Bài giảng Xử lý tín hiệu số chương 1: Tín hiệu và hệ thống rời rạc

Chương I: TÍN HIỆU & HỆ THỐNG RỜI RẠC XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 2009 Nội dung  Tín hiệu rời rạc  Phân loại tín hiệu rời rạc  Biến đổi tín hiệu  Tích chập và tương quan của tín hiệu  Hệ thống rời rạc  Phân loại hệ thống rời rạc  Hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc Tín hiệu rời rạc  Biểu diễn tín hiệu rời rạc: Lấy mẫu từ tín hiệu liên tục: tín hiệu liên tục x(n) (−∞ < n < +∞) được lấy mẫu với chu kỳ T → dãy tín hiệu lấy mẫu {x(nT) | n ∈ Z}, còn gọi là tín hiệu rời rạc x(n). Tín hiệu rời rạc x(n) có thể biểu diễn bằng một biểu thức của n, một chuỗi giá trị, hay bằng đồ thị… Các dạng tín hiệu cơ bản  Tín hiệu xung đơn vị   ≠ = = )0(0 )0(1 )( n n nδ  Tín hiệu nhảy bậc đơn vị   < ≥ = )0(0 )0(1 )( n n nu Các dạng tín hiệu cơ bản  Tín hiệu chữ nhật   ≥∨< −≤≤ = )0(0 )10(1 )(rect Nnn Nn nN  Tín hiệu dốc   < ≥ = )0(0 )0( )( n nn nr Các dạng tín hiệu cơ bản  Tín hiệu hàm mũ thực Ra n na ne n ∈   < ≥ = )0(0 )0( )(  Tín hiệu hàm mũ phức   < ≥ = + )0(0 )0( )( )( n ne nx njωσ Các dạng tín hiệu cơ bản  Tín hiệu dạng sin thực ω: tần số góc s n=cos n Phân loại tín hiệu rời rạc  Tín hiệu tuần hoàn (chu kỳ N): ∀n: x(n) = x(n+N)  Đối xứng: ∀n: x(n) = x(−n)  Phản đối xứng: ∀n: x(n) = −x(−n)  Tín hiệu chiều dài hữu hạn: số phần tử khác 0 là hữu hạn. Phân loại tín hiệu rời rạc  Tín hiệu năng lượng: năng lượng (E) của tín hiệu hữu hạn ∞<= ∑+ ∞ − ∞=n nxE 2|)(|  Tín hiệu công suất: công suất trung bình (P) của tín hiệu hữu hạn ∞< + = ∑+ −= ∞→ N NnN nx N P 2|)(| 12 1lim Biến đổi tín hiệu  Cộng tín hiệu y(n) = x1(n) + x2(n)  Nhân tín hiệu y(n) = x1(n) × x2(n)  Nhân tỷ lệ y(n) = Kx(n) Biến đổi tín hiệu  Đổi biến n → n−n0: trễ n → −n: lật n → kn (k ∈ N): giảm tốc (giảm tần số lấy mẫu) Tích chập  Tích chập của 2 tín hiệu x(n) và h(n) được định nghĩa như sau:  Cách tính tích chập bằng đồ thị: xem NQTrung, trang 23-28. ∑+ ∞ − ∞= −=∗ k knhkxnhnx )()()()( Các tính chất của tích chập  Giao hoán: x(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ x(n)  Kết hợp: x(n) ∗ y(n) ∗ h(n) = x(n) ∗ [y(n) ∗ h(n)]  Phân phối: [x(n) + y(n)] ∗ h(n) = x(n) ∗ h(n) + y(n) ∗ h(n) Tương quan  Tương quan của 2 tín hiệu là một hàm của độ trễ thể hiện mức độ tương tự của 2 tín hiệu.  Hàm tương quan chéo của 2 tín hiệu có năng lượng hữu hạn x(n) và y(n) được định nghĩa như sau: )()()()()( nynxnkykxnr k xy −∗=−= ∑+ ∞ − ∞= Tương quan  Hàm tự tương quan của tín hiệu có năng lượng hữu hạn x(n): ∑+ ∞ − ∞= −= k xx nkxkxnr )()()( Tính chất của tương quan  Cho 2 tín hiệu có năng lượng hữu hạn x(n) và y(n), ta có:  Các hàm tương quan chuẩn hóa: yxyyxxxy EErrnr =≤ )0()0(|)(| 1|)(|)0(/)()( 1|)(| )0()0( )( )( ≤→= ≤→= nprnrnp np rr nr np xxxxxxxx xy yyxx xy xy Tính chất của tương quan  Các hàm tương quan của 2 tín hiệu công suất x(n) và y(n): ∑ ∑ + −= ∞→ + −= ∞→ − + = − + = N NkN xx N NkN xy nkxkx N nr nkykx N nr )()( 12 1lim)( )()( 12 1lim)( Tính chất của tương quan  Các hàm tương quan của 2 tín hiệu tuần hoàn chu kỳ N, x(n) và y(n): ∑ ∑ − = − = −= −= 1 0 1 0 )()(1)( )()(1)( N k xx N k xy nkxkx N nr nkykx N nr Hệ thống rời rạc  Định nghĩa: hệ thống theo thời gian rời rạc, nghĩa là thiết bị hay thuật toán thực hiện các phép xử lý trên tín hiệu rời rạc.  Một số ví dụ: y(n) = x(n): hệ thống định danh y(n) = x(n−n0): hệ thống trễ y(n) = …+ x(n−2) + x(n−1) + x(n): bộ cộng dồn y(n) = y(n−1) + x(n): hệ thống đệ quy Phân loại hệ thống rời rạc  Hệ thống tĩnh và hệ thống động: Hệ thống tĩnh (không bộ nhớ): tín hiệu ra chỉ phụ thuộc tín hiệu vào tại cùng thời điểm. Hệ thống động (có bộ nhớ): tín hiệu ra tại thời điểm n phụ thuộc các giá trị của tín hiệu vào tại các thời điểm từ n−N tới n (nếu N hữu hạn → hệ thống có bộ nhớ hữu hạn, nếu N = ∞ → hệ thống có bộ nhớ vô hạn). Phân loại hệ thống rời rạc  Hệ thống bất biến và hệ thống biến đổi theo thời gian: Hệ thống bất biến: quan hệ vào-ra không thay đổi theo thời gian (nghĩa là không phụ thuộc vào điểm được chọn làm mốc thời gian). Hệ thống biến đổi: quan hệ vào-ra thay đổi theo thời gian. Phân loại hệ thống rời rạc  Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến (chỉ xét hệ thống nghỉ): Hệ thống tuyến tính: ∀a,b ∈ R và các tín hiệu x1(n), x2(n), luôn có T[ax1(n)+bx2(n)] = aT[x1(n)]+bT[x2(n)] Hệ thống phi tuyến: ∃a,b ∈ R và các tín hiệu x1(n), x2(n), sao cho T[ax1(n)+bx2(n)] ≠ aT[x1(n)]+bT[x2(n)] Phân loại hệ thống rời rạc  Hệ thống nhân quả và hệ thống phi nhân quả: Hệ thống nhân quả: tín hiệu ra tại một thời điểm chỉ phụ thuộc vào các giá trị của tín hiệu vào từ cùng thời điểm đó trở về trước. Hệ thống phi nhân quả: tín hiệu ra tại một thời điểm có thể phụ thuộc vào cả giá trị tương lai của tín hiệu vào. Phân loại hệ thống rời rạc  Hệ thống ổn định và hệ thống không ổn định: Hệ thống ổn định: tín hiệu ra của hệ thống có giới hạn hữu hạn nếu tín hiệu vào có giới hạn hữu hạn. ∀n: |x(n)| < ∞ → ∀n: |y(n)| < ∞ Hệ thống không ổn định: nếu không thỏa mãn điều kiện trên. Rời rạc hóa hệ thống liên tục  Biểu diễn hệ thống bằng phương trình vi phân thích hợp với các hệ thống xử lý tín hiệu liên tục → hệ thống liên tục (tương tự).  Hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc → hệ thống rời rạc.  Biểu diễn toán học của hệ thống rời rạc có thể thiết lập từ biểu diễn của hệ thống liên tục tương ứng. Rời rạc hóa dựa trên phương pháp đạo hàm số  Ví dụ: một hệ thống liên tục được biểu diễn bằng phương trình vi phân sau dy(t)/dt + ay(t) = bx(t)  Xấp xỉ đạo hàm bằng công thức: dy(nT)/dt ≈ [y(nT) − y(nT−T)]/T → thu được biểu diễn của hệ thống rời rạc với chu kỳ lấy mẫu T: [y(nT) − y(nT−T)]/T + ay(nT) = bx(nT) Hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc  Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc: Quan hệ giữa tín hiệu ra và vào của hệ thống TTBB rời rạc được biểu diễn bằng tích chập: y(n) = x(n) ∗ h(n) Ở đó, h(n) là đáp ứng xung của hệ thống: h(n) = T[δ(n)] → Đặc trưng của hệ thống TTBB rời rạc có thể thể hiện thông qua đáp ứng xung. Hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc  Hệ thống TTBB và tín hiệu nhân quả: Định lý: 1 hệ thống TTBB rời rạc là hệ thống nhân quả khi và chỉ khi ∀n<0: h(n) = 0. Tín hiệu nhân quả: tín hiệu x(n) được gọi là nhân quả nếu ∀n<0: x(n) = 0. Ví dụ: Tín hiệu theo thời gian là nhân quả. Nếu tín hiệu vào một hệ thống nhân quả là tín hiệu nhân quả thì tín hiệu ra cũng là tín hiệu nhân quả. Hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc  Hệ thống và tín hiệu phản nhân quả: Hệ thống TTBB phản nhân quả: ∀n>0: h(n) = 0 Tín hiệu phản nhân quả: ∀n>0: x(n) = 0 Chú ý: phân biệt phản nhân quả và phi nhân quả. Tính ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc  Định lý: một hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc là hệ thống ổn định khi và chỉ khi đáp ứng xung của hệ thống thỏa mãn điều kiện sau ∑+ ∞ − ∞= ∞< n nh )(