Bài tập giới hạn hàm số

CHỦ ĐỀ 15: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN. a.Giới hạn hữu hạn. Giả sử
là một khoảng chứa điểm
và f là một hàm số xác định trên khoảng
. Khi đó
nếu
trong tập hợp
mà
,ta đều có
. b.Giới hạn vô cực.
nếu
dãy

mà
, ta đều có

. 2.Giới hạn hàm số tại vô cực. +/ Giả sử ta có hàm số f xác định trên
. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến
nếu với mọi dãy
trong khoảng
mà
,ta đều có
. Ta viết
.
2.Một số định lý về giới hạn. Định lý 1: Giả sử
. Khi đó: a/
b/
c/
d/
. Định lý 2: Giả sử
, khi đó: a/

. b/
. c/ Nếu
,trong đó J là một khoảng nào đó chứa điểm
thì
. 4. Giới hạn một bên. +/ Giả sử hàm số f xác định trên khoảng
.Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là L khi x dần đến
(hoặc tại điểm
),nếu với mỗi dãy
trong khoảng
mà
,ta đều có
. Ta viết
. +/ Định nghĩa tương tự cho
. +/ Hàm số có giới hạn tại
và
tồn tại
,
và
. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực. +/ Nếu
thì
. +/ Quy tắc 1. Nếu
,thì
cho bởi bảng sau:
 Dấu của L 
 


 


 


 


  Quy tắc 2:
và


, trong đó J làmộy khoảng nào đó chứa điểm
,thì
cho bởi bảng sau: Dấu của L  Dấu của f(x) 
 


 


 


 


  6. Một số dạng vô định Dạng
: Cách khử : +/ Phân tích tử và mẫu thành tích để giải ước nhân tử chung. +/ Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp. Dạng
: +/ Chia cả tử và mẫu cho
,với k là số mũ cao nhất của biến số x.(Hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử
rồi giản ước). +/ Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn, thì đưa
ra ngoài (k là bậc cao nhất của x trong căn) trước khi chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của x. Dạng
và dạng
: +/ Nhân và chia với biểu thức liên hợp,nếu có biểu thức chứa biến x dưới dấu căn hoặc quy đồng mẫu để đưa về cùng một phân thức. II. Kĩ năng cơ bản. Vận dụng linh hoạt các định lý về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực để giải các bài toán về giới hạn hàm số. III. Một số ví dụ: A.Ví dụ tự luận: Ví dụ 1: Áp dụng định nghĩa tính
. Giải : +/ Hàm số
xác định trên
. +/ Giả sử
là dãy số tùy ý mà
. Khi đó
+/ Vậy
. Ví dụ 2: Áp dụng định nghĩa tính
. Giải : +/ Hàm số
xác định trên
. +/ Giả sử
là dãy số tùy ý mà
. Khi đó
+/ Vậy
. Ví dụ 3: Tính 1/
2/
. Giải : 1/ Ta có :
. 2/ Ta có :
. Lưu ý : Do
nên
. Ví dụ 3: Cho hàm số
. Tính
. Giải : +/ Ta có hàm số f(x) xác định trên tập
. +/
. +/
. +/ Do
nên
. Ví dụ 4: Tính 1/
3/
2/
. Giải : 1/ Ta có
.



Ví dụ 5: Tính 1/
2/
2/
4/
. Giải :

2/ Ta có

4/ Ta có
. Mặt khác

Vậy
. Ví dụ 6: Tính
Giải:



B. Ví dụ trắc nghiệm. Chọn phương án đúng cho mỗi ví dụ sau: Ví dụ 7:
bằng: A.0 B.
C.
D.2 Ví dụ 8 :
bằng: A.1 B.0 C.
D.
Ví dụ 9:
bằng: A.2 B.4 C.
D.
Ví dụ 10:
bằng: A.
B.
2 C.1 D.2 Ví dụ 11: Cho hàm số
Khi đó
bằng A.1 B.2 C.không tồn tại D.3 Ví dụ 12:
bằng: A.2 B.0 C.1 D.
Ví dụ 13:
bằng: A.1 B.1,5 C.3 D.3,5 Ví dụ 14:
bằng: A.
B.
C.1 D.0 Ví dụ 15:
bằng: A.
B.
C.1 D.2 Đáp án: VD7  VD8  VD9  VD10  VD11  VD12  VD13  VD14  VD15   B  C  D  C  D  A  C  C  D   II.Bài tập A.Bài tập tự luận Bài1:Dùng định nghĩa tính giới hạn.

. HD: +/ Xem lại ví dụ 1. +/ Đ/S: 1/
2/ 1 . Bài 2 : Tính
HD : 1/ Để ý:

2/ Để ý:

Bài 3: Tìm a để hàm số
Có giới hạn khi x dần đến 2. HD:
+/ Phải có
. +/ Vậy với
thì hàm số có giới hạn khi x dần đến 2.
. Bài 4: Tính
HD : Xem lại cách làm ở ví dụ 5. Đ/S: 1/
2/
3/ Lưu ý để cho gọn ta biến đổi
Nên giới hạn cần tính bằng:
4/ Để rút gọn ta biến đổi:
Như vậy giới hạn cần tính bằng
Bài 5:Tính
HD: 1/ Biến đổi giới hạn cần tính bằng
2/ +/ Tương tự câu 1,thêm bớt 2 ở tử. +/ Đáp số
. 3/ +/ Nhân liên hợp cả tử và mẫu. +/ Đáp số: 1 4/ +/ Biến đổi:
+/ Từ đó tính được giới hạn đã cho bằng
. Bài 6 :Tính
HD: Xem lại cách làm ở ví dụ 6. Đ/S: 1/ 5 2/
3/
4/ 0 5/
6/
7/ 1 8/ 2 Bài 7: Tính giới hạn sau theo a.
HD: 1/ Ta có
+/ Trường hợp 1:

+/ Trường hợp 2:
.
+/ Vậy
. 2/ Ta có:
.
+/ Trường hợp 1:

. +/ Trường hợp 2:

+/ Trường hợp 3:

. Vậy
B.Bài tập trắc nghiệm. Bài 1). Giới hạn
bằng : A). 3. B). 2. C). 1. D).
. Bài 2). Giới hạn
bằng : A). 3. B). 1. C). 6. D). 2,5. Bài 3). Giới hạn
bằng : A).
B).
C).
D).
Bài 4). Giới hạn
bằng : A).
. B). 1 C). 0. D).
. Bài 5). Giới hạn
bằng : A).
. B). 2. C).
. D). 4. Bài 6). Giới hạn
bằng : A).
B).
C).
D).
Bài 7). Giới hạn
bằng : A). 2. B). 3. C).
. D).
. Bài 8). Giới hạn
bằng : A).
. B).
. C).
. D).
. Bài 9). Giới hạn
bằng : A).
. B).
. C).
. D).
. Bài 10). Giới hạn
bằng : A). 3. B). 11. C). 14. D). 13. Bài 11). Giới hạn
bằng : A). 8. B). 4. C). 0. D). 2. Bài 12). Giới hạn
bằng : A). 12. B). 6. C). 4. D). 8. Bài 13). Giới hạn
bằng : A).
B).
C).
D).
Bài 14). Giới hạn
bằng : A). - 2. B). 2. C).
. D). 4. Bài 15). Giới hạn
bằng : A).
. B).
. C).
. D).
. Bài 16). Giới hạn
bằng : A).
B).
C). 0. D).
Đáp án: Bài 1  Bài 2  Bài 3  Bài 4  Bài 5  Bài 6  Bài 7  Bài 8   B  B  D  C  C  B  D  D   Bài 9  Bài 10  Bài 11  Bài 12  Bài 13  Bài 14  Bài 15  Bài 16   B  B  B  A  B  B  D  C