Bài soạn lý thuyết & bài tập lớp cao học giải tích – khóa 19 – Cần Thơ

1 BÀI SOẠN LÝ THUYẾT & BÀI TẬP LỚP CAO HỌC GIẢI TÍCH – KHÓA 19 – CẦN THƠ Biện soạn theo giáo trình Topo Đại Cương của PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY (Tài liệu mang ơnh chất tham khảo – hƩp://nguyenchiphuong.WordPress.com) A .LÝ THUYẾT §3. Định lý 1.1: Cho không gian Tôpô (ܺ, ߬) 1. Nếu ܣ ⊂ ܺ có tập con liên thông B trù mật (ܣ ⊂ ܤത) thì A liên thông. 2. Nếu ܣ௜ ⊂ ܺ liên thông ∀݅ ∈ ܫ và ⋂ ܣ௜ ≠ ∅௜∈ூ thì ⋃ ܣ௜௜∈ூ liên thông. 3. Giả sử A có ơnh chất: “hai điểm bất kỳ của A luôn được chứa trong một tập con liên thông của A”. Khi đó A liên thông. 4. Nếu X liên thông và ݂:ܺ → ܺ′ liên tục thì ݂(ܺ) liên thông. Lưu ý:  Theo bổ đề 1.1 thì nếu với mọi ánh xạ bất kỳ đi từ (ܣ, ߬஺) vào ܻ với ܻ = {ݕଵ,ݕଶ} là không gian Tôpô rời rạc mà không liên tục thì tương đương với A là tập liên thông. Do đó ta chỉ đi xét trường hợp một ánh xạ bất kỳ đi từ (ܣ, ߬஺) vào ܻ liên tục và khảo sát sự liên thông của tập A  f là ánh xạ hằng trên A thì A liên thông Chứng minh: Gọi ܻ = {ݕଵ,ݕଶ} là không gian Tôpô rời rạc 1. Nếu ࡭ ⊂ ࢄ có tập con liên thông B trù mật (࡭ ⊂ ࡮ഥ) thì A liên thông. Thật vậy: Xét ánh xạ ݂: (ܣ, ߬஺) → ܻ liên tục. Do ܤ ⊂ ܣ nên ∃݂|஻: (ܤ, ߬஻) → ܻ liên tục, mà ܤ liên thông nên ݂|஻ là ánh xạ hằng trên B ⇒ ݂(ݔ) = ݕଵ ,∀ݔ ∈ ܤ Lại có B trù mật trong A nên ∀ݔ ∈ ܣ ⇒ ݔ ∈ ܤത ⇒ ∃{ݔఈ} ⊂ ܤ: ݔఈ → ݔ Mà ݂ liên tục nên ݂(ݔఈ) → ݂(ݔ),∀ݔ ∈ ܣ (1) Hơn nữa ݂(ݔఈ) = ݕଵ (do ݔఈ ∈ ܤ,∀ߙ) (2) Từ (1) và (2) suy ra ݂(ݔ) = ݕଵ,∀ݔ ∈ ܣ hay ݂ là ánh xạ hằng trên A nên A liên thông 2. Nếu ࡭࢏ ⊂ ࢄ liên thông ∀࢏ ∈ ࡵ và ⋂ ࡭࢏ ≠ ∅࢏∈ࡵ thì ⋃ ࡭࢏࢏∈ࡵ liên thông. Thật vậy: Xét ánh xạ ݂:⋃ ܣ௜௜∈ூ → ܻ liên tục. 2 Hiển nhiên ܣ௜ ⊂ ⋃ ܣ௜௜∈ூ nên ∃݂|஺೔: (ܣ௜ , ߬஺೔) → ܻ liên tục, mà ܣ௜ liên thông nên ta có ݂ là ánh xạ hằng trên mỗi ܣ௜ hay ݂(ܣ௜) = ൤ {ݕଵ} {ݕଶ} ,∀݅ ∈ ܫ (3) Do ⋂ ܣ௜ ≠ ∅௜∈ூ nên ∃ݔ଴ ∈ ⋂ ܣ௜ ௜∈ூ : ݂(ݔ଴) = ݕଵ (4) Từ (3) và (4) suy ra ݂(ܣ௜)= {ݕଵ},∀݅ ∈ ܫ ⇒ ݂(⋃ ܣ௜௜∈ூ )= {ݕଵ} hay f là ánh xạ hằng trên ⋃ ܣ௜௜∈ூ Suy ra ⋃ ܣ௜௜∈ூ liên thông 3. Giả sử A có ơnh chất: “hai điểm bất kỳ của A luôn được chứa trong một tập con liên thông của A”. Khi đó A liên thông. Thật vậy: Cố định ܽ ∈ ܣ khi đó ∀ݔ ∈ ܣ ta gọi ܤ௫ là tập con liên thông của A, chứa ܽ, ݔ ⇒ ܣ = ⋃ ܤ௫௫∈஺ Mặt khác ܽ ∈ ⋂ ܤ௫௫∈஺ nên ⋂ ܤ௫௫∈஺ ≠ ∅ kết hợp với ܤ௫ liên thông Nên áp dụng phần 2 ta có ⋃ ܤ௫௫∈஺ liên thông hay A liên thông 4. Nếu X liên thông và ࢌ:ࢄ → ࢄ′ liên tục thì ࢌ(ࢄ) liên thông. Thật vậy: Xét ánh xạ ݃: ݂(ܺ) → ܻ liên tục khi đó ánh xạ ݃ ∘ ݂:ܺ → ܻ liên tục Ta có X liên thông, ݃ ∘ ݂:ܺ → ܻ liên tục nên ݃ ∘ ݂(ܺ) = ൤ {ݕଵ} {ݕଶ} Mà ݃ ∘ ݂(ܺ) = ݃(݂(ܺ)) nên ݃൫݂(ܺ)൯ = ൤ {ݕଵ} {ݕଶ} ⇒ ݃൫݂(ܺ)൯ là tập một điểm hay ݃ là ánh xạ hằng trên ݂(ܺ) Suy ra ݂(ܺ) liên thông §3. Định lý 2.2: Các mệnh đề sau đây tương đương (i) X là không gian compact (ii) Mọi siêu lưới trong X thì hội tụ (iii) Mọi lưới trong X có lưới con hội tụ Lưu ý:  Họ {ܩ௫:ݔ ∈ ܺ} phủ mở của X compact thì ∃ݔଵ, … , ݔ௡ :ܺ = ⋃ ܩ௫೔௡௜ୀଵ  {ݔఈ} hội tụ ⇔ ∃ݔ ∈ ܺ,∀ܸ ∈ ܷ௫ ,∃ߙ௏: ݐậ݌ {ݔఈ:ߙ ≥ ߙ௏} ⊂ ܸ  Định lý 2.1: X compact ⇔ Mọi họ có tâm gồm các tập đóng trong X thì có giao khác rỗng  Định lí 1.1: Mọi lưới trong X đều có lưới con là siêu lưới Chứng minh:  CM: (݅) ⇒ (݅݅): Cho X là không gian compact. Chứng minh mọi siêu lưới trong X thì hội tụ 3 Thật vậy: Dùng phản chứng: Giả sử tồn tại một siêu lưới {ݔఈ} không hôi tụ Do {ݔఈ} không hội tụ nên ∀ݔ ∈ ܺ,∃ܩ௫ mở chứa x sao cho ∀ߚ thì tập {ݔఈ:ߙ ≥ ߚ} ⊄ ܩ௫ (1) Do {ݔఈ} là siêu lưới nên ∃ߚ௫ sao cho tập {ݔఈ:ߙ ≥ ߚ௫} ⊂ ܩ௫ hoặc {ݔఈ:ߙ ≥ ߚ௫} ⊂ ܺ\ܩ௫ (2) Từ (1) và (2) suy ra ∃ߚ௫ sao cho tập {ݔఈ:ߙ ≥ ߚ௫} ⊂ ܺ\ܩ௫ (3) Mặt khác họ {ܩ௫: ݔ ∈ ܺ} phủ mở của X compact nên ∃ݔଵ, … , ݔ௡:ܺ = ⋃ ܩ௫೔௡௜ୀଵ Chọn ߙ ≥ ߚ௫೔ ,∀݅ = 1,݊തതതതത thì ݔఈ ∉ ܩ௫೔,∀݅ = 1,݊തതതതത (do 3) Suy ra ݔఈ ∉ ⋃ ܩ௫೔ ௡ ௜ୀଵ = ܺ (vô lý)  CM: (݅݅) ⇒ (݅݅݅): Cho mọi siêu lưới trong X thì hội tụ. Chứng minh mọi lưới trong X có lưới con hội tụ Thật vậy: Áp dụng định lí 1.1: mọi lưới trong X đều có lưới con là siêu lưới mà theo giả thiết cho mọi siêu lưới trong X thì hội tụ nên hiển nhiên lưới con đó hội tụ  CM: (݅݅݅) ⇒ (݅): Cho mọi lưới trong X có lưới con hội tụ. Chứng minh X compact Thật vậy: Xét họ các tập đóng {ܨ௜: ݅ ∈ ܫ} có ơnh giao hữu hạn. Đặt ܣ = {ܬ ⊂ ܫ: ܬ ℎữݑ ℎạ݊}. Ta xét thứ tự ܬଵ ≤ ܬଶ ⇔ ܬଵ ⊂ ܬଶ Lập lưới {ݔ௃: ܬ ∈ ܣ} sao cho ݔ௃ ∈ ⋂ ܨ௜௜∈௃ và gọi {ݕఉ} là lưới con của {ݔ௃} hội tụ về a Ta chứng minh ࢇ ∈ ⋂ ࡲ࢏࢏∈ࡵ Cố định ݅଴ ∈ ܫ do {ݕఉ} là lưới con của {ݔ௃} nên ∃ߚ଴: ∀ߚ ≥ ߚ଴⟹ ݕఉ = ݔ௃ với ܬ ≥ {݅଴} Suy ra ݕఉ ∈ ⋂ ܨ௜ ⊂ ܨ௜బ௜∈௃ Vậy lưới {ݕఉ:ߚ ≥ ߚ଴} ⊂ ܨ௜బ, hội tụ về a nên ܽ ∈ ܨ௜బ. Mà ݅଴ là lấy bất kỳ trong ܫ nên ܽ ∈ ⋂ ܨ௜௜∈ூ Hay ⋂ ܨ௜௜∈௃ ≠ ∅ Vậy mọi họ có tâm gồm các tập đóng {ܨ௜: ݅ ∈ ܫ} trong X có giao khác rỗng nên X compact §5. Mệnh đề 3.1: Nếu f liên tục đều thì f liên tục đối với Tôpô sinh bởi cấu trúc đều Lưu ý:  {ܸ[ݔ]:ܸ ∈ ࣩ} là cơ sở lân cận của điểm ݔ trong tôpô sinh bởi ࣩ hay ܸ[ݔ] là lân cận của điểm ݔ trong tôpô sinh bởi ࣩ 4 Chứng minh: Ghi ra điều cần CM: Chứng minh ݂ liên tục đối với tôpô sinh bởi cấu trúc đều ⇔ ܺéݐ ܽ ∈ ܺ, cho {ܹ[݂(ܽ)]:ܹ ∈ ࣩ௒]} là cơ sở lân cận ݂(ܽ) trong tôpô sinh bởi ࣩ௒ Ta chứng minh ݂ିଵ(ܹ[݂(ܽ)]) là lân cận của ܽ trong tôpô sinh bởi ࣩ௑ Thật vậy: Xét ܽ ∈ ܺ. Theo giả thiết cho f liên tục đều ⇔ ∀ܹ ∈ ࣩ௒ ⇒ ܨିଵ(ܹ) ∈ ࣩ௑ Suy ra {ܨିଵ(ܹ)[ܽ]: ܨିଵ(ܹ) ∈ ࣩ௑} là cơ sở lân cận của ܽ trong tôpô sinh bởi ࣩ௑ hay ܨିଵ(ܹ)[ܽ] lân cận của ܽ trong tôpô sinh bởi ࣩ௑ (1) Lại có: ݂ିଵ(ܹ[݂(ܽ)]) = {ݔ:݂(ݔ) ∈ ܹ[݂(ܽ)]} = {ݔ: (݂(ܽ),݂(ݔ)) ∈ ܹ} = {ݔ: (ܽ,ݔ) ∈ ܨିଵ(ܹ)} = ܨିଵ(ܹ)[ܽ] (2) Từ (1) và (2) suy ra ݂ିଵ(ܹ[݂(ܽ)]) là lân cận của ܽ trong tôpô sinh bởi ࣩ௑ (đpcm) §5. Định lý 3.1: Cho các không gian đều là (ܺ,ࣩ௑), (ܻ,ࣩ௒) và ánh xạ ݂:ܺ → ܻ thỏa mãn; 1. X với tôpô sinh bởi ࣩ௑ là ଶܶ- không gian compact 2. f liên tục Khi đó f liên tục đều Lưu ý:  ݕ ∈ ܸ[ݔ] ⇒ (ݔ,ݕ) ∈ ܸ  Lưới {(ݔᇱఉ, ݕᇱఉ)} là lưới con của lưới {(ݔ௏,ݕ௏)} (định nghĩa trong cấu trúc đều) ⇔ ∀ܸᇱ ∈ ࣩ௑, ∃ߚ଴:∀ߚ ≥ ߚ଴ ⇒ ቀݔᇱఉ ,ݕᇱఉቁ = (ݔ௏,ݕ௏),∀ܸ ≥ ܸ′  Lưới {(ݔ௏ ,ݕ௏)} hội tụ về (ݔ,ݕ) (định nghĩa trong cấu trúc đều) ⇔ ∀ܸᇱ ∈ ࣩ௑, ∃ߚ଴:∀ߚ ≥ ߚ଴ ⇒ ݔఉ ∈ ܸᇱ[ݔ],ݕఉ ∈ ܸᇱ[ݕ]  Mệnh đề 2.1: ܹ ∈ ࣩ௑ thì W là một lân cận của ∆ (đường chéo chính của ܺ ଶ)  Bổ đề 1.2: ∀ܷ ∈ ࣩ௑ ,∃ܸ ∈ ࣩ௑ ,ܸ đối xứng, ܸ ∘ ܸ ∘ ܸ ⊂ ܷ Chứng minh: Phản chứng: giả sử f không liên tục đều ⇔ ∃ ଴ܹ ∈ ࣩ௒ :∀ܸ ∈ ࣩ௑ ⇒ ܨ(ܸ) ⊄ ଴ܹ Lập lưới {(ݔ௏,ݕ௏):ܸ ∈ ࣩ௑} thỏa mãn: (ݔ௏,ݕ௏) ∈ ܸ, (݂(ݔ௏),݂(ݕ௏)) ∉ ଴ܹ (*) Bài cho X là ଶܶ- không gian compact nên lưới {(ݔ௏,ݕ௏)} có lưới con {(ݔᇱఉ, ݕᇱఉ)} hội tụ về (ݔ,ݕ) nào đó  Ta chứng minh ݔ = ݕ 5 Giả sử ݔ ≠ ݕ thì tồn tại ܷ ∈ ࣩ௑ thỏa mãn ܷ[ݔ] ∩ ܷ[ݕ] = ∅. Theo bổ đề 1.2 ta chọn được ܸᇱ ∈ ࣩ௑ ,ܸ′ đối xứng, ܸ′ ∘ ܸ′ ∘ ܸ′ ⊂ ܷ - Do {(ݔᇱఉ ,ݕᇱఉ)} là lưới con của {(ݔ௏,ݕ௏)} nên: ∃ߚ଴:∀ߚ ≥ ߚ଴ ⇒ ቀݔᇱఉ,ݕ ᇱఉቁ = (ݔ௏,ݕ௏),∀ܸ ≥ ܸ′ ⇒ ቀݔᇱఉ,ݕᇱఉቁ ∈ ܸ′ (1) - Do {(ݔᇱఉ ,ݕᇱఉ)} hội tụ về (ݔ,ݕ) nên: ∃ߚ଴ ∶ ∀ߚ ≥ ߚ଴ ⇒ ݔఉ ᇱ ∈ ܸᇱ[ݔ], ݕఉᇱ ∈ ܸᇱ[ݕ] ⇒ ൫ݔ, ݔఉᇱ ൯ ∈ ܸᇱ, (ݕ, ݕఉᇱ ) ∈ ܸᇱ (2) Từ (1) và (2) ta có: (ݔ,ݕ) ∈ ܸ′ ∘ ܸ′ ∘ ܸ′ ⊂ ܷ ⇒ (ݔ, ݕ) ∈ ܷ hay ݕ ∈ ܷ[ݔ] Suy ra ݕ ∈ ܷ[ݔ] ∩ ܷ[ݕ] (mâu thuẫn với ܷ [ݔ] ∩ܷ[ݕ] = ∅) Vậy ta có lim ቀ݂൫ݔఉᇱ ൯,݂൫ݕఉᇱ ൯ቁ = ൫݂(ݔ),݂(ݕ)൯ (do f liên tục và {(ݔᇱఉ,ݕᇱఉ)} hội tụ về (ݔ,ݕ)) = (݂(ݔ),݂(ݔ)) ∈ ∆ (đường chéo chính của ܻଶ) Do ଴ܹ ∈ ࣩ௒ nên ଴ܹ là lân cận của ∆ (theo mệnh đề 2.1) ⇒ ∃ߚଵ:∀ߚ ≥ ߚଵ ⇒ ቀ݂൫ݔఉᇱ ൯,݂൫ݕఉᇱ ൯ቁ ∈ ଴ܹ (mâu thuẫn với (*)) Vậy f liên tục đều §6. Định lý 2.1: Giả sử X là không gian compact, ࣛ ⊂ ࣝℝ(ܺ) thỏa mãn: (i) ࣛ là một đại số (ii) ࣛ tách các điểm của ܺ và không suy biến tại mỗi điểm của ܺ. Khi đó ࣛ trù mật trong ࣝℝ(ܺ) Lưu ý:  Định nghĩa 2.2: ࣛ là một đại số nếu: (i) ࣛ là một không gian vecto đối với cá phép toán thông thường về cộng hàm và nhân hàm với số thuộc trường ॶ (ii) Nếu ݂,݃ ∈ ࣛ thì ݂݃ ∈ ࣛ  Bổ đề 2.1: Tồn tại dãy đa thức { ௡ܲ(ݐ)}, ௡ܲ(0) = 0 hội tụ đều trên [0,1] về hàm ݑ(ݐ) = √ݐ  Bổ đề 2.2: Cho ࣛ là một tôpô đại số, tách các điểm của ܺ và không suy biến tại mỗi điểm của ܺ. Khi đó với mỗi cặp điểm ݔଵ,ݔଶ ∈ ܺ; ܿଵ,ܿଶ ∈ ॶ (nếu ݔଵ = ܿଵthì ݔଶ = ܿଶ ) tồn tại ݂ ∈ ࣛ: ݂(ݔଵ) = ܿଵ,݂(ݔଶ) = ܿଶ Chứng minh:  Chứng minh bao đóng ࣛ̅ là một đại số tức là cũng có các ơnh chất (i), (ii) của định nghĩa 2.2 nêu trên Hiển nhiên ࣛ തതതത có ơnh chất (i) ta chỉ cần chứng minh nếu ݂,݃ ∈ ࣛ̅ thì ݂݃ ∈ ࣛ̅ 6 Thật vậy: Do ݂, ݃ ∈ ࣛ̅ nên tồn tại { ௡݂}, {݃௡} ⊂ ࣛ sao cho ௡݂ → ݂, ݃௡ → ݃ Để ý rằng do ௡݂ ,݃௡ ∈ ࣛ mà ࣛ là một đại số nên { ௡݂݃௡} ⊂ ࣛ (1) Xét ‖ ௡݂݃௡ − ݂݃‖ = ‖ ௡݂݃௡ − ௡݂݃ + ௡݂݃ − ݂݃‖ = ‖ ௡݂(݃௡ −݃) + ݃( ௡݂ − ݂)‖ ≤ ‖ ௡݂‖‖݃௡ − ݃‖+‖݃‖‖ ௡݂ − ݂‖ Khi đó cho ݊ → ∞ ta có ௡݂݃௡ → ݂݃ (2) Từ (1) và (2) suy ra ݂݃ ∈ ࣛ̅  Bước 1 : Chứng minh nếu ݂,݃ ∈ ࣛ thì max {݂,݃} và min {݂,݃} thuộc về ࣛ̅ (TC1) Để ý rằng max{݂,݃} = ଵ ଶ (݂ + ݃ + |݂ − ݃|) và min{݂, ݃} = ଵ ଶ (݂ + ݃ − |݂ − ݃|) Nên ta chỉ cần chứng minh nếu ݂ ∈ ࣛ thì |݂| ∈ ࣛ̅ hay chứng minh tồn tại { ௡݂} ⊂ ܣ: ௡݂ → |݂| Gọi ௡ܲ(ݐ) là đa thức như ở bổ đề 2.1; ݃(ݔ) = ௙(௫)‖௙‖ khi đó |݃| = |௙|‖௙‖ và ݃ ∈ ࣛ Đặt ௡݂ ≔ ‖݂‖ ௡ܲ ∘ ݃ଶ ∈ ࣛ. Ta chứng minh ௡݂ → |݂| là xong Thật vậy: Xét ‖ ௡݂ − |݂|‖ = ฮ‖݂‖ ௡ܲ ∘ ݃ଶ − |݂|ฮ=ฮ‖݂‖ ௡ܲ ∘ ݃ଶ − ‖݂‖|݃|ฮ=‖݂‖.‖ ௡ܲ ∘ ݃ଶ − |݃|‖ ≤ ‖݂‖. ݏݑ݌ ௫∈௑ ฮ ௡ܲ൫݃ଶ(ݔ)൯ − ඥ݃ଶ(ݔ)ฮ ≤ ‖݂‖. ݏݑ݌ ௧∈[଴,ଵ]ฮ ௡ܲ(ݐ)− √ݐฮ → 0 khi ݊ → ∞  Bước 2 : Cho ݂ ∈ ࣝℝ(ܺ), ݐ ∈ ܺ, ߝ > 0. Ta chứng minh tồn tại hàm ݃௧ ∈ ࣛ̅ thỏa mãn: ݃௧(ݐ) = ݂(ݐ),݃௧(ݔ) > ݂(ݔ)− ߝ (TC2) Thật vậy: Với mỗi ݏ ∈ ܺ ta chọn theo bổ đề 2.2 hàm ℎ௦ ∈ ࣛ sao cho: ℎ௦(ݐ) = ݂(ݐ),ℎ௦(ݏ) = ݂(ݏ) Do ơnh liên tục của ℎ௦ − ݂, tập ௦ܸ = {ݔ/ ℎ௦(ݔ) > ݂(ݔ)− ߳} mở, chứa ݏ Từ họ { ௦ܸ}௦∈௑ lấy họ hữu hạn { ௦ܸభ , ௦ܸమ , … , ௦ܸ೙} phủ ܺ . Đặt ݃௧ = max {ℎ௦భ, ℎ௦మ , … , ℎ௦೙} khi đó Do ℎ௦ ∈ ࣛ, ݏ ∈ ܺ thì theo TC1 ở bước 1 ta có ݃௧ = max {ℎ௦భ , ℎ௦మ , … ,ℎ௦೙} ∈ ࣛ̅ Vậy ݃௧ là hàm cần Ơm  Bước 3: Cho ݂ ∈ ࣝℝ(ܺ), ߝ > 0. Ta chứng minh tồn tại hàm ݃ ∈ ࣛ̅, ‖݂ − ݃‖ < ߝ (TC3) Thật vậy: 7 Với mỗi ݐ ∈ ܺ ta chọn hàm ݃௧ ∈ ࣛ̅ thỏa mãn TC2 ở bước 2 khi đó tập ௧ܸ = {ݔ/ ݃௧(ݔ) < ݂(ݔ) + ߳} mở, chứa ݐ Từ họ { ௧ܸ}௧∈௑ lấy họ hữu hạn { ௧ܸభ , ௧ܸమ , … , ௧ܸ೘} phủ ܺ và đặt ݃ = min {݃௧భ ,݃௧మ , … ,݃௧೘} khi đó: ݂(ݔ)− ߝ < ݃(ݔ) < ݂(ݔ) + ߝ,∀ݔ ∈ ܺ ⟹ ‖݂ − ݃‖ < ߝ Hơn nữa do ݃௧ ∈ ࣛ̅,∀ݐ ∈ ܺ thì theo TC1 ở bước 1 và ࣛ̅ là một đại số nên ta có ݃= min {݃௧భ , ݃௧మ , … ,݃௧೘} ∈ ࣛ̿ = ࣛ̅ Nên ݃ ∈ ࣛ̅  Bước 4: Theo TC3 ở bước 3 ta có ∀݂ ∈ ࣝℝ(ܺ), ߝ > 0 ⇒ ∃ ݃ ∈ ࣛ̅,‖݂ − ݃‖ < ߝ ⇒ ߝ > 0,ܤ(݂, ߝ) ∩ ࣛ̅ ≠ ∅ ⇒ ݂ ∈ ࣛ̿ = ࣛ̅ ⇒ ࣝℝ(ܺ) ⊂ ࣛ̅ hay ࣛ trù mật trong ࣝℝ(ܺ) B .BÀI TẬP Bài 3 (mục 4): Cho không gian Tôpô ܺ và ánh xạ ݂:ܺ → (−∞, +∞]. Ta nói: (i) f là nửa liên tục dưới (nltd) tại ݔ଴ nếu: ∀ߙ < ݂(ݔ଴),∃ܸ ∈ ܷ௫బ:∀ݔ ∈ ܸ ⇒ ߙ < ݂(ݔ) (ii) f là nửa liên tục dưới trên X nếu f nltd tại mọi ݔ ∈ ܺ Chứng minh rằng: Nếu f là nltd trên không gian compact X thì nó đạt giá trị nhỏ nhất trên ܺ Chứng minh: Chứng minh f đạt giá trị nhỏ nhất trên ܺ tức là chứng minh ∃ݔ଴ ∈ ܺ: ݂(ݔ଴) = inf ௫∈௑ ݂(ݔ) (*) Thật vậy: Đặt ܽ = inf ௫∈௑ ݂(ݔ) Trường hợp ݂(ݔ) = +∞,∀ݔ ∈ ܺ thì ܽ = +∞ nên hiển nhiên (*) đúng Giả sử ∃ݔ ∈ ܺ sao cho ݂(ݔ) ≠ +∞ khi đó ܽ < +∞ và ta có thể chọn được dãy {ܽ௡} ⊂ ℝ thỏa: {ܽ௡} là dãy giảm và lim௡→ஶ ܽ௡ = ܽ Đặt ܨ௡ = {ݔ ∈ ܺ: ݂(ݔ) ≤ ܽ௡},݊ ∈ ℕ.  Chứng minh ܨ௡ đóng hay chứng minh ܺ\ܨ௡ = {ݔ ∈ ܺ: ܽ௡ < ݂(ݔ)} mở (bài 3 mục 2) 8 Thật vậy: Xét ݔ଴ ∈ ܺ\ܨ௡ ta có ܽ௡ < ݂(ݔ଴) ⇒ ൫∃ܸ ∈ ܷ௫బ:∀ݔ ∈ ܸ ⇒ ܽ௡ < ݂(ݔ)൯ (do f là nltd trên ࢄ) ⇒ ൫∃ܸ ∈ ܷ௫బ:∀ݔ ∈ ܸ ⇒ ݔ ∈ ܺ\ܨ௡൯ ⇒ ൫∃ܸ ∈ ܷ௫బ:ܸ ⊂ ܺ\ܨ௡൯ ⇒ ܺ\ܨ௡ là lân cận của ݔ଴ ⇒ ݔ଴ ∈ ݅݊ݐ(ܺ\ܨ௡) ⇒ ܺ\ܨ௡ ⊂ ݅݊ݐ(ܺ\ܨ௡) ⇒ ܺ\ܨ௡ = ݅݊ݐ(ܺ\ܨ௡) hay ܺ\ܨ௡ mở  Ta có ܨ௡ାଵ ⊂ ܨ௡ (do ܽ௡ାଵ < ܽ௡)  Chứng minh ܨ௡ ≠ ∅ Phản chứng: Giả sử ܨ௡ = ∅ ⇒ ݂(ݔ) > ܽ௡ ,∀ݔ ∈ ܺ ⇒ ܽ = inf ௫∈௑ ݂(ݔ) ≥ ܽ௡ (mâu thuẫn vì ܽ௡ > ܽ)  Từ những điều vừa chứng minh được: ܨ௡ đóng , ܨ௡ାଵ ⊂ ܨ௡ , ܨ௡ ≠ ∅. Ta chứng minh ⋂ ܨ௡ ஶ ௡ୀଵ ≠ ∅ (bài 6 mục 1) Thật vậy: Xét ܬ ∈ ℕ∗, ܬ hữu hạn. Đặt ݊଴ = ݉ܽݔܬ ta có: ⋂ ܨ௡௡∈௃ = ܨ௡బ Vì ܨ௡ đóng nên ܨ௡బ = ⋂ ܨ௡௡∈௃ đóng và ܨ௡బ ≠ ∅ (do ܨ௡ ≠ ∅,∀݊ ∈ ℕ∗) Vậy (ܨ௡)௡∈ℕ∗ là họ có tâm, mà bài cho X compact nên ⋂ ܨ௡ஶ௡ୀଵ ≠ ∅ Suy ra tồn tại ∃ݔ଴ ∈ ⋂ ܨ௡ஶ௡ୀଵ : ݂(ݔ଴) ≤ ܽ௡,∀݊ ∈ ℕ∗ Cho ݊ → ∞ ta có ݂(ݔ଴) = ܽ = inf ௫∈௑ ݂(ݔ) (đpcm) Bài 4 (mục 1): Trên ℝ,ℝଶta xét tôpô thông thường. Cho ݂:ℝ → ℝ liên tục, đơn ánh. Chứng minh rằng f đơn điệu nghiêm ngặt. Chứng minh: Xét ܣ = {(ݔ,ݕ) ∈ ℝଶ: ݔ > ݕ} và ܨ: ℝଶ → ℝ xác định bởi ܨ(ݔ,ݕ) = ݂(ݔ)− ݂(ݕ) Do ݂ liên tục và ܨ là một hàm theo ݂ nên ܨ liên tục (1) Biểu diễn tập A trên hệ trục tọa độ ta dễ dàng nhận thấy ܣ là tập liên thông trong ℝଶ (2) Từ (1) và (2) suy ra ܨ(ܣ) là tập liên thông trong ℝ nên ܨ(ܣ) là một khoảng Mặt khác do f đơn ánh và ݔ > ݕ,∀(ݔ, ݕ) ∈ ܣ nên 0 ∉ ܨ(ܣ) 9 Suy ra ൤ ܨ(ܣ) ⊂ (0, +∞) ⇒ ݂(ݔ) > ݂(ݕ),∀ݔ > ݕ ܨ(ܣ) ⊂ (−∞, 0) ⇒ ݂(ݔ) ݕ Hay f đơn điệu nghiêm ngặt Bài 5 (mục 1): Cho ܺ là không gian liên thông và (ܩ௜)௜∈ூ là một phủ mở của X. Chứng minh rằng với mỗi cặp ݔ,ݕ ∈ ܺ tồn tại hữu hạn ݅ଵ, … , ݅௡ ∈ ܫ sao cho: ݔ ∈ ܩ௜భ,ܩ௜ೖ ∩ ܩ௜ೖశభ ≠ ∅, (݇ = 1,݊ − 1തതതതതതതതതത),ݕ ∈ ܩ௜೙ (*) Chứng minh: Trong ܺ ta xét quan hệ “~” như sau: ݔ~ݕ ⇔ ݔ,ݕ thỏa (*) Xét ܽ ∈ ܺ. Đặt ܣ = {ݔ ∈ ܺ: ܽ~ݔ},ܤ = {ݔ ∈ ܺ: ܽ ≁ ݔ} Ta chỉ cần đi chứng minh ܣ = ܺ Thật vậy: Rõ ràng “~” là quan hệ tương đương vì thỏa các ơnh chất giao hoán, phân phối, bắc cầu  Chứng minh ܣ mở ⇔ ܣ ⊂ ݅݊ݐܣ Hiển nhiên ܣ ≠ ∅. Lấy ݔ ∈ ܣ ta có ܽ ~ݔ Mặt khác: ∃݅଴ ∈ ܫ: ݔ ∈ ܩ௜బ Xét với ∀ݕ ∈ ܩ௜బ thì hiển nhiên ݔ~ݕ ⇒ ܽ~ݕ (do có ܽ~ݔ) ⇒ ݕ ∈ ܣ. Hay ܩ௜బ ⊂ ܣ Vậy tồn tại ܩ௜బ mở chứa ݔ: ܩ௜బ ⊂ ܣ nên ܣ là lân cận của ݔ ⇒ ݔ là điểm trong của ܣ hay ݔ ∈ ݅݊ݐܣ ⇒ ܣ ⊂ ݅݊ݐܣ ⇒ ܣ = ݅݊ݐܣ hay ܣ mở  Chứng minh ܤ mở ⇔ ܤ ⊂ ݅݊ݐܤ Trường hợp ܤ = ∅ hiển nhiên ܤ mở. Lấy ݔ ∈ ܤ ta có ܽ ≁ ݔ Mặt khác ∃݅′ ∈ ܫ: ݔ ∈ ܩ௜ᇱ Xét với ∀ݕ ∈ ܩ௜ᇱ thì hiển nhiên ݔ~ݕ ⇒ ܽ ≁ ݕ (do có ܽ ≁ ݔ) ⇒ ݕ ∈ ܤ. Hay ܩ௜ᇱ ⊂ ܤ Vậy tồn tại ܩ௜ᇱ mở chứa ݔ: ܩ௜ᇱ ⊂ ܤ nên ܤ là lân cận của ݔ ⇒ ݔ là điểm trong của ܤ hay ݔ ∈ ݅݊ݐܤ ⇒ ܤ ⊂ ݅݊ݐܾ ⇒ ܤ = ݅݊ݐܤ hay ܤ mở Ta có ܣ,ܤ mở, ܣ ∪ ܤ = ܺ,ܣ ∩ ܤ = ∅,ܣ ≠ ∅ Vì ܺ liên thông nên ∄ đồng thời hai tập mở A,B khác rỗng thỏa: ܣ ∪ ܤ = ܺ,ܣ ∩ ܤ = ∅, Do đó ܤ = ∅ hay ܣ = ܺ (đpcm) 10 Bài 8 : Cho các không gian tôpô X,Y và ánh xạ ݂:ܺ → ܻ. Trên ܺxܻ ta xét tôpô ơch và xét tập ܩ = {൫ݔ,݂(ݔ)൯:ݔ ∈ ܺ}. Chứng minh rằng: 1. Nếu f liên tục trên ܺ và ܻ là ଶܶ không gian thì ܩ là tập đóng 2. Nếu G là tập đóng và ܻ là không gian compact thì f liên tục Lưu ý:  G đóng ⇔ Với mọi lưới trong ܩ, giả sử lưới đó hội tụ về một điểm thì điểm đó thuộc ܩ  Định lí 5.1 §1: f liên tục trên ܺ ⇔ mọi tập A mở (đóng) trong ܻ thì ݂ିଵ(ܣ) mở (đóng) trong ܺ  Định lí 1.1 §3: Nếu f liên tục trên ܺ , ܺ liên thông thì ݂(ܺ) liên thông  Định lí 2.2 §3: Các mệnh đề sau đây tương đương 1. ܺ là không gian compact 2. Mọi siêu lưới trong ܺ thì hội tụ 3. Mọi lưới trong ܺ có lưới con hội tụ  Định lí 2.3 §3: 1. A compact, B đóng, ܤ ⊂ ܣ thì B compact 2. ܣ compact, X là ଶܶ không gian thì ܣ đóng 3. X compact, f liên tục trên X thì f(X) compact Chứng minh: 1. Nếu f liên tục trên ࢄ và ࢅ là ࢀ૛ không gian thì ࡳ là tập đóng Chứng minh ܩ là tập đóng ⇔ Xét lưới {(ݔఈ ,݂(ݔఈ))} ⊂ ܩ. Giả sử lim ఈ (ݔఈ,݂(ݔఈ)) = (ܽ, ܾ). Ta cần chứng minh (ܽ, ܾ) ∈ ܩ hay chứng minh ܾ = ݂(ܽ) Thật vậy: Ta có lim ఈ ݔఈ = ܽ mà f liên tục trên ܺ nên limఈ ݂(ݔఈ) = ݂(ܽ) (1) Mặt khác ta cũng có lim ఈ ݂(ݔఈ) = ܾ (2) Từ (1) và (2) kết hợp với ࢅ là ࢀ૛ không gian (giới hạn là duy nhất) suy ra ܾ = ݂(ܽ) (đpcm) 2. Nếu G là tập đóng và ࢅ là không gian compact thì f liên tục Chứng minh f liên tục trên ܺ ⇔ Với ∀ܣ đóng trong ܻ cần chứng minh ݂ିଵ(ܣ) đóng trong ܺ ⇔ Với ∀ܣ đóng trong ܻ . Xét lưới {ݔఈ} ⊂ ݂ିଵ(ܣ). Giả sử lim ఈ ݔఈ = ܽ. Ta cần chứng minh ܽ ∈ ݂ିଵ(ܣ) Thật vậy: Do ܣ đóng, ܻ compact, ܣ ⊂ ܻ nên ܣ compact (theo định lí 2.3 §3) 11 Mà {݂(ݔఈ)} ⊂ ܣ compact nên ∃ lưới con {݂(ݔ௔(ఉ))}ఉ ⊂ {݂(ݔఈ)}ఈ: ݂൫ݔ௔(ఉ)൯ → ܾ Khi đó ቀݔ௔(ఉ) ,݂൫ݔ௔(ఉ)൯ቁ ∈ ܩ, ቀݔ௔(ఉ), ݂൫ݔ௔(ఉ)൯ቁ → (ܽ, ܾ) mà ܩ đóng nên (ܽ, ܾ) ∈ ܩ ⇒ ܾ = ݂(ܽ) . Do đó ݂(ܽ) ∈ ܣ hay ܽ ∈ ݂ିଵ(ܣ) (đpcm) Bài 9: Cho ܺ là ଶܶ – không gian compact và ݂:ܺ → ܻ liên tục. Chứng minh rằng tồn tại tập đóng ܣ ≠ ∅ sao cho ݂(ܣ) = ܣ. Chứng minh: Đặt ࣛ = {ܤ ⊂ ܺ:ܤ ≠ ∅,ܤ đó݊݃,݂(ܤ) ⊂ ܤ}. Trong ࣛ ta xét quan hệ ܤଵ ≤ ܤଶ ⇔ ܤଶ ⊂ ܤଵ Rõ ràng ࣛ ≠ ∅ (do ܺ ∈ ࣛ) Xét {ܤ௜: ݅ ∈ ܫ} là xích trong (ࣛ,≤). Đặt ܤ = ⋂ ܤ௜௜∈ூ thì ܤ ⊂ ܤ௜ Ta có:  ܤ đóng (do ܤ௜ đóng, ∀݅)  ݂(ܤ) = ݂(⋂ ܤ௜௜∈ூ ) ⊂ ⋂ ݂(ܤ௜)௜∈ூ ⊂ ⋂ ܤ௜௜∈ூ = ܤ ⇒ ݂(ܤ) ⊂ ܤ  Ta chứng minh ܤ ≠ ∅ Thật vậy: Xét ܬ ⊂ ܫ, ܬ hữu hạn. Ta chứng minh ⋂ ܤ௜௜∈௃ ≠ ∅ Ta có ∀݅ଵ, ݅ଶ ∈ ܬ ⇒ ൤ܤ௜భ ≤ ܤ௜మܤ௜భ ≥ ܤ௜మ(do {ܤ௜: ݅ ∈ ܫ} là xích) ⇒ ൤ܤ௜భ ⊃ ܤ௜మܤ௜భ ⊂ ܤ௜మ Suy ra ∃݅଴ ∈ ܬ:ܤ௜బ ⊂ ܤ௜,∀݅ ∈ ܬ ⇒ ⋂ ܤ௜௜∈௃ = ܤ௜బ ≠ ∅ Hay họ {ܤ௜: ݅ ∈ ܫ} là họ có tâm nên ܤ ≠ ∅ Vậy ta có được ܤ đóng, ܤ ≠ ∅,݂(ܤ) ⊂ ܤ nên ܤ ∈ ࣛ ⇒ ܤ là cận trên của xích ࣛ nên theo bổ đề Zorn thì ࣛ có phần tử tối đại đặt là ܣ Ta có được ܣ ≠ ∅, ܣ đóng, ݂(ܣ) ⊂ ܣ (do cách đặt) (1) ܣ đóng ⇒ ܣ compact ⇒ ݂(ܣ) compact (do f liên tục) ⇒ ݂(ܣ) đóng (do ܺ là ଶܶ- không gian) (2) Từ (1) ta có ݂(݂(ܣ)) ⊂ ݂(ܣ) và ݂(ܣ) ≠ ∅ (3) Từ (2) và (3) suy ra ݂(ܣ) ∈ ࣛ Mặt khác ݂(ܣ) ≥ ܣ (do ݂(ܣ) ⊂ ܣ), mà ܣ tối đại nên ݂(ܣ) = ܣ (đpcm)