Bài 2.1.Tích AB của các ma trận A và B sẽthay ñổi nhưthếnào nếu:
a. ðổi chỗdòng i và dòng j của ma trận A.
b. Nhân dòng j của ma trận A với sốc rồi cộng vào dòng i của nó.
c. ðổi chỗcột i và cột j của ma trận B.
d. Nhân cột j của ma trận B với sốc rồi cộng vào cột i của nó.
4 trang |
Chia sẻ: nhungnt | Lượt xem: 7787 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài tập đại số tuyến tính - Ma trận, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý
MA TRẬN
A. CÁC PHÉP TOÁN VỀ MA TRẬN:
Bài 2.1. Tích AB của các ma trận A và B sẽ thay ñổi như thế nào nếu:
a. ðổi chỗ dòng i và dòng j của ma trận A.
b. Nhân dòng j của ma trận A với số c rồi cộng vào dòng i của nó.
c. ðổi chỗ cột i và cột j của ma trận B.
d. Nhân cột j của ma trận B với số c rồi cộng vào cột i của nó.
Bài 2.2. Ký hiệu Ar x s là ma trận cấp r x s. Tìm m, n trong các trường hợp sau:
a. A3 x 4 B4 x 5 = Cm x n b. A2 x 3 Bm x n = C2 x 6 c. A2 x m Bn x 3 = C2 x 3
Bài 2.3. Cho các ma trận :
A =
3 0
-1 2
1 1
, B =
1 5 2
-1 1 0
-4 1 3
, C =
-3 -1
2 1
4 3
, D =
4 -1
2 0
Tìm các ma trận sau (nếu tồn tại) A + B, A + C, AB, BA, CD, DC, D2 .
Bài 2.4. Cho các ma trận:
A =
2 -1 3
0 1 2 , B =
-2 1
0 2
1 -1
, C =
1 1
0 1
a. Tính AB, ABC
b. Tính (AB)3, C n với n ∈ N.
c. Tìm ma trận chuyển vị của A.
Bài 2.5. Cho các ma trận: A =
0 2 -1
1 1 -1
-2 -5 4
, B =
1 3 1
2 2 1
3 4 2
, C =
1 0 0
0 2 0
0 0 1
Tính: A.B, D = BCA, D6
Bài 2.6 Cho X =
1 2
3 4
5 6
và Y =
-1
3
4
. Tìm XXt, XtX, YYt, YtY
Bài 2.7. Cho ma trận A =
1 -2 2
-6 1 4
2 -2 3
. Tìm ma trận X sao cho 3A + 2X = I3
Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý
Bài 2.8. Cho A =
-1 0 1
0 1 1 . Nếu B3 x2 sao cho AB = I2 thì :
B =
a b
-a-1 1 - b
a + 1 b
∀ a, b ∈ R. Khi ñó, CmR: (BA)2B = B.
Bài 2.9. Cho A =
4 -3
1 0 . CmR A
n
=
3n - 1
2 A +
3 - 3n
2 I2, với mọi n ≥ 1, n ∈ N
B. HẠNG CỦA MA TRẬN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH:
Bài 2.9 Tìm dạng bậc thang dòng rút gọn của ma trận:
a.
3 21 0 9 0
1 7 -1 -2 -1
2 14 0 6 1
6 42 -1 13 0
b.
1 1 0 -3 -1
1 -1 2 -1 0
4 -2 6 3 -4
2 4 -2 -4 -7
Bài 2.10 Tìm hạng của ma trận:
a.
1 0 -2
-4 -1 5
1 3 7
5 0 -10
b.
1 -3 4 2
2 1 1 4
-1 -2 1 -2
c.
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
d.
1 2 3 4
2 4 6 8
-1 3 -3 6
0 1 0 2
5 10 15 20
e.
0 4 10 1
4 8 18 7
10 18 40 17
1 4 17 3
f.
1 2 0 30 -1 2 7
1 0 0 -5
0 1 0 2
Bài 2.11 Tùy theo giá trị của m, tính hạng của ma trận sau:
a.
-1 0 2 1 0
2 1 -1 2 2
1 1 1 3 2
-2 -1 1 m -2
b.
-1 2 1 -1 1
m -1 1 -1 -1
1 m 0 1 1
1 2 2 -1 1
c.
-1 2 1 -1 1
m -1 1 -1 -1
1 m 0 1 1
1 2 2 -1 1
d.
m 1 1 1
1 m 1 1
1 1 m 1
1 1 1 m
e.
3 m 1 2
1 4 7 2
1 10 17 4
4 1 3 3
f.
-1 12 4 8
2 1 1 3
-2 24 8 16
m 3 1 2
Bài 2.12 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss hoặc Gauss - Jordan:
a.
x1 - x2 + x3 = -2
2x1 + x2 - 2x3 = 6
x1 + 2x2 + 3x3 = 2
b.
-x1 + 2x2 = 8
3x1 + x2 + x3 = 2
-2x1 - x2 = 1
Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý
c.
2x1 - x2 + 3x3 - x4 = -1
-x1 + 2x2 - x3 + 3x4 = 3
x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 4
d.
36.47x + 5.28y + 6.34z = 12.26
7.33x + 28.74y + 5.86z = 15.15
4.63x + 6.31y + 26.17z = 25.22
e.
2x1 - 3x2 - 4x3 + 5x4 = -13
4x1 - 6x2 + x3 - x4 = 14
6x1 - 9x2 + x3 + 2x4 = 13
2x1 - 3x2 - 2x3 - 4x4 = 9
f.
x1 - 4x2 + 3x3 = -22
2x1 + 3x2 + 5x3 = 12
x1 + 7x2 + 2x3 = 34
3x1 - x2 - 2x3 = 0
g.
6x1 - 5x2 - 7x3 + 8x4 = 3
3x1 + 11x2 + 2x3 + 4x4 = 14
3x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1
x1 + x2 + x3 = 0
h.
x + y + z + u + t = 15
x + 2y + 3z + 4u + 5t = 35
x + 3y + 6z + 10u + 15t = 70
x + 4y + 10z + 20u + 35t = 126
x + 5y + 15z + 35u + 70t = 210
Bài 2.13 Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số thực m ∈ R:
a.
3mx + (3m - 7)y + (m - 5)z = m - 1
(2m - 1)x + (4m - 1)y + 2mz = m + 1
4mx + (5m - 7)y + (2m - 5)z = 0
b.
x + 2y - z + t = m
2x + 5y - 2z + 2t = 2m + 1
x + + 7y - 5z + t = -m
Bài 2.14 Cho A = (aij)n x n
a. Nếu A2 = 0 thì A là ma trận suy biến (Không khả nghịch)
b. Nếu A2 = A và A ≠ In thì A suy biến.
Bài 2.15 Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của các ma trận sau (bằng pp Gauss - Jordan)
a.
1 0 1
0 0 2
-1 3 1
b.
1 1 -1
0 0 1
1 1 0
c.
0 0 2
1 2 6
3 7 9
d.
1 1 1
-1 1 0
2 0 0
e.
1 2 3
4 5 6
5 7 9
f.
0 0 2
1 2 6
3 7 9
Bài 2.16 Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của các ma trận sau (bằng pp Gauss - Jordan)
a.
0 0 0 40 0 3 0
0 2 0 0
1 0 0 0
b.
1 1 0 10 0 1 1
1 1 1 1
1 0 0 1
c.
1 1 0 10 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý
d.
1 2 4 60 1 2 0
0 0 1 2
0 0 0 2
e.
1 -2 1 -1
-1 4 -2 3
2 0 1 3
-2 6 0 5
f.
2 -1 0 3
1 1 2 -1
-1 2 3 1
0 1 2 1
Bài 2.17 Cho A =
1 4
-3 1 .
CmR A2 – 2A + 13 I2 = 0. Từ ñó suy ra rằng A-1 = -
1
13 (A – 2 I2). Tính A
-1
Bài 2.18 Cho A =
1 1 -1
0 0 1
2 1 2
a. CmR A3 = 3A2 – 3A + I3
b. Biểu diễn A4 theoA2, A và I3. Từ ñó xác ñịnh A4 dưới dạng tường minh
c. Sử dụng câu a ñể chứng minh rằng A khả nghịch và tìm A-1.
Bài 2.19
a. Cho B là ma trận vuông cấp n thỏa B3 = 0. Nếu A = In – B, chứng minh rằng ma trận
A không suy biến và A-1 = In + B + B2
b. Áp dụng: nếu B =
0 r s
0 0 t
0 0 0
. Tìm (I3 – B)-1