Bài tập đồ họa kỹ thuật

Chương 1 Bài 1-1: ABCDEF là lục giác đều. Đã biết hình chiếu song song của ABD lên mặt phẳng P là A’B’D’. Hãy vẽ hình chiếu của lục giác đó. D’ O’ B’ A’ C’ E’ F’ Bài 1-2: ABC là tam giác vuông cân, có góc Â=90o . Cạnh AB// mặt phẳng P’. Đã biết chiều dài đoạn AB=AC=d. Cho biết hình chiếu thẳng góc của AC là A’C’. Tìm độ lớn của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng P’. B’ A’ B’ A’ C’ H C’ Δz  Π’ A B C  E I d - Góc Â=90o và AB//∏’ → Â’=90o, A’B’=d - A’B’C’ là hình chiếu của tam giác ABC lên ∏’ - Xét tam giác BCH có: BH=B’C’ BC=B’E →α ĐLT: BC Bài 1-3: Cho tam giác ABC cân, AB=AC và góc Â=45o. Hình chiếu song song của tam giác là A’B’C’ là tam giác bất kỳ. Tìm hình chiếu của hai đường cao BE và CF. - ΔAFC=ΔABE là tam giác vuông cân. - Ta có A B C E F B’ A’ C’ E’ F’ E* F* Bài 1-4: Cho mặt phẳng P và P’ cắt nhau theo giao tuyến D .Tam giác ABC thuộc mặt phẳng P. Có AB// D . Hình chiếu song song của A lên P’ là A’. Tìm B’C’ C B A D C’ B’ A’ P P’ E≡E’ Chương 2 Bài 2-1: Hãy lập đồ thức của các điểm đã cho trong không gian như hình vẽ Π2 Π1 x A2 A1 B2 B1 C1 =C2 D2 D1 E1 F1 E2 F2 Π1 Π2 B A F E D C Bài 2-2: Tìm hình chiếu thứ ba của các điểm từ hai hình chiếu đã cho x(+) z(+) y(+) y(+) A2 A1 B2 B1 C2 C3 C1 A3 B3 Bài 2-3: Cho hai đường thẳng AB và CD. Không dùng hình chiếu cạnh, hãy xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng đó. A1 A2 B2 B1 C1 C2 D1 D2 C1 C2 D1 D2 A1 A2 B2 B1 I1 I2 I2 I1 I’1 x x AB và CD chéo nhau AB và CD chéo nhau Bài 2-4: Vẽ hình chiếu A’B’ của đoạn thẳng AB theo hướng chiếu t lên mặt phẳng phân giác II - Tìm hình chiếu A’ của A theo hướng chiếu t lên mặt phẳng phân giác II - Tìm hình chiếu B’ của B theo hướng chiếu t lên mặt phẳng phân giác II - Để xét xem t có cắt AB không thì xét hình chiếu của t lên mặt phẳng phân giác II là T’ có thuộc A’B’ hay không. A1 A2 B2 B1 A’1≡A’2 T’1≡T’2 t1 t2 b1 a1 b2 a2 B’1≡B’2 x Bài 2-5: Qua điểm M vạch một đường thẳng song song với d và một đường thẳng song song với CD C1 C2 D1 D2 M1 N1 N2 M2 l1 d2 d1 l2 I1 I2 Bài 2-12: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai điểm đã cho A và B Tập hợp các điểm cách đều hai điểm đã cho A và B là mặt phẳng đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB. a) B1 A1 A2 B2 B1 A1 A2 B2 H1 H2 H1 H2 h1 f1 h2 f2 α1 α2 α1 b) Bài 2-14: Vẽ nốt hình chiếu bằng của tam giác ABC (vuông tại A) B1 A1 A2 B2 C1 C2 h1 f1 h2 f2 11 12 22 21 Bài 2-16: Vẽ nốt các hình chiếu của hình chữ nhật ABCD biết AB// Π1 C1 C2 D1 B2 A2 B1 A1 D2 x Bài 2-17: Vẽ hình chiếu bằng của tam giác đều ABC có hình chiếu đứng là tam giác cân, cạnh bên nhỏ hơn cạnh đáy. C1 C2 A2 B1 A1 B2 Δy Δy H1 H2 Δy B’2 ĐLT: AC=A1C1 A* Bài 2-18: Vẽ nốt hình chiếu của hình hình vuông ABCD biết hình chiếu bằng của nó là một hình chữ nhật. C1 C2 B2 A2 B1 A1 D2 D1 Bài 3-1: a) Cho mặt phẳng α bằng các vết. Hãy vẽ nốt hình chiếu bằng A2B2 của AB biết AB thuộc α x A2 A1 B2 B1 D1 N1 M1 N2 M2 m1 n2 m2 ≡ n1 Bài 3-1: b) Cho mặt phẳng chiếu cạnh α(m,n). Hãy vẽ nốt hình chiếu đứng A1B1 của AB biết AB thuộc α B1 B2 x(+) z(+) y(+) A2 A1 m3 m1 n2 y(+) A3 ≡ C3 Bài 3-2: Vẽ nốt hình chiếu đứng A1K1 của đoạn AK thuộc mặt phẳng ABC K1 K2 A2 A1 B1 B2 C1 C2 I1 I2 C* I* Bài 3-3: Vẽ vết của mặt phẳng α(a,b). αx m1 n2 b2 a1 b1 a2 M’1 M1 M’2 M2 I1 I2 N1 N2 N’1 N’2 x Bài 3-4: Qua điểm A hãy vạch một mặt phẳng sao cho vết bằng của nó hợp với trục x góc 30o và vết đứng hợp với trục x một góc 60o A2 A1 m1 n2 αx x M1 M2 60o 30o h1 h2 Bài 3-5: Xác định góc nghiêng của mặt phẳng ABC với mặt phẳng Π2 - Vẽ đường bằng Ah thuộc mặt phẳng α(ABC) - Vẽ đường dốc nhất CD: + C2D2 ^A2h2 +D2 Îh2 - Tìm góc tạo bởi đường dốc nhất CD với П2: Góc φ tìm được là góc tạo bởi mặt phẳng α(ABC) với mặt phẳng П2. h1 h2 A1 C1 B1 A2 C2 B2 12 11 D1 D2 φ Bài 3-6: Cạnh AB của hình vuông ABCD thuộc mặt phẳng α là một đường bằng. Đã cho trước hình chiếu bằng của hình vuông và vết bằng n của α. Hãy vễ nốt hình chiếu đứng của hình vuông đó. A1 B1 A2 B2 D1 C1 N1 M1 N2 M2 B* M* φ αx Tìm vết đứng của mặt phẳng α bằng cách: Xác định cao độ của điểm M: + Xác định góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng Π2. Từ đó suy ra cao độ điểm M. D2 C2 φ mα nα Bài 3-7: Cho đường bằng h thuộc mặt phẳng α. Hãy vẽ vết của mặt phẳng α biết rằng α nghiêng với Π2 góc 45o. Δz Δz Q1 Q2 M2 M1 mα nα x P1 P2 h1 h2 45o d2 Q* d1 αx Bài 3-8: Vẽ các vết của của mặt phẳng P chứa đường thẳng t biết P nghiêng với Π2 một góc cho trước - Tìm vết bằng N và vết đứng S của t. ta có mp sẽ đi qua S1 và np sẽ đi qua N2. - Vẽ một nón tròn xoay đỉnh là S có đáy thuộc Π2 và đường sinh biên của nó tạo với trục x một góc φ. - Từ N vẽ hai đường tiếp tuyến với đường tròn đáy chính là hai vết bằng của mặt phẳng P mP nP m’P n’P t1 t2 N2 N1 x S1 S2 S N t φ φ T T’ αx α’x T’ T O Bài 3-9: Vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng cho trong các trường hợp cho bằng vết sau đây: - Tìm hai điểm chung M, N của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (β): + M1≡ mα∩mβ Þ M2 Îx + N2≡ nα∩nβ Þ N1 Îx - g1 đi qua các điểm M1 và N1 - g2 đi qua các điểm M2 và N2 Ta có g(g1,g2) ≡ α(mα,nα) ∩ β(mβ,nβ) x mα N1 N2 M1 M2 g1 g2 nα mβ nβ a) x m1 ≡ n2 b) m’1 ≡ n’2 M1 ≡ N2 g1 ≡ g2 M2 ≡ N1 m2 ≡ n1 ≡ m’2 ≡ n’1 c) x N1 N2 g1 g2 m’1 n2 m2 ≡ n1 ≡ m’2 ≡ n’1 m1 n’2 Dựa vào định lý: Nếu a//b và mặt phẳng Q(a) cắt mặt phẳng R(b) theo đường thẳng c thì c//a//b d) Dựa vào định lý: Nếu a//b và mặt phẳng Q(a) cắt mặt phẳng R(b) theo đường thẳng c thì c//a//b x N1 N2 g1 g2 m’1 n2 m2 ≡ n1 ≡ m’2 ≡ n’1 m1 n’2 M1 M2 I1 I2 M’1 M’2 Bài 3-10: Vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng P và Q cho bằng vết (vết cắt nhau ở ngoài tờ giấy vẽ) x g1 g2 mQ mP m2 ≡ n1 ≡ m’2 ≡ n’1 f1 d1 f’1 d’1 nP nQ α2 ≡ f2 ≡ d2 α’2 ≡ f’2 ≡ d’2 Bài 3-11: Vẽ giao tuyến tam giác ABC và DEF. Xét thấy khuất. C1 B1 A1 A2 B2 C2 D1 F1 E1 K1 N1 K2 N2 11 12 21 22 31 32 E2 F2 D2 41 42 Bài 3-12: Vẽ giao tuyến của mặt phẳng P với mặt phẳng phân giác 1 (a) và giao tuyến của mặt phẳng ABC với mặt phẳng phân giác 2 (b). mP d2 nP α1 ≡ d1 ≡ l1 N1 N2 M1 M2 I1 I2 g1 g2 a) x αx l2 Bài 3-12: Vẽ giao tuyến của mặt phẳng P với mặt phẳng phân giác 1 và giao tuyến của mặt phẳng ABC với mặt phẳng phân giác 2. b) C1 B1 A1 A2 B2 C2 I1 ≡ I2 K1 ≡ K2 x g1 ≡ g2 Bài 3-13: Vẽ giao điểm của đường thẳng DE với mặt phẳng ABC. C1 B1 A1 A2 B2 C2 D1 E1 E2 D2 α1 ≡ g1 g2 I2AB I2ED I1AB ≡ I2DE a) 11 12 21 22 K1 K2 Bài 3-13: Vẽ giao điểm của đường thẳng DE với mặt phẳng ABC. b) C1 B1 A1 A2 B2 C2 D1 E1 E2 D2 H1 K1 H2 K1 I2 I1 H3 D3 E3 K3 I3 y x z y 1 Bài 3-14: Vẽ giao điểm của đường thẳng l với mặt phẳng α(m,n) trong các trường hợp sau: x N1 N2 M2 M1 g1 K1 K2 l2 mα nα φ2 ≡ ≡ g2 a) g2 l1 Bài 3-14: Vẽ giao điểm của đường thẳng l với mặt phẳng α(m,n) trong các trường hợp sau: x l1 N1 N2 M2 M1 g2 K1 K2 l2 mα nα φ1 ≡ ≡ g1 c) Bài 3-14: Vẽ giao điểm của đường thẳng l với mặt phẳng α(m,n) trong các trường hợp sau: x N2 K1 K2 l2 ≡ g1 b) g2 l1 φ1 ≡ N1 mα ≡ nα Bài 3-14: Vẽ giao điểm của đường thẳng l với mặt phẳng α(m,n) trong các trường hợp sau: d) B1 B2 x(+) z(+) y(+) A2 A1 m3 m1 n2 y(+) K3 A3 B3 K1 K2 Bài 3-15: Qua điểm A vạch một đường thẳng tựa trên trục x và đường thẳng l (vạch một đường thẳng cắt trục x và đường thẳng l) A1 A2 ≡ K2 K1 I2 I1 N1 N2 N’1 N’2 nα E1 E2 d1 d2 l1 l2 x Đường thẳng d đi qua A cắt l ,x. Vậy d là giao tuyến của hai mặt phẳng (A,l) và (A,x). Ta có A là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng. Điểm chung thứ hai tìm bằng cách: Lập mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng hình chiếu bằng Π2 + x≡ Π2 ∩(A,x) ≡ x + Π2 ∩(A,l) ≡ nα + K ≡ nα ∩ x là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng Bài 3-16: Qua điểm K hãy vạch một đường thẳng tựa trên (cắt) hai đường thẳng chéo nhau a và b l2 a1 b1 b2 a2 c1 c2 K2 K1 I2 I1 E1 E2 ≡ φ1 ≡ l1 12 11 21 22 F2 F1 Đường thẳng t cần tìm đi qua K cắt a ,b là giao tuyến của hai mặt phẳng (K,a) và (K,b). Ta có K là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng. Điểm chung thứ hai tìm bằng cách: - Tìm giao điểm I của đường thẳng b với mặt phẳng (K,a) - EI là đường thẳng cần tìm. Bài 3-17: Tìm tập hợp các đường thẳng đi qua điểm K và song song với mặt phẳng α đã cho K2 K1 x α2 β2 K2 K1 nβ mβ x mα nα f1 f2 Tập hợp các đường thẳng đi qua điểm K và song song với mặt phẳng α đã cho là mặt phẳng β chứa K và song song với α Bài 3-18: Tìm tập hợp các đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng k A2 A1 α2 k2 x A2 A1 k2 k1 k1 h1 f2 f1 h2 α2 α1 Tập hợp các đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng k là mặt phẳng α chứa A và vuông góc với đường thẳng k Bài 3-19: Tìm tập hợp các điểm cách đều mặt phẳng P một đoạn a đã cho Tập hợp các điểm cách đều mặt phẳng P một đoạn a đã cho là mặt phẳng song song với P và cách P một đoạn bằng a. a x P2 Q2 R2 a) Bài 3-19: Tìm tập hợp các điểm cách đều mặt phẳng P một đoạn a đã cho mα nα mP nP h1 h2 A1 H1 ≡ H2 K1 K2 x a A2 A* K* x Tập hợp các điểm cách đều mặt phẳng P một đoạn a đã cho là mặt phẳng song song với P và cách P một đoạn bằng a. b) t1 t2 M1 M2 Bài 3-21: Tìm tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC Tập hợp các điểm cách đều ba điểm của tam giác ABC là giao của mặt phẳng trung trực của hai cạnh AB và AC B1 A1 A2 B2 H1 C1 C2 K2 Vì AB // Π1 Þ mặt phẳng trung trực α ^ Π1 AC // Π2 Þ mặt phẳng trung trực β ^ Π2 + g ≡ α ∩ β Þ g1 ≡ α1 g2 ≡ β2 ≡ g1 α1 ≡ g2 β2 Bài 3-22: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng cắt nhau đã cho Tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng cắt nhau đã cho là mặt phẳng phân giác của hai mặt phẳng đó x x α2 β2 α1 β1 P2 Q2 g1 g2 P1 g1 g2 Bài 3-23: Hãy dựng đường thẳng cắt ba đường thẳng chéo nhau a, b, c lần lượt tại A, B, C sao cho AB=BC. Cho biết đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng Π2 a1 b2 a2 c1 c2 b1 C1 ≡ B1 A1 A2 B2 C2 D O x Bài 3-24: Vẽ nốt hình chiếu bằng l2 của l biết l đi qua K và song song với mặt phẳng ABC A1 B1 A2 B2 C1 C2 I1 I2 K1 K2 a1 a2 l2 l1 x Bài 3-25: Hãy vẽ đồ thức của đường thẳng a song song với mặt phẳng phân giác I và đồ thức của đường thẳng b song song với mặt phẳng phân giác II. Nhận xét về đồ thức của những đường thẳng đó. Nhận xét: - a’ thuộc mặt phẳng phân giác I nên a’1 và a’2 đối xứng nhau qua trục x Þ a1 và a2 đối xứng nhau qua hướng song song với trục x. - b’ thuộc mặt phẳng phân giác II nên b’1 ≡ b’2 Þ b1//b2// b’1 ≡ b’2 x ≡ b’2 b’1 b1 b2 a1 a2 a’1 a’2 Bài 3-27: Qua ba điểm A, B, C hãy dựng ba mặt phẳng chiếu bằng α(chứa A), β(chứa B), γ(chứa C) song song với nhau sao cho mặt phẳng β cách đều hai mặt phẳng α và γ B1 A1 A2 B2 K1 K2 C1 C2 β2 α2 γ2 Bài 3-28: Tìm khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng α trong ba trường hợp a) α là mặt phẳng chiếu đứng H1 H2 K1 K2 x α1 Bài 3-28: Tìm khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng α trong ba trường hợp b) α được cho bởi cặp vết mα và nα K1 K2 ĐLT: KH H1 H2 M1 M2 N2 N1 x ≡ g1 α1 g2 t1 t2 mα ≡ nα K* Bài 3-28: Tìm khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng α trong ba trường hợp c) α được cho bởi hai đường thẳng song song a và b K1 K2 t1 t2 h1 f1 h2 f2 a1 b1 a2 b2 11 12 22 21 32 42 31 41 ≡ g1 α1 51 52 61 62 g2 H1 H2 ĐLT: KH K* Bài 3-29: Tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng l mα nα A1≡ A2 l1 l2 A* 11 12 22 21 H1 H2 ≡ g2 α2 ĐLT: AH g1 Bài 3-30: Vẽ nốt hình chiếu bằng của tam giác ABC (vuông tại A) B1 A1 A2 B2 C1 C2 h1 f1 h2 f2 11 12 22 21 ≡ g1 α1 g2 Bài 3-31: Dựng tam giác ABC cân ở đỉnh A sao cho đỉnh A thuộc đường thẳng t cho trước t1 t2 h1 f1 h2 f2 B1 A1 A2 B2 C1 C2 I1 I2 11 12 22 21 ≡ g1 α1 g2 Bài 3-32: Dựng tam giác ABC vuông cân ở đỉnh A sao cho cạnh góc vuông AC thuộc đường thẳng t cho trước h1 f1 h2 f2 g2 B1 A1 A2 B2 C1 C2 D2 D1 C* D* t1 t2 11 12 22 21 B* ĐLT: AB ≡ g1 α1 C’2 C’1 Bài 3-33: Tìm trên mặt phẳng α(a,b) quỹ tích các điểm cách đều hai điểm E, F a1 a2 b1 b2 E1 E2 F1 E2 F2 h1 h2 f1 f2 I1 I2 11 12 22 21 K1 K2 31 32 42 41 L1 L2 ≡ g1 α1 g2 ≡ g’2 α’2 g’1 Nhận xét: Quỹ tích các điểm thuộc mặt phẳng α (a,b) cách đều hai điểm E,F là giao tuyến của hai mặt phẳng α(a,b) và (f,h) Bài 3-34: Qua điểm K vẽ mặt phẳng β vuông góc với hai mặt phẳng (ABC) và α(m,n) B1 A1 A2 B2 K1 K2 C1 C2 β2 h’1 m1 n1 m2 n2 h’2 f’1 f’2 11 12 22 21 31 32 42 41 51 52 β1 f1 h1 h2 f2 Nhận xét: Nếu đường thẳng k vuông góc với mặt phẳng Q thì mọi mặt phẳng bất kỳ R(k) đều vuông góc với Q a1 b1 b2 a2