Bài tập Cơ học lưu chất

BÀI TẬP CHƯƠNG I MỞ ĐẦU Bài 1.1 Để làm thí nghiệm thủy lực, người ta đổ đầy nước vào một đường ống có đường kính d = 300mm, chiều dài L = 50m ở áp suất khí quyển. Hỏi lượng nước cần thiết phải đổ vào ống là bao nhiêu để áp suất đạt tới 51at ? Biết hệ số nén ép Giải Lượng nước cần thiết phải đổ vào ống để áp suất tăng lên 51at là : Ta có hệ số giãn nở do áp lực : Do đồng biến nên : Mà thể tích Vậy cần phải thêm vào ống 8.84 lít nước nữa để áp suất tăng từ 1at lên 51at. Bài 1.2 Trong một bể chứa hình trụ thẳng đứng có đường kính d = 4m, đựng 100 tấn dầu hỏa có khối lượng riêng ở 100C. Xác định khoảng cách dâng lên của dầu trong bể chứa khi nhiệt độ tăng lên đến 400C. Bỏ qua giãn nở của bể chứa. Hệ số giãn nở vì nhiệt . Giải Khối lượng riêng của dầu hỏa là : Hệ số giãn nở do nhiệt độ : Mà : Vậy khoảng cách dầu dâng lên so với ban đầu là 0.202(m) Bài 1.3 Khi làm thí nghiệm thủy lực, dùng một đường ống có đường kính d = 400mm, dài L = 200m, đựng đầy nước ở áp suất 55 at. Sau một giờ áp suất giảm xuống còn 50 at. Xác định lượng nước chảy qua các kẽ hở của đường ống. Hệ số nén ép . Giải Hệ số giãn nở do áp lực : Vậy lựơng nước chảy qua khe hở đường ống là 6.28 (liter) Bài 1.4 Một bể hình trụ đựng đầy dầu hỏa ở nhiệt độ 50C, mực dầu cao 4m. Xác định mực dầu tăng lên, khi nhiệt độ tăng lên 250C. Bỏ qua biến dạng của bể chứa. Hệ số giãn nở vì nhiệt . Giải Hệ số giãn nở do nhiệt độ : Mà thể tích ban đầu là : Thể tích dầu tăng lên : BÀI TẬP CHƯƠNG II THỦY TĨNH HỌC Bài 2.1 Xác định độ cao của cột nước dâng lên trong ống đo áp (h). Nước trong bình kín chịu áp suất tại mặt tự do là . Xác định áp suất nếu h = 0.8m. Giải Chọn mặt đẳng áp tại mặt thoáng của chất lỏng. Ta có : Mà Nếu h=0,8m thì Bài 2.2 Một áp kế đo chênh thủy ngân, nối với một bình đựng nước. Xác định độ chênh mực nước thủy ngân, nếu h1 = 130mm và áp suất dư trên mặt nước trong bình 40000 N/m2. Áp suất trong bình sẽ thay đổi như thế nào nếu mực thủy ngân trong hai nhánh bằng nhau. Giải Xác định độ chênh mực thủy ngân (tìm h2) : Chọn mặt đẳng áp như hình vẽ : Ta có : Mà Vậy : Áp suất trong bình khi mực thủy ngân trong hai nhánh bằng nhau : Ta có : Bài 2.3 Một áp kế vi sai gồm một ống chữ U đường kính d = 5mm nối hai bình có đường kính D = 50mm với nhau. Máy đựng đầy hai chất lỏng không trộn lẫn với nhau, có trọng lượng riêng gần bằng nhau : dung dịch rượu êtylic trong nước () và dầu hỏa (). Lập quan hệ giữa độ chênh lệch áp suất của khí áp kế phải đo với độ dịch chuyển của mặt phân cách các chất lỏng (h) tính từ vị trí ban đầu của nó (khi ). Xác định khi h = 250mm. Giải Lập mối quan hệ giữa độ chênh lệch áp suất : Chọn mặt đẳng áp như hình vẽ : Khi : thì mặt phân cách giữa hai lớp chất lỏng khác nhau ở vị trí cân bằng O : Theo điều kiện bình thông nhau : Khi : thì mực nước trong bình 1 hạ xuống 1 đoạn và đồng thời mực nước bình 2 tăng lên 1 đoạn . Khi đó mặt phân cách di chuyển lên trên 1 đoạn h so với vị trí O. Theo tính chất mặt đẳng áp ta có : Ta thấy thể tích bình 1 giảm một lượng : Thể tích trong ống dâng lên một lượng : Ta có và thay vào (*) Ta được : Tính khi h = 250mm Ta có : ĐS : a/ b/ Bài 2.4 Xác định vị trí của mặt dầu trong một khoang dầu hở của tàu thủy khi nó chuyển động chậm dần đều trước lúc dừng hẳn với gia tốc a = 0.3 m/s2. Kiểm tra xem dầu có bị tràn ra khỏi thành không, nếu khi tàu chuyển động đều, dầu ở cách mép thành một khoảng e = 16cm. Khoảng cách tàu dài L = 8m. Giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta biết mặt tự do của dầu là mặt đẳng áp. Phương trình vi phân mặt đẳng áp : Có : thay vào (*) (*) Tích phân ta được : Vì mặt tự do của dầu đi qua gốc tọa độ O (x=0, z=0) . Nên phương trình mặt tự do sẽ là : Có trong đó Như vậy mặt dầu trong khoang là mặt phẳng nghiêng về phía trước : với Ta thấy z = 12,24 (cm) < e = 16 (cm) nên dầu không tràn ra ngoài. Bài 2.5 Một toa tàu đi từ ga tăng dần tốc độ trong 10 giây từ 40 km/h đến 50 km/h. Xác định áp suất tác dụng lên điểm A và B. Toa tàu hình trụ ngang có đường kính d = 2,5m, chiều dài L = 6m. Dầu đựng đầy một nửa toa tàu và khối lượng riêng của dầu là 850 kg/m3. Viết phương trình mặt đẳng áp và mặt tự do của dầu. Giải Gia tốc của toa tàu là : Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng : Tích phân ta được : (*) Có X = -a; Y = 0; Z = -g Thay X, Y, Z vào (*) ta được : Vì mặt tự do của dầu đi qua gốc tọa độ (x=0, z=0) Vậy : Áp suất tại A (x= -L/2 = -3; y=0; z=-d/2 = -1,25) là : Áp suất tại B (x= L/2 = 3; y=0; z=-d/2 = -1,25) là : Phương trình mặt đẳng áp : Phương trình vi phân đẳng áp : Với : X = -a; Y = 0; Z = -g Tích phân ta được : Phương trình mặt tự do : Tại mặt thoáng : x = 0; y = 0; z = 0 Nên : Bài 2.6 Một bình hở có đường kính d = 500 mm, đựng nước quay quanh một trục thẳng đứng với số vòng quay không đổi n = 90 vòng/phút. Viết pt mặt đẳng áp và mặt tự do, nếu mực nước trên trục bình cách đáy Z0 = 500mm. Xác định áp suất tại điểm ở trên thành bình cách đáy là a = 100mm. Thể tích nước trong bình là bao nhiêu, nếu chiều cao bình là H = 900mm. Giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ : Viết phương trình mặt đẳng áp và mặt tự do, nếu mực nước trên trục bình cách đáy Z0 = 500mm. Phương trình vi phân mặt đẳng áp : Trong đó : ; ; Thay vào phương trình vi phân ta được : Tích phân : Vậy phương trình mặt đẳng áp là : Đối với mặt tự do cách đáy Z0 = 500mm Tại mặt tự do của chất lỏng thì : x = y = 0 và z = z0 thay vào (*) Vậy phương trình mặt tự do sẽ là : hay Xác định áp suất tại điểm trên thành bình cách đáy 1 khoảng a = 100mm : Phương trình phân bố áp suất : Trong đó : ; ; Thay vào ta được : Tích phân : Tại mặt tự do (tại O) ta có : x = y = 0 và z = z0 Thay vào (**) (**) Vì Điểm trên thành bình cách đáy 100mm có : Áp suất tại điểm này sẽ là : Bài 2.7 Người ta đúc ống gang bằng cách quay khuôn quanh 1 trục nằm ngang với tốc độ quay không đổi n = 1500 vòng/phút. Xác định áp suất tại mặt trong của khuôn, nếu trọng lượng riêng của ống gang lỏng . Cho biết thêm đường kính trong của ống d = 200mm, chiều dày ống . Tìm hình dạng của mặt đẳng áp. Giải Tốc độ quay : Gia tốc lực ly tâm trên mặt khuôn : Trong đó : Vì g = 9,81 m/s2 << a = 2950m/s2 nên khi tính ta bỏ qua gia tốc trọng trường. Chọn gốc tọa độ trên trục ống, trục x trùng với trục ống ta có : ; ; Thay vào phương trình vi phân cơ bản tổng quát của chất lỏng : Tích phân ta được : Hằng số C được xác định từ điều kiện : khi (mặt trong của ống) thì do đó : Vậy Nhìn vào phương trình ta thấy áp suất trong gang lỏng thay đổi luật parabol theo phương bán kính. Áp suất dư tại mặt trong của khuôn là : Phương trình vi phân mặt đẳng áp : Tích phân ta được : . Ta thấy mặt đẳng áp là những mặt tròn có trục trùng với trục quay. Bài 2.8 Một của van hình chữ nhật đặt đứng có chiều rộng b = 3m, trọng lượng nặng 700kG có thể nâng lên hoặc hạ để khống chế lưu lượng qua cống. Mực nước thượng lưu H1 = 3m và mực nước hạ lưu H2 = 1.5m Xác định điểm đặt và áp lực tổng lên cửa van. Xác định lực nâng cửa van, biết chiều dày của van là a = 20 cm và hệ số ma sát tại các khe phai f = 1.4. Xác định điểm đặt bốn dầm ngang sao cho áp lực nước truyền lên từng dầm là như nhau. Giải Xác định điểm đặt và áp lực tổng lên của van. Áp lực phía thượng lưu : Trị số : Điểm đặt : Áp lực phía hạ lưu : Trị số : Điểm đặt : Áp lực tổng hợp : Điểm đặt áp lực tổng hợp lên cửa van : Ta có : G : trọng lượng tấm chắn : hệ số ma sát khe phai FAC : lực đẩy Acsimét. Lực nâng cửa van : Xác định điểm đặt bốn dầm ngang sao cho áp lực nước truyền lên từng dầm là như nhau : Áp lực lớn nhất khi H2 = 0 Áp lực là P1. Do đó mỗi dầm chịu 1 lực là Ta xem cửa sổ gồm 4 tấm ghép lại. Gọi A, B, C, D là 4 vị trí thấp nhất của biểu đồ áp suất tĩnh tác dụng lên 4 dầm. Bài 2.9 Xác định lực nâng Q để nâng tấm chắn nghiêng một góc , quay được quanh trục O. Chiều rộng tấm chắn b = 1.5m, khoảng cách từ mặt nước đến trục O là a = 20 cm. Góc , H = 1.5m. Bỏ qua trọng lựợng tấm chắn và ma sát trên bản lề của trục O. Giải Áp lực lên tấm chắn là : Vi trí tâm của áp lực : Để nâng được tấm chắn này lên thì : Vậy Q > 13406 (N) Bài 2.10 Một cửa van phẳng hình chữ nhật nằm nghiêng tựa vào điểm D nằm dưới trọng tâm C 20cm (tính theo chiều nghiêng) ở trạng thái cân bằng. Xác định áp lực nước lên của van nếu chiều rộng của nó b = 4m và góc nghiêng . Giải Ta có Mà Mặt khác Vậy Bài 2.11 Xác định lực tác dụng lên nắp ống tròn của thùng đựng dầu hỏa. Đường kính ống d = 600 mm, mực dầu H = 2.8m. Xác định điểm đặt của tổng tĩnh áp. Khối lượng riêng dầu hỏa là 880 kg/m3. Cho moment quán tính Giải Lực tác dụng lên nắp ống chính là lực dư : Trong đó : hc là khoảng cách từ tâm diện tích đến mặt thoáng = H - diện tích nắm ống tròn Điểm đặt : Với : Chương IV TỔN THẤT NĂNG LƯỢNG Bài 4.1 Từ bình A, áp suất tuyệt đối tại mặt thoáng trong bình là 1.2at, nước chảy vào bình hở B. Xác định lưu lượng nước chảy vào bình B, nếu H1 = 10m, H2 = 2m, H3 = 1m, đường kính ống d = 100mm, đường kính ống D = 200mm, hệ số cản ở khoa , bán kính vòng R = 100mm, bỏ qua tổn thất dọc đường. Giải Viết phương trình cho mặt cắt 1-1 & 2-2, lấy 2-2 làm chuẩn ta có: Trong đó : Với . Vì Lưu lượng nước chảy vào bình B là : Bài 4.2 Nước chảy từ bình cao xuống thấp qua ống có đường kính d = 50mm, chiều dài L = 30m. Xác định độ chân không ở mặt cắt x-x, nếu độ chênh lệch mực nước trong hai bình H = 4.5m, chiều cao của xi phông z = 2.5m, hệ số cản dọc đường , bán kính vòng R = 50mm, khoảch cách từ đầu ống đến mặt cắt x-x là L1 = 10m. Giải Viết phương trình Becnouly cho mặt cắt 1-1 & 2-2. Cho mặt cắt 2-2 làm chuẩn ta có : Trong đó : Thay vào (*) ta được : Vậy : Viết phương trình Becnouly cho mặt cắt 1-1 & x-x. Cho mặt cắt 1-1 làm chuẩn ta có : Trong đó : Thay vào (**) ta được : Mà Và Bài 4.3 Có một vòi phun cung cấp nước từ một bể chứa cao H = 10m, qua ống có đường kính d1 = 38mm, chiều dài L = 18m. Đường kính bộ phận lắng D = 200mm. Vòi phun là ống hình nón, miệng vòi, d2 = 20mm, có hệ số giãn cản tính theo vận tốc trong ống. Xác định lưu lượng Q chảy qua vòi và chiều cao dòng nước phun lên, giả thiết sức cản của không khí làm giảm đi 20% chiều cao. Cho hệ số giãn nở , hệ số tổn thất cục bộ của khóa , bán kính vòng R – 76mm. Giải Viết phương trình Becnouly cho mặt cắt 1-1 & 2-2. Cho mặt cắt 2-2 làm chuẩn ta có : Trong đó : V2 : lưu tốc nước chảy qua vòi phun A2 : tiết diện lỗ vòi phun : V : lưu tốc nước chảy trong ống A : tiết diện của ống : Trong đó : Thay vào (*) ta được : (**) Phương trình liên tục : Thế tất cả vào (**) ta được : Lưu lượng chảy qua vòi : Chiều cao nước phun lên : Bài 4.4 Máy bơm lấy nước từ giếng cung cấp cho tháp chứa để phân phối cho một vùng dân cư. (Hình 4.4) Cho biết : Cao trình mực nước trong giếng : z1 = 0.0m Cao trình mực nước ở tháp chứa nước z2 = 26.43m Ống hút: dài L = 10m, đường kính ống d = 250mm, các hệ số sức cản cục bộ: chỗ vào có lưới chắn rác() một chỗ uốn cong(),n = 0.013(ống nằm ngang bình thường) Ống đẩy : L =35m; d = 200mm; n=0.013; không tính tổn thất cục bộ. Máy bơm ly tâm : lưu lượng Q = 65L/s; hiệu suất ; độ cao chân không cho phép ở chỗ máy bơm cột nước. Yêu cầu : Xác định độ cao đặt máy bơm. Tính cột nước H của máy bơm. Tính cống suất N mà máy bơm tiêu thụ. Vẽ đường năng lượng và đường đo áp. Xem dòng chảy trong các ống thuộc khu sức cản bình phương. Giải Xác định độ cao đặt máy bơm : Máy bơm chỉ được đặt cách mặt nước trong giếng một khoảng hb nào đó không quá lớn để cho áp suất tuyệt đối ở mặt cắt 2-2 không quá bé một giới hạn xác định, tức áp suất chân không tại đây không vượt quá trị số cho phép . Mà theo đề thì cột nước . Viết phương trình Becnouly cho mặt cắt 1-1 & 2-2, lấy 1-1 làm chuẩn ta có : Trong đó : và : là tổng tổn thất cột nước trong ống hút. Thay vào (*) ta được : Vì : Theo đề : cột nước Tacó : Tính theo công thức Với Lưu tốc trong ống hút là : Vậy : Tính cột nước H của máy bơm. Là tỉ năng mà bơn phải cung cấp cho chất lỏng khi đi qua nó, được biểu diễn bằng cột nước H (M cột nước). Ta có : Trong đó : : là độ chênh lệch địa hình, tức là độ cao mà máy bơm phải đưa nước lên. : tổn thất cột nước trong ống hút. : tổn thất cột nước trong ống đẩy. Với Vđ là lưu tốc trung bình trong ống đẩy : Với Vậy cột nước của máy bơm là : cột nước. Tính cống suất N mà máy bơm tiêu thụ : Bài 4.5 Nước từ một bình chứa A chảy vào bể chứa B, theo một đường ống gồm hai loại ống có đường kính khác nhau. (Hình 4.5). Biết zA = 13m, zB = 5m, L1 = 30m, d1 = 150mm, ,d2 = 200mm, L2 = 50m, . Ống dẫn là loại ống gang đã dùng, giả thiết nước trong ống ở khu sức cản bình phương. Tính lưu lượng Q và vẽ đường cột nước, đường đo áp của đường ống. Giải Viết phương trình Becnouly cho mặt cắt 1-1 & 2-2, lấy 0-0 làm chuẩn ta có : Trong đó : Thay vào (1) ta được : Mặt khác : (2) Phương trình liên tục : Thay vào (2) ta được : (bể vào ống) (ống ra bể) Lưu lượng : Bài 4.6 Để đưa nước lên một tháp nước với lưu lượng Q = 40L/s, ta đặt một máy bơm ly tâm, cao hơn mực nước trong giếng hút là hb = 5m, mực nước trong tháp cao hơn máy ha = 28m, độ dài ống hút Lhút = 12m, độ dài ống đẩy Lđẩy = 3600m; đường ống hút và đẩy có hệ số ma sát . Tính đường kính ống hút và đẩy, tính công suất máy bơm, biết hiệu suất máy bơm là , hiệu suất động cơ , chân không cho phép của máy bơm là 6m. Giải Tính đường kính ống hút : Viết phương trình Becnouly cho mặt cắt 1-1 & 2-2, lấy 1-1 làm chuẩn ta có : Trong đó : và : là tổng tổn thất cột nước trong ống hút. Thay vào (1) ta được : Vì : Và : (2) Trong đó : và : ; Thay vào (2) ta được : Tính đường kính ống đẩy : Viết phương trình Becnouly cho mặt cắt 3-3 & 4-4 ta có : Trong đó : và : là tổng tổn thất cột nước trong ống hút. Thay vào (3) ta được : Vì : Và : (4) Giải tương tự Năng lượng tăng thêm : Công suất cần cung cấp cho máy bơm : BÀI TẬP CHƯƠNG V DÒNG CHẢY QUA LỖ, VÒI Bài 5.7 Xác định thời gian nước chảy hết một bể chứa lăng trụ, độ sâu nước trong bể H = 4m; có diện tích đáy , qua hai lỗ tròn, lỗ nằm ở thành bên cách đáy e = 2m và một lỗ ở đáy. Kích thước hai lỗ giống nhau d = 10 cm. Cho hệ số lưu lượng Giải Ta có (bỏ qua v0) T1 – thời gian qua 2 lỗ (mực nước từ H H-e) T2 – thời gian qua lỗ đáy (khoảng e) T – thời gian tháo toàn bộ Lưu lượng lỗ bên : Lưu lượng lỗ đáy : Bài 5.8 Tính thời gian tháo cạn bể chứa nước hình lăng trụ hình thang dài L = 4m, chiều rộng mặt thoáng B = 5m. Cho hệ số lưu lượng . Giải Diện tích của mặt thoáng Mà Ta có tỉ lệ : Thời gian để nước chảy hết bể là : Vậy thời gian để nước chảy hết bể là Bài 5.9 Tính thời gian tháo hết nước trong bể chứa hình trụ tròn có đường kính d = 2.4m, cao H = 6m trong 2 trường hợp. Bể chứa dựng đứng, ở đáy có khoét lỗ, diện tích Bể chứa nằm ngang, ở đáy có khoét lỗ, cũng có diện tích Cho biết trong cả hai trường hợp, mặt thoáng của bể đều thống với khí trời. Giải Bể chứa dựng đứng : Ta có : Thời gian tháo hết nước trong bể : Bể chứa nằm ngang : BÀI TẬP CHƯƠNG VI DÒNG CHẢY ỔN ĐỊNH, ĐỀU, CÓ ÁP TRONG ỐNG DÀI Bài 6.1 Xác định lưu lượng chảy từ bể chứa A qua bể chứa B. Ống gang trong điều kiện bình thường. Giải Lưu lượng : Ống gang bình thường : n = 0,0125 Modul lưu lượng : Lưu lượng : Bài 6.2 Xác định cột nước H cần thiết để dẫn từ bể A qua bể B lưu lượng Q = 50L/s. Kích thước đường ống xem ở bài 1. Giải Từ bài 1 ta có : K = 0,314 m3/s Cột nước : Bài 6.3 Xác định đường kính d của một ống thép mới để dẫn lưu lượng Q = 200L/s dưới cột nước tác dụng H = 10m. chiều dài ống L = 500m Giải Modul lưu lượng : Ống sạch : n = 0,011 Đường kính : Bài 6.4 Một lưới phân phối có sơ đồ và các số liệu cho ở hình vẽ. Cột nước tự do ở cuối các đường ống h 5m. Ống gang bình thường. Các số ở trong hình tam giác chỉ cao trình mặt đất tại các điểm. (Hình 6.4) Yêu cầu : Tính đường kính cho tất cả mạng chính và phụ. Tính chiều cao tháp chứa. Vẽ đường đo áp cho đường ống ABCDE. Giải Theo định nghĩa về đường ống chính ta chọn tuyến ống ABCDE và điểm E có cao trình không bé hơn so với các điểm khác. Ngoải ra chiều dài của tuyếnlà dài nhất. Các đường ống còn lại được coi là ống nhánh. Chọn đường kính và tính độ cao cho mạng ống chính. Điểm Đoạn ống L (m) Q (l/s) d (mm) (m/s) K (l/s) hd (m) Độ cao đo áp A 26,8 AB 500 65 300 0,92 1,042 1005,18 2,18 B 24,62 BC 600 50 250 1,02 1,028 618,15 4,03 C 20,59 CD 300 15 150 0,85 1,0525 158,31 2,83 D 17,76 DE 500 5 100 0,64 1,098 53,69 4,76 E 13 Chiều cao tháp chứa nước. Sau khi tính cho các đường ống chính ABCDE, ta được cột nước đo áp tại các đoạn ống nhánh còn lại (các điểm B, C, D) đều lớn hơn cột nước đo áp tại cuối đoạn đó (F, K, M, N). Do đó có thể xem việc chọn ABCDE làm ống chính là hợp lý. h = 26,8 – 10 = 16,8 (m) Chọn đường kính và độ cao cho nhánh. Nhánh L (m) Q (l/s) Cao trình các điểm đo áp K2.10-5 (l/s) hd (m) d (mm) Đầu ống Cuối ống BM 300 5 24,62 15 9,62 0,865 100 DN 700 10 14,62 15 9,62 8,065 125 CO 250 15 20,59 14 6,59 10,044 150 DP 400 10 17,76 12 5,76 14,285 125