Bài giảng Xử lý tín hiệu số chương 4: Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc

Chương IV: BIẾN ĐỔI FOURIER CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 2009 Nội dung  Chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc tuần hoàn  Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn  Các tính chất của biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc  Lấy mẫu tín hiệu Chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc tuần hoàn  Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn x(n) với chu kỳ N:  Các hệ số {ck} được tính bằng công thức: x n=∑ k=0 N−1 ck e j 2 kn N ck= 1 N ∑n=0 N−1 x ne − j 2 knN Phổ mật độ công suất của tín hiệu rời rạc tuần hoàn  Công suất trung bình của tín hiệu rời rạc x(n) tuần hoàn với chu kỳ N:  Công thức Parseval cho tín hiệu công suất rời rạc tuần hoàn: P x= 1 N ∑n=0 N−1 ∣x n∣2∞ P x=∑ k=0 N−1 ∣ck∣ 2 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn  Định nghĩa: biến đổi Fourier của x(n)  Biến đổi Fourier ngược: F [ x n]=X = ∑ n=−∞ ∞ x ne− jn ∈[− ,] x n=F−1∣X ∣= 1 2∫−  X e jnd  Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn  Quan hệ với biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc tuần hoàn ck= 1 N X  2 kN  N ∞ x n= lim N ∞ ∑ k=−N /2 N /2 ck e j 2 kn N = 1 2∫−∞ ∞ X e jnd  Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn  Điều kiện hội tụ: x(n) phải là tín hiệu năng lượng ∑ n=−∞ ∞ ∣x ne− jn∣∞⇔ ∑ n=−∞ ∞ ∣x n∣∣e− jn∣∞ ⇔ ∑ n=−∞ ∞ ∣x n∣∞⇒E x= ∑ n=−∞ ∞ ∣x n∣2∞ Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn  Quan hệ với biến đổi Z: thay z = |z|ejω  Biến đổi Fourier chính là biến đổi Z trên đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Z → biến đổi Fourier tồn tại nếu miền hội tụ của biến đổi Z chứa đường tròn đơn vị. X z =∑ n=−∞ ∞ x n z−n=∑ n=−∞ ∞ x n∣z∣−ne− jn ∣z∣=1⇒ X z =X  Phổ mật độ năng lượng của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn  Xét tín hiệu năng lượng x(n):  Công thức Parseval cho tín hiệu rời rạc không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn: E x= ∑ n=−∞ ∞ ∣x n∣2∞ E x= 1 2∫−  ∣X ∣2d  Phổ mật độ năng lượng của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn  Giá trị |X(ω)|2 có thể coi là đại diện cho năng lượng của thành phần ejωn (tín hiệu dạng sin phức có tần số góc ω) trong tín hiệu x(n).  Đồ thị của |X(ω)|2 theo ω thể hiện phân bố năng lượng của tín hiệu x(n) theo tần số → phổ mật độ năng lượng. Các tính chất của biến đổi Fourier  Tuyến tính:  Dịch thời gian:  Lật: F [ax1nbx2 n]=aX 1bX 2 F [ x n−n0]=e − jn0 X  F [ x −n]=X − Các tính chất của biến đổi Fourier  Biến đổi Fourier của tích chập:  Biến đổi Fourier của tương quan: Sx1x2(ω) được gọi là phổ mật độ năng lượng chéo của 2 tín hiệu x1(n) và x2(n). F [ x1n∗x2n]=X 1X 2 F [r x1 x2n]=X 1 X 2=S x1 x2 F [r xx n]=S xx =∣X ∣ 2 Các tính chất của biến đổi Fourier  Dịch tần số:  Điều chế:  Đạo hàm trong miền Fourier: F [e j0 n x n]=X −0 F [ x ncos0n]= 1 2 [X 0X −0] F [nx n]= j dX  d  Lấy mẫu tín hiệu  Tín hiệu x(t) có năng lượng hữu hạn → bề rộng phổ hữu hạn → tồn tại một tần số cao nhất trong tín hiệu, Fa, nghĩa là: ∀F > Fa thì X(F) = 0.  Rời rạc hóa x(t) với tần số lấy mẫu Fs → x(n). x(t) sẽ được khôi phục chính xác từ x(n) theo công thức sau nếu Fs = 2Fa: x t = ∑ n=−∞ ∞ x n sin 2F a t−n 2F a t−n Lấy mẫu tín hiệu  Định lý lấy mẫu (Shannon): một tín hiệu liên tục có bề rộng phổ hữu hạn với tần số cao nhất (bề rộng phổ) Fa có thể được khôi phục một cách chính xác từ các mẫu của tín hiệu đó nếu tần số lấy mẫu thỏa mãn điều kiện: Fs ≥ 2Fa.  Tần số Fs = 2Fa được gọi là tần số Nyquist. Lấy mẫu tín hiệu  Quan hệ giữa tần số của tín hiệu liên tục và tín hiệu lấy mẫu: xét tín hiệu liên tục x(t) có bề rộng phổ là Fa Nếu Fs = 2Fa: phổ của x(n) trong [−pi,pi] có dạng đúng như phổ của x(t) trong [−Fa,Fa] và lặp lại với chu kỳ 2pi. Nếu Fs > 2Fa: phổ của x(t) trong [−Fa,Fa] được nén vào 1 khoảng bên trong [−pi,pi] và lặp lại với chu kỳ 2pi. Lấy mẫu tín hiệu Nếu Fs < 2Fa: xảy ra hiện tượng chồng phổ (phổ của x(t) trong [−Fa,Fa] bị giãn ra trong 1 khoảng rộng hơn [−pi,pi] nên bị chồng giữa các chu kỳ → phổ bị biến dạng).