Bài tập chương 5: tổng các biến ngẫu nhiên và các định luật giới hạn

BÀI TẬP Phần 5. 1 Tổng các biến ngẫu nhiên Giả sử W = X + Y + Z, trong đó X, Y, Z là các biến ngẫu nhiên kỳ vọng 0, phương sai đơn vị với COV (X, Y) = 1/4 và COV = (X, Z) = 0, COV(Y, Z)=1/2. Tìm kỳ vọng và phương sai của W. Làm lại phần a, giả thiết X, Y, Z là các biến ngẫu nhiên không tương quan. Giả sử X1, …, Xn là các biến ngẫu nhiên với cùng kỳ vọng m và với hàm hiệp phương sai : trong đó |r| < 1. Tìm kỳ vọng và phương sai của Sn = X1 +…+ Xn. Giả sử X1,…, Xn là các biến ngẫu nhiên cùng kỳ vọng m và với hàm hiệp phương sai : COV(Xi, Xj) = s2r|i–j|, trong đó |r| < 1. Tìm kỳ vọng và phương sai của Sn = X1 +…+ Xn. Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên Cauchy với tham số a và b tương ứng. Giả sử Z = X + Y a. Tìm hàm đặc trưng của Z. b. Tìm hàm mật độ xác suất của Z từ hàm đặc trưng tìm thấy trong phần a. Giả sử Sk = X1 +…+Xk trong đó các Xi là các biến ngẫu nhiên độc lập, với Xi là biến ngẫu nhiên X2 với ni bậc tự do. Chứng minh rằng Sk là một biến ngẫu nhiên X2 với n = n1 + n2 +…+nk bậc tự do. Giả sử +…+trong đó các Xi là các biến ngẫu nhiên Gauss phương sai 1 kỳ vọng không độc lập cùng phân phối. a. Chứng minh rằng Sn là một biến ngẫu nhiên X2 với n bậc tự do. Gợi ý: Xem ví dụ 3.26. b. Dùng các phương pháp của phần 3.5 tìm hàm mật độ xác suất của c.Chứng tỏ rằng T2 là biến ngẫu nhiên Rayleigh. d.Tìm hàm mật độ xác suất cho T3. Biến ngẫu nhiên T3 được dùng để mô hình hoá tốc độ các phân tử trong chất khí. T3 được nói là có phân phối Maxwell. Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên, phân phối mũ độc lập với các tham số a và b tương ứng. Giả sử Z = X + Y. a. Tìm hàm đặc trưng của Z b. Tìm hàm mật độ xác suất của Z từ hàm đặc trưng tìm thấy ở phần a. Giả sử Z = aX = bY, trong đó X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, a và b là các hằng tuỳ ý. a. Tìm hàm đặc trưng của Z. b. Tìm kỳ vọng phương sai của Z bằng cách lấy đạo hàm, hàm đặc trưng được tìm thấy ở trong phần a. Giả sử Mn là trung bình mẫu của n biến ngãu nhiên độc lập cùng phân phối Xj. Tìm hàm đặc trưng của Mn theo hàm đặc trưng của các Xj. Giả sử Sk = X1 +…+ Xk, trong đó các Xi là những biến ngẫu nhiên độc lập, với Xi là biến ngẫu nhiên nhị thức với tham số n và p. Dùng hàm sinh xác suất chứng minh rằng Sn là biến ngẫu nhiên nhị thức. Với tham số n = n1+…+ nk và p. Giải thích tại sao kết quả này là hiển nhiên. Giả sử Sk + X1 +… +Xk trong đó các Xi là các biến ngẫu nhiên độc lập, với Xi là biến ngẫu nhiên Poisson với kỳ vọng ai .Chứng minh rằng Sk là biến ngẫu nhiên Poisson với kỳ vọng a = a1 + …+ ak. Giả sử X1, X2,… là các biến ngẫu nhiên giá trị nguyên, cho N là biến ngẫu nhiên giá trị nguyên độc lập với các Xj và cho Tìm kỳ vọng của và phương sai của S. Chứng minh rằng GS(z) = E(zS) = GN(GX(z)), trong đó GX(z) là hàm sinh của mỗi Xk. Cho số công việc (job) đến tại một cửa hàng trong chu kỳ 1 giờ là một biến ngẫu nhiên Poisson với kỳ vọng L. Mỗi công việc đòi hỏi Xj là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối bằng 3 phút hoặc 6 phút với xác suất bằng nhau. a. Tìm kỳ vọng và phương sai của công việc toàn bộ W (được đo bằng phút) đến trong chu kỳ một giờ. b. Tìm Gw(z) = E(zw). Cho số lần truyền thông điệp của một máy tính trong một giờ là một biến ngẫu nhiên nhị thức với các tham số n và p. Giả sử rằng xác suất của lỗi truyền trong thời gian 1 giờ. a. Tìm kỳ vọng và phương sai của S. b. Tìm GS(z) = E(zS). PHẦN 5.2 Trung bình mẫu và luật số lớn Giả sử số hạt phát xạ của một lượng phóng xạ trong t giây là một biến ngẫu nhiên Poisson với phương sai lt. dùng bất đẳng thức Chebyshev để nhận được biên cho xác suất sao cho |N(t)/t – l| vượt quá e. Giả sử 10% số cử tri yêu thích một luật lệ nào đó. Một số lớn n cử tri được đi bầu và một ước lượng tần suất tương đối fA(n) cho tỷ lệ trên nhận được. Sử dụng phương trình (5.20) để xác định có bao nhiêu cử tri cần phải đi bầu nhằm để với xác suất ít nhất bằng 0.95, fA(n) khác với 0.10 bé hơn 0.02. Một con xúc xắc được gieo 100 lần. Dùng phương trình (5.20) xác định xác suất mà tổng số chấm xuất hiện nằm giữa 300 và 400. Cho các Xi là biến ngẫu nhiên Gauss với kỳ vọng 0, phương sai 1. So sánh biên được cho bởi 5.20 với giá trị chính xác nhận được từ hàm Q cho n = 10 và n = 100. Luật số lớn yếu đúng cho trung bình mẫu, nếu các Xj có các hàm hiệp phương sai được cho trong bài tập 2? Luật số lớn yếu đúng cho trung bình mẫu nếu các Xj có các hàm hiệp phương sai được cho trong bài tập 3? (Phương sai mẫu) Cho X1,…Xn là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối mà kỳ vọng và phương sai chưa biết. Phương sai mẫu được định nghĩa như sau: trong đó Mn là trung bình mẫu. Chứng tỏ rằng Dùng kết quả phần a chứng minh rằng c.Dùng phần b chứng minh rằng bởi vậy là ước lượng không chệch cho phương sai. d. Tìm kỳ vọng của phương sai mẫu nếu như n – 1 được thay bằng n. Chú ý rằng đây là một ước lượng chệch cho phương sai. PHẦN 5.3 Định lý giới hạn trung tâm Một đồng tiền xu được gieo 1000 lần. Ước lượng xác suất sao cho số mặt ngửa xuất hiện giữa 400 và 600 lần. Ước lượng xác suất mà số mặt ngửa xuất hiện giữa 500 và 550 . Làm lại bài tập 16 dùng định lý giới hạn trung tâm. Một con xúc xắc được gieo 100 lần. Dùng định lý giới hạn trung tâm để ước lượng xác suất sao cho tổng các dấu chấm là giữa 300 và 400. So sánh kết quả với nhận được trong bài tập 17. Tuổi thọ của một bóng đèn rẻ tiền là biến ngẫu nhiên phân phối mũ với kỳ vọng 36 giờ. Giả sử rằng có 16 bóng đèn được thử và tuổi thọ của chúng đo được . Dùng định lý giới hạn trung tâm để ước lượng xác suất mà tổng tuổi thọ bé hơn 600 giờ. Một học sinh dùng các bút mực mà tuổi thọ của chúng là một biến ngẫu nhiên phân phối mũ với kỳ vọng bằng 1 tuần. Dùng định lý giới hạn trung tâm để xác định số ít nhất các bút mà học sinh cần phải mua tại đầu kỳ học 15 tuần sao cho với xác suất 0.99 anh ta không hết bút giữa kỳ học. Giả sử S là tổng 100 biến ngẫu nhiên Poisson độc lập cùng phân phối với kỳ vọng 0.2. So sánh giá trị đúng p[S = k] với xấp xỉ được cho bởi định lý giới hạn trung tâm như trong (5.30). Số thông điệp đều một bộ trộn là biến ngẫu nhiên Poisson với kỳ vọng 10 thông điệp trên một giây. Dùng định lý giới hạn trung tâm để ước lượng xác suất sao cho hơn 650 thông điệp đến trong một phút. Một kênh truyền tin nhị phân phát lỗi một bít truyền với xác suất là 0.15. Ước lượng xác suất mà có 20 lỗi hoặc ít hơn trong 100 bít truyền. Tổng một danh sách 100 số thực được tính. Giả sử rằng các số được làm tròn tới số nguyên gần nhất sao cho mỗi số có một sai số được phân phối đều trong khoảng (–0.5, 0.5). dùng định lý giới hạn trung tâm để ước lượng xác suất sao cho sai số tổng cộng trong tổng 100 số vượt quá 6. PHẦN 5.4 Khoảng tin cậy Số đo điện áp bao gồm tổng điện áp không đổi chưa biết và điện áp nhiễu phân phối Gauss kỳ vọng 0 và phương sai 10 mV2. Ba mươi số đo độc lập được tạo ra và trung bình mẫu là 100 mV nhận được. Tìm khoảng 95% tin cậy tương ứng. Cho Xj là biến ngẫu nhiên Gauss với kỳ vọng E[X] = m chưa biết và phương sai bằng 1. a. Tìm độ rộng các khoảng 95% tin cậy cho m và n = 4, 16, 100. b. Làm lại a cho khoảng 99% tin cậy. Tuổi thọ 225 bóng đèn đo được và kỳ vọng mẫu và phương sai mẫu tìm được là 223 hr và 100 hr2 tương ứng. Tìm khoảng 95% tin cậy cho tuổi thọ trung bình. Cho X là một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng chưa biết và phương sai chưa biết. Một tập 10 số đo độc lập của X tạo ra và Tìm khoảng 90% tin cậy cho kỳ vọng của X. Cho X là một biến ngẫu nhiên Gauss với kỳ vọng chưa biết và phương sai chưa biết. Một tập 10 giá trị độc lập của X tạo ra trung bình mẫu 57.3 và phương sai mẫu là 23.2. a. Tìm các khoảng 90%, 95%, và 99% tin cậy. b. Làm lại phần a nếu như một tập 20 giá trị đo đã tạo ra trung bình mẫu và phương sai mẫu trên. Một chương trình mô phỏng bằng máy tính được sử dụng để tạo ra 150 mẫu của biến ngẫu nhiên. Các mẫu được nhóm thành 15 lượt mỗi lượt 10 mẫu. Các trung bình lượt mẫu được cho theo danh sách dưới đây: 0.228 -1.941 0.141 1.979 -0.224 0.501 -5.907 -1.367 -1.615 -1.013 -0.397 -3.360 -3.330 -0.033 0.976 Tìm khoảng 90% tin cậy cho trung bình mẫu. Đồng tiền xu được tung ra tổng cộng khoảng 500 lần thành 10 lượt, mỗi lượt 50 lần tung. Số mặt ngửa trong mỗi lượt như sau: 24, 27, 22, 24, 25, 24, 28, 26,23, 26. Tìm khoảng tin cậy 95% cho xác suất của p lần mặt ngửa dùng phương pháp trung bình lượt. (Bài tập tính toán) Trong phần 5.4, ý nghĩa độ tin cậy 1- a được giải thích như sau: “Nếu chúng ta tính khoảng tin cậy một số lớn lần, chúng ta sẽ tìm thấy rằng xấp xỉ (1– a) ´ 100% lần, khoảng tính toán có thể chứa giá trị đúng của tham số.” Bài tập tính toán sau đây dự định kiểm định lại các phát biểu này. a. Giả sử rằng kỳ vọng chưa biết, và phương sai biết rồi. Tìm khoảng tin cậy 90% cho kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Gauss với n = 10. b. Viết một chương trình con cho máy tính để tạo ra các biến ngẫu nhiên Gauss phương sai 1 kỳ vọng không và tính trung bình mẫu của 10 biến như vậy. c. Dùng chương trình con đã phát triển ở phần b để nhận được 500 trung bình mẫu và các khoảng tin cậy kết hợp. Tìm phần các khoảng tin cậy chính kỳ vọng đúng (theo thiết kế nó bằng 0). Điều này có phù hợp với độ tin cậy 1- a = 0.90 không? d. Làm lại phần c dùng các biến ngẫu nhiên phân phối mũ với kỳ vọng 1. Phần của các khoảng chứa kỳ vọng đúng được cho bởi 1-a có phải không? Giải thích. (Bài tập tính toán) Viết một thủ tục để phát ra các biến ngẫu nhiên Xj mà phân phối đều trong khoảng [-1, 1]. a. Giả sử rằng 160 biến Xj đã được phát ra và các khoảng 90% tin cậy cho kỳ vọng mẫu được tính. Tìm khoảng tin cậy cho kỳ vọng dùng các kết hợp sau: 4 lượt, mỗi lượt 40 mẫu 8 lượt, mỗi lượt 20 mẫu 16 lượt, mỗi lượt 10 mẫu và 32 lượt, mỗi lượt 5 mẫu. b. Viết một chương trình máy tính thực hiện thử nghiệm như ở phần a 500 lần. Mỗi lần lặp lại thí nghiệm, tính 4 khoảng tin cậy được xác định trong phần a. Tính tỷ lệ số lần mà 4 khoảng trên chứa kỳ vọng đúng. Cái nào trong những kết hợp về kích thước lượt và số lượt ở trên phù hợp với các kết quả dự báo nhờ độ tin cậy? Giải thích tại sao. PHẦN 5.5 Hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên 40.Giả sử Un(z), Wn(z), Yn(z) và Zn(z) là dãy các biến ngẫu nhiên được xác định ở ví dụ 5.20. a. Vẽ dãy các hàm của z kết hợp với mỗi dãy biến ngẫu nhiên. b. Cho z = 1/4 vẽ dãy mẫu kết hợp 41. Giả sử z được chọn ngẫu nhiên từ khoảng S = [0, 1] và giả sử xác suất mà z nằm trong khoảng con của S được cho bởi độ dài khoảng con. Định nghĩa dãy các biến ngẫu nhiên sau đây với n ³ 1: Xn(z ) = zn, Yn (z ) = cos22pz, Zn(z) = cosn2pz. Các dãy có hội tụ không và nếu có hội tụ theo nghĩa nào và biến ngẫu nhiên tới hạn là gì? 42. Cho bi, i ³ 1 là dãy các biến ngẫu nhiên Bernoulli đồng xác suất, độc lập cùng phân phối và z là một số giữa [0, 1] xác định bởi khai triển nhị phân Giải thích tại sao z phân phối đều trong [0, 1]. Sử dụng định nghĩa này của z ra làm sao để phát ra dãy mẫu xuất hiện trong bài toán về các bình của ví dụ 5.22? 43. Giả sử Xn là dãy các biến ngẫu nhiên Bernoulli đồng xác suất độc lập cùng phân phối, và giả sử Yn = 2nX1X2…Xn. Vẽ dãy mẫu. Dãy này có hội tụ hầu chắc chắn không và nếu hội tụ thì vào giới hạn nào? Dãy này hội tụ theo nghĩa bình phương trung bình không? 44. Giả sử Xn là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng m và phương sai s2 < ¥. Giả sử Mn dãy kết hợp trung bình cộng, Chứng minh rằng Mn hội tụ vào m theo nghĩa bình phương trung bình. 45. Giả sử Xn và Yn là 2 dãy (có thể phụ thuộc) các biến ngẫu nhiên hội tụ theo nghĩa bình phương trung bình tới X và Y tương ứng. Dãy Xn + Yn có hội tụ theo nghĩa bình phương trung bình hay không, và nếu có hội tụ thì hội tụ tới giới hạn nào? 46. Giả sử Un là dãy các biến ngẫu nhiên Gauss phương sai 1, kỳ vọng 0, độc lập cùng phân phối. Mực lọc qua cho mức thấp lấy dãy Un và tạo ra dãy Dãy này hội tụ theo nghĩa bình phương trung bình không? Nó hội tụ theo phân phối không? 47. Dãy các biến ngẫu nhiên được đưa ra trong ví dụ 5.22 hội tụ theo nghĩa bình phương trung bình không? 48. Các khách hàng đến một máy rút tiền tự động tại những khoảnh khắc thời gian rời rạc n = 1, 2… Số lần đến của khách hàng ở một khoảnh khắc thời gian là biến ngẫu nhiên Bernoulli với tham số p, và dãy các lần đến là độc lập cùng phân phối. Giả thiết rằng máy phục vụ một khách hàng một thời lượng bé hơn một đơn vị thời gian. Giả sử Xn là số lượng tổng cộng các khách hàng được máy phục vụ cho đến thời điểm n. Giả sử rằng máy hỏng tại thời điểm N, trong đó N là biến ngẫu nhiên hình học với kỳ vọng 100, sao cho tổng số khách hàng vẫn giữ nguyên XN. a. Vẽ dãy mẫu đối với Xn. b. Dãy mẫu có hội tụ hầu như chắc chắn không và nếu có thì tới giới hạn nào? c. Các dãy mẫu có hội tụ theo nghĩa bình phương trung bình không? 49. Chứng tỏ rằng dãy Yn(z) được xác định trong ví dụ 5.20 hội tụ theo phân phối. 50. Cho Xn là dãy biến ngẫu nhiên Laplat với tham số a = n. Dãy này hội tụ theo phân phối không? PHẦN 5.6 Tỷ suất đến kỳ hạn lớn 51. Thời gian đến bến xe buýt của khách hàng là các biến ngẫu nhiên phân phối mũ độc lập cùng phân phối với kỳ vọng T. Giả sử rằng ô tô buýt rời bến khi m chỗ ngồi đã có khách. Ô tô buýt rời bến với tần suất nào? 52. Một đồng hồ trục trặc chạy mỗi phút với xác suất p và không chạy với xác suất 1 – p. Tần suất sao cho đồng hồ hoạt động là bao nhiêu? 53. a. Chứng tỏ rằng {N(t) ³ n } và { Sn £ t } là các biến cố tương đương. b. Dùng phần a để tìm P[N(t) £ n} khi các Xj là các biến ngẫu nhiên phân phối mũ, độc lập cùng phân phối với kỳ vọng 1/ a. 54. Giải thích tại sao các biến cố sau không tương đương: a. {N(t) £ n } và {Sn ³ t}. b. {N(t) > n } và { Sn < t}. 55. Một kênh truyền thông thay thay đổi giữa các thời kỳ có lỗi và không có lỗi. Giả thiết rằng những thời kỳ này là những biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng m1 và m2 tương ứng. Tìm tỷ lệ thời gian kỳ hạn lớn mà kênh không có lỗi. 56. Một công nhân làm việc với hiệu suất r1 khi ông chủ có mặt, và với hiệu suất r2 khi ông chủ vắng mặt. Giả sử rằng dãy các độ dài chu kỳ thời gian ông chủ có mặt và vắng mặt là những biến ngẫu nhiên độc lập với kỳ vọng m1 và m2 tương ứng. Tìm hiệu suất trung bình kỳ hạn lớn mà người công nhân làm việc với hiệu suất đó. 57. Một máy tính xoay vòng liên tục qua ba nhiệm vụ. Giả thiết rằng mỗi lần máy tính phục vụ nhiệm vụ i, nó tiêu hết Xi thời gian để hoàn thành nhiệm vụ đó. a. Tỷ suất kỳ hạn lớn là bao nhiêu, mà với tỷ suất đó máy tính xoay vòng qua ba nhiệm vụ? b. Tỷ lệ thời gian kỳ hạn lớn chi tiêu để máy tính thực hiện nhiệm vụ i là bao nhiêu? c. Làm lại các phần a, b nếu thời gian ngẫu nhiên W đòi hỏi cho một máy tính chuyên từ một nhiệm vụ sang một nhiệm vụ khác. 58. Các khách hàng đến trạm điện thoại công cộng và dùng điện thoại trong một khoảng thời gian ngẫu nhiên Y, nếu như điện thoại rỗi. Nếu điện thoại không rỗi khách hàng đi ngay. Giả sử rằng thời gian giữa các lần đến của khách hàng là là một biến ngẫu nhiên phân phối mũ. a.Tìm tỷ suất kỳ hạn lớn, mà các khách hàng dùng điện thoại với tỷ suất đó. b. Tìm tỷ lệ khách hàng kỳ hạn lớn rời khỏi trạm điện thoại mà không dùng điện thoại. 59. Tuổi thọ của một thành phần hệ thống nào đó là một biến ngẫu nhiên phân phối mũ với kỳ vọng T. Giả thiết rằng thành phần bị thay thế khi bị hỏng hoặc khi đạt đến tuổi thọ 3 tháng. a. Tìm tỷ suất kỳ hạn lớn mà với nó các thành phần được thay thế. b. Tìm tỷ suất kỳ hạn lớn mà với nó các thành phần đang làm việc được thay thế. 60. Một bộ mã hoá nén dữ liệu cắt một luồng thông tin các bít thành những khuôn mẫu như thể hiện dưới đây, rồi mỗi khuôn mẫu được mã hoá thành từ mã được chỉ ra dưới đây. Khuôn mẫu từ mã xác suất 1 100 .1 01 101 .09 001 110 .081 0001 111 .0729 0000 0 .6561 a. Nếu nguồn thông tin tạo ra một bít mất một mili giây. Tìm tỷ suất mà các từ mã được tạo ra. b. Tìm tỷ lệ kỳ hạn lớn các bít được mã hoá so với các bít thông tin. 61. Trong ví dụ 5.31 đánh giá tỷ lệ thời gian mà tuổi thọ r(t) còn lại vượt quá c giây cho các trường hợp sau: a. Xj các biến ngẫu nhiên cùng kiểu độc lập cùng phân phối trong khoảng [o, 2T]. b. Các biến ngẫu nhiên phân phối mũ, độc lập cùng phân phối Xj với kỳ vọng T. c. Các biến ngẫu nhiên Rayleigh độc lập cùng phân phối Xj với kỳ vọng T. d. Tính và so sánh thời gian còn lại trung bình trong mỗi trường hợp của 3 trường hợp trên. 62. Giả sử tuổi a(t) của một chu kỳ được xác định là thời gian trôi qua từ lần đến cuối cùng cho tới một khoảnh khắc thời gian tuỳ ý t. Chứng minh rằng tỷ lệ thời gian kỳ hạn lớn mà a(t) vượt quá c giây được cho bằng phương trình (5.59). 63. Giả sử rằng phí tổn trong mỗi chu kỳ lớn lên với tốc độ tỷ lệ với tuổi a(t) của chu kỳ có nghĩa là, Chứng minh rằng Cj = /2. Chứng minh rằng tỷ suất kỳ hạn lớn mà phí tổn tăng theo nó là E[X2 ]/2E[X]. c. Chứng minh rằng kết quả ở phần b cũng là trung bình kỳ hạn lớn của a(t), có nghĩa là, d. Giải thích tại sao tuổi thọ còn lại trung bình cũng cho bởi biểu thức trên. 64. Tính tuổi trung bình và tuổi thọ còn lại trung bình trong bài tập 63 trong các trường hợp sau đây: Xj là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối trong khoảng [0, 2T], Xj là các biến ngẫu nhiên phân phối mũ, độc lập cùng phân phối với kỳ vọng T. c. Xj là các biến ngẫu nhiên Rayleigh độc lập cùng phân phối với kỳ vọng T. 65. (Phương pháp phục hồi) Giả sử rằng một hệ hàng đợi có tính chất rằng khi một khách hàng đến và tìm chỗ trống, cách cư xử trong tương lai của hệ hoàn toàn độc lập với quá khứ. Xác định một chu kỳ lập nên khoảng thời gian giữa hai khách hàng đến liên tiếp vào chỗ trống của hệ. Giả sử Nj là số khách hàng được phục vụ trong chu trình thứ j và giả sử T là độ chậm trễ tổng cộng của tất cả các khách hàng được phục vụ trong chu trình thứ j. a. Dùng định lý 2 chứng minh rằng độ trễ trung bình của khách hàng được cho bởi E[T] /E[N], có nghĩa là, trong đó Dk là độ trễ của khách hàng thứ k. b.Dùng kết quả này để ước lượng độ trễ trung bình trong việc mô phỏng bằng máy tính hệ thống hàng đợi thì sẽ ra làm sao? PHẦN 5.7 Phương pháp tính dùng để phân phối của biến ngẫu nhiên sử dụng phép biến đổi Fourier rời rạc 66. Một biến ngẫu nhiên rời rạc X phân phối trong tập {0, 1, 2}. a. Tìm phép biến đổi Fourier rời rạc đối với N = 3 b. Sử dụng phép biến đổi Fourier rời rạc ngược để khôi phục P[X = 1]. 67. Cho S = X + Y trong đó X và Y là những biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối được phân phối đều trong tập {0, 1, 2}. a. Tìm phép biến đổi Fourier rời rạc cho S với N = 5. b. Dùng phép biến đổi Ffourier rời rạc ngược để tìm P[S = 2]. 68. Giả sử X là biến ngẫu nhiên nhị thức với tham số n = 8 và p = 1/2. a. Viết một phương trình biến đổi Fourier nhanh để nhận hàm xác suất của X từ FX(w). b. Dùng phương trình biến đổi Fourier nhanh để nhận hàm xác suất của Z = X + Y trong đó X và Y là các biến ngẫu nhiên nhị thức độc lập cùng phân phối với n = 8 và p = 1/2. 69. Giả sử Xj là biến ngẫu nhiên rời rạc được phân phối đều trong tập {0,1, …9}. Dùng chương trình biến đổi Fourier nhanh để tìm hàm khối lượng xác suất của Sn = X1 + …+ Xn đối với n = 5 và n = 10. Vẽ các kết quả và so sánh chúng với hình 5.15. 70. Giả sử X là biến ngẫu nhiên hình học (có hàm phân phối dưới dạng cấp số nhân) với tham số p = 1/2. viết một chương trình biến đổi Fourier nhanh để tính theo phương trình (5.56) dối với N = 8 và N = 16. So sánh kết quả với các kết quả được cho bởi phương trình (5.68). 71. Cho X là một biến ngẫu nhiên Poisson với kỳ vọng L = 5. a. Dùng chương trình biến đổi Fourier nhanh để nhận được hàm khối lượng xác suất từ FX(w). Tìm giá trị của N sao cho sai số ở phương trình (5.66) bé hơn 1%. b. Cho S = X1 + X2 +…+ X5, trong đó Xj là các biến ngẫu nhiên Poisson độc lập cùng phân phối với kỳ vọng L = 5. Dùng chương trình biến đổi Fourier nhanh để tính hàm khối lượng xác suất của S từ FX(w). 72. Xác suất sinh ra hàm cho một số N khách hàng trong một hệ hàng đợi nào đó (hệ có tên gọi M/D/1 được thảo luận ở chương 9) là Gx(z) = , trong đó 0£ p £ 1. Sử dụng chương trình biến đổi Fourier nhanh để nhận hàm khối lượng xác suất của N với p = 1/2. 73. Dùng chươn