độ vuông góc đòi hỏi phải có hàm song tuyến tính. Đặt f(x,y) là hàm hai biến đã biết tại đỉnh của hình khối vuông góc. Giả sử ta muốn thiết lập phép nội suy giá trị hàm f(x,y) tại một điểm tuỳ ý nằm bên trong hình vuông (Hình 8-3). Chúng ta cũng có thể thực hiện như vậy bằng sự điều chỉnh hyperbolic paraboloic, xác định bởi biểu thức song tuyến tính dcxybyaxyxf ),( (2) đi qua bốn giá trị đã biết. Bốn hệ số, a đến d, được chọn để cho hàm f(x,y) điều chỉnh các giá trị đã biết tại bốn góc. Có một thuật giải đơn giản hơn để tạo ra một hàm nội suy song tuyến tính mà có thể điều chỉnh hàm f(x,y) tại các góc. Trước hết, chúng ta nội suy tuyến tính giữa hai điểm phía trên để thiết lập giá trị của )]0,0()1,0([)0,0()0,( ffxfxf  (3) Tương tự cho hai điểm ở phía dưới )]1,0()1,1([)1,0()1,( ffxfxf  (4) Cuối cùng, chúng ta nội suy tuyến tính theo phương thẳng đứng để xác định giá trị của )]0,()1,([)0,(),( xfxfyxfyxf  (5) Thay biểu thức (3) và (4) vào biểu thức (5), khai triển, ta được )0,0()]0,1()1,0()0,0()1,1([ )]0,0()1,0([)]0,0()0,1([),( fxyffff yffxffyxf   (6) 97 nó có cùng dạng với biểu thức (2) và vì thế nó là song tuyến tính. Khi thay vào,krõ ràng là biểu thức (6) điều chỉnh bốn giá trị đã biết của f(x,y) tại các góc của khối vuông góc. Lưu ý rằng nếu chúng ta cho x hoặc y là hằng số (không đổi) thì biểu thức (2) trở thành tuyến tính theo biến khác. Điều này làm sáng tỏ rằng hyperbolic paraboloic là một bề mặt giới hạn hai chiều; có nghĩa là nó cắt tất các mặt phẳng song song với mặt phẳng xz và tất cả các mặt phẳng song song với mặt phẳng yz theo một đường thẳng. Phép nội suy song tuyến tính có thể được thực hiện trực tiếp bằng biểu thức (6), hoặc thực hiện phép nội suy tam tuyến tính (triple linear) cho bởi biểu thức (3), (4) và (5). Vì biểu thức (6) bao gồm bốn phép nhân và tám phép cộng hoặc trừ nên các chương trình biến đổi hình học đặc thù được thực hiện sau, và nó chỉ yêu cầu ba phép nhân và sáu phép cộng hoặc trừ. Khi bốn điểm ảnh lân cận liền kề được nội suy bằng biểu thức song tuyến tính, bề mặt thu được phù hợp về độ rộng tại các đường biên lân cận, nhưng không phù hợp với độ nghiêng. Vì thế, một bề mặt được tạo bởi phép nội suy song tuyến tính là liên tục, nhưng nói chung đạo hàm của nó là không liên tục tại các biên lân cận. 8.2.3 Phép nội suy bậc cao hơn (Higher Order) Trong các phép toán hình học, hiệu ứng làm trơn (smoothing effect) của phép nội suy mức xám song tuyến tính có thể làm suy giảm những chi tiết sắc xảo trong ảnh, đặc biệt là khi phóng to. Trong các ứng dụng khác, những điểm gián đoạn độ nghiêng của phép nội suy song tuyến tính có thể tạo ra những kết quả không mong muốn. Trong cả hai trường hợp trên, những kết quả tính toán thêm của phép nội suy bậc cao hơn có thể được chứng minh là đúng. Một hàm tương tự, nhưng phức tạp hơn, biểu thức (2) và có nhiều hơn bốn hệ số được thực hiện để điều chỉnh thông qua một trong các điểm lân cận. Nếu số hệ số bằng với số điểm thì có thể tạo ra một bề mặt nội suy để điều chỉnh tại từng điểm. Nếu số điểm lớn hơn số hệ số, một thủ tục điều chỉnh đường cong hay tối thiểu hoá lỗi sẽ được sử dụng. Các ví dụ về các hàm nội suy bậc cao hơn là các khối lập phương, các hàm Legendre tập trung và hàm sin(x)/x. Hàm sau cùng đã được đề cập đến trong các chương trước. Phép nội suy bậc cao hơn thường được thực hiện bằng phép nhân chập. Phần 2 của tài liệu này sẽ đè cập đến điều này. 8.3 PHÉP BIẾN ĐỔI KHÔNG GIAN Biểu thức (1) cho ta công thức tổng quát về phép biến đổi không gian. Chúng ta cần phải xem xét một số trường hợp đặc biệt ít phức tạp hơn trước khi đi vào các phép toán hình học chung. 8.3.1 Các phép biến đổi đơn giản Nếu ta đặt yyxbxyxa  ),(),( (7) vào biểu thức (1), ta sẽ có phép toán số học, mà chie đơn thuần là sao chép f sang g không không thay đổi gì cả Nếu ta đặt 00 ),(),( yyyxbxxyxa  (8) 98 chúng ta sẽ có phép toán biến đổi, mà trong đó điểm x0,y0 được tịnh tiến về gốc toạ độ và các đặc điểm bên trong ảnh được chuyển đi một lượng 20 2 0 yx  . Dùng công thức được là phối hợp đồng đều (homogeneous coordinate), chúng ta có thể xem mặt phẳng x-y là mặt phẳng z = 1 của không gian x, y, z ba chiều và viết lại biểu thức (8) dưới dạng mảtận như sau                                1100 10 01 1 ),( ),( 0 0 y x y x yxb yxa (9) Đặt dyyxbcxyxa /),(/),(  (10) sẽ phóng to ảnh với hệ ssó c theo hướng x và hệ số d theo hướng y. Gốc toạ độ của ảnh (thường là góc trên-trái) vẫn giữ nguyên khi nảh được “mở rộng”. Theo sự phối hợp đồng đều, biểu thức (10) được viết lại như sau                                      1100 10 01 1 ),( ),( 0 0 y x y d x c yxb yxa (11) Đặt c = -1 ta được sự lệch hướng theo trục y, yyxbxyxa  ),(),( (12) và tương tự với d và trục x. Cuói cùng, đặt )sin()cos(),(  yxyxa  (13) và )cos()sin(),(  yxyxb  (14) tạo ra một (cw rotation through) quay một góc  quanh gốc toạ độ. Biểu thức này có thể được viết theo toạ độ đồng nhất như sau                                 1100 0)cos()sin( 0)sin()cos( 1 ),( ),( y x yxb yxa   (15) Rõ ràng chúng ta có thể kết hợp phép tịnh tiến với phép phóng đại để tạo ra ảnh "lớn thêm" một điểm nữa trừ gốc toạ độ. Cũng tương tự, chúng ta có thể kết hợp phép tịnh tiến với phép quay để tạo ra phép quay quanh một điểm tuỳ ý. Toạ độ đồng nhất cung cấp một cách tương tự để xác định công thức cho các phép tịnh tiến phức hợp. Ví dụ, phép quay xung quanh điểm x0, y0 được thực hiện bởi công thức 99                                                       1100 10 01 100 0)cos()sin( 0)sin()cos( 100 10 01 1 ),( ),( 0 0 0 0 y x y x y x yxb yxa   (16) Trước tiên ảnh được tịnh tiến sao cho điểm x0, y0 trùng gốc toạ độ, sau đó được quay với góc , và sau đó được tịnh tiến về lại gốc ban đầu của nó. Thực hiện nhân biểu thức (16) cho ra một phương trình tịnh tiến gần đúng. Các phép tịnh tiến khác cũng có thể được xây dựng tương tự. Trong cấu trúc vế phải của biểu thức, phép toán được thực hiện từ trái sang phải. Thực hiện tách rời (Separable Inplementations). Nếu một ảnh được đưa ra đẻ quay hay phóng to [biểu thức (11)], thì các toạ độ điểm ảnh ra a(x,y) và b(x,y) chỉ phụ thuộc vào x và y tương ứng. Vì thế, có khả năng, và đôi khi cúng hiệu quả hơn, để thực hiện phép toán trong hai bước. Ví dụ, đầu tiên là thực hiện theo chiều ngang, tạo ra một ảnh trung gian. Sau đó thực hiện theo chiều dọc, sử dụng ảnh trung gian như đầu vào của nó để tạo ra kết quả cuối cùng. Catmull và Smith đã cho thấy là có khả năng để thực hiện một phép quay theo thủ tục hai bước tương tự. Giải biểu thức (13) theo x ta được )cos( )sin(),(  yyxax  (17) và thay vào biểu thức (14) dẫn đến )cos( )sin(),(),(   yyxayxb  (18) Vì thế, chúng ta có thể sử dụng biểu thức (13), biểu thức tuyến tính trong x theo dòng quét bất kỳ, theo phép kết hợp với b(x,y) = y trong phần đầu (chỉ có chiều ngang) của phép toán. Sau đó chúng ta có thể dùng biểu thức (18), biểu thức tuyến tính trong y theo cột bất kỳ với a(x,y) = x trong phần hai (chỉ có chiều dọc) của phép toán. Trong phép quay loại này, các đặc điểm của ảnh được "nén" theo chiều x bởi hệ số cos() ở bước thứ nhất, và sau đó được "bung" theo chiều y bởi hệ số sin() ở bước thứ hai. Kỹ thuật này sẽ không có kết quả với những góc là bội của 900, khi đó cosin sẽ bằng 0, và sai số sẽ hạn chế trong những góc nhỏ hơn. Đối với những ứng dụng ghi lại ảnh, góc quay yêu cầu thường nhỏ. Thậm chí điều này không phải như vậy, phép quay với góc bôi của 900 vẫn có thể thực hiện bằng cách hoán đổi hàng và cột đơn giản. Vì thế, có thể quay một ảnh theo một góc bất kỳ trong khi vẫn giữ góc quay thực sự giữa +450 và -450 và hệ số nén không nhỏ hơn 0.707. Sau đó, với giới hạn này phép tịnh tiến, phóng đại và quay có các phép thực hiên một chiều. 8.3.2 Các phép biến đổi chung Đối với các phép biến đổi không gian đơn giản có liên quan, việc sử dụng một biểu thức giải tích cho biểu thức (1) có thể là thiết thực. Tuy nhiên, trong nhiều ứng dụng xử lý ảnh, phép biến đổi không gian mong muốn có quan hệ phức tạp và không tuân theo một biểu thức toán học thích hợp nào. Hơn thế nữa, phép tịnh tiến điển ảnh thường thu được từ kích thước thực sự của ảnh và nó xác định rõ phép toán hình học trong các số hạng này chứ không phải trong một dạng hàm nào đó. Một ví dụ là sự điều chỉnh hình học của một ảnh thu bằng camera bị biến dạng hình học. Đầu tiên, một tấm lưới hình chữ nhật được số và hiển thị. Bởi vì sự biến dạng hình 100 học trong camera cho nên mô hình lưới được hiển thị sẽ không chính xác là hình chữ nhật (Xem hình 8-4). Phép biến đổi không gian cần có ở đây là làm cho mô hình lưới thành hình chữ nhật trở lại, bằng cách đó ta sẽ hiệu chỉnh được độ biến dạng do camera gây ra. Sau đó cùng một phép biến đổi không gian này có thể sử dụng trên ảnh tiếp theo được số hoá trên cùng một camera (giả thiết rằng sự biến dạng không phụ thuộc vào cảnh), bằng cách đó ta có thể tạo ra ảnh không biến dạng. HÌNH 8-4 Hình 8-4 Điều chỉnh hình học của một camẻa trên tàu vũ trụ Ranger trước đây, (a) trước điều chỉnh, (b) sau điều chỉnh 8.3.3 Xác định rõ bằng các điểm hiệu chỉnh (Specification by Control Points) Thật là thuận lợi nếu xem phép biến đổi không gian như một chuỗi các giá trị dịch chuyển cho các điểm hiệu chỉnh (control points) được chọn trong ảnh. Bở vì chỉ một phần nhỏ các điểm ảnh được chỉ rõ thực sự, dịch chuyển của những điểm không hiệu chỉnh phải được xác định bằng nội suy. Có một cách để thực hiện điều này, đó là khai triển các biểu thức hàm theo a(x,y) và b(x,y) trong biểu thức (1). Thông thường, một đa thức được sử dụng như dạng tổng quát của biểu thức biến đổi. Các tham số của nó được chọn để làm cho nó phù hợp với các điểm hiệu chỉnh và độ dịch chuyển cho trước của chúng. Điều này gọi là làm cong đa thức (polynominal warping). Nó cần thiết việc sử dụng các đa thức từ bậc năm trở xuống đối với hàm biến đổi. Trong nhiều trường hợp, giới hạn làm cong đa thức sẽ không chứa đựng phép toán phức tạp. Vì thế, một vài chương trình đối với các phép toán hình học phân rã ảnh thành những miền đa thức và sử dụng các hàm ánh xạ song tuyến tính piecewise. Người sử dụng định rõ một lưới hiệu chỉnh đầu vào từ các điểm hiệu chỉnh tạo thành những đỉnh của những tứ giác kề nhau trong ảnh vào. Lưới hiệu chỉnh đầu vào ánh xạ đến một lưới bên cạnh, hình chữ nhật nằm ngang trong ảnh ra. Các đỉnh (các điểm hiệu chỉnh đầu vào) của tứ giác ánh xạ trực tiếp đến các đỉnh của hình chữ nhật tương ứng. Tương tự, các điểm bên trong một tứ giác đầu vào ánh xạ đến những điểm bên trong hình chữ nhật đầu ra tương ứng. 101 HÌNH 8-5 Hình 8-5 Ánh xạ không gian của các điểm hiệu chỉnh 8.3.4 Làm cong đa thức (Polynominal Warping) Nếu số các số hạng trong đa thức phù hợp với số các điểm hiệu chỉnh, thì sau đó phép biến đổi có thể được thiết kế để ánh xạ chính xác đến những điểm hiệu chỉnh cho trước. Giải bài toán theo hệ số đa thức trở thành một bài tập trong các phương trình tuyến tính, và phép nghịch đảo ma trận thường sẽ tao ra những kết quả yêu cầu. (Xem phần 19.5.2) Tuy nhiên, nếu các điểm hiệu chỉnh nhiều hơn các số hạng trong đa thức thì ta pải sử dụng một thủ tục điều chỉnh để xác định các hệ số của đa thức. Trong trường hợp này, phép biến đổi không gian là thích hợp nhất để định rõ điểm hiệu chỉnh và sự ánh xạ các điểm hiệu chỉnh riêng lẻ không xảy ra chính xác như đã chỉ rõ. Những kỹ thuật cho sự điều chỉnh hàm một và hai chiều phù hợp với tập các dữ liệu điểm đã cho được đề cập đến trong phần 19.5. Kỹ thuật giả nghịch đảo (pseudoinverse) (phần 19.5.2, phụ lục 3) cho việc xác định các hệ số của hàm điều chỉnh phổ biến nhất sử dụng cho việc làm cong đa thức. Các phương pháp số học khác, như phép phân tích giá trị duy nhất và phép phân tích trực chuẩn (orthonormal) có thể chứng minh tốt hơn trong thực tế. Trước đây các hệ số của đa thức đã được xác định, thì sự thực hiện cũng giống như trước. Tuy nhiên, các phương pháp số học như sơ đồ lồng nhau của Horner, sơ đồ này có thể rút bớt số các bước tính toán yêu cầu. Dù có đúng như thế thì các công việc có thể trở nên kinh khủng khi thực hiện các trạng thái cong bậc cao trên ảnh lớn. 8.3.5 Phép nội suy lưới hiệu chỉnh (Coltrrol Grid Interpolation) Nếu việc làm cong đa thức (polynominal warping) là không thiết thực thì ảnh phải được làm cong từng phần. Trong phép nội suy phổ biến nhất, các điểm hiệu chỉnh đầu vào tạo thành một lưới, mà lưới này sẽ ánh xạ đén lưới tiếp bên cạnh, hình chữ nhật nằm ngang trong ảnh ra, như trong hình 8-5. Đa giác hiệu chỉnh đầu vào ánh xạ đến các đỉnh của hình chữ nhật tư