Bài tập lớn đàn hồi ứng dụng

BÀI TẬP LỚN ĐÀN HỒI ỨNG DỤNG - PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN c & d Giải bài toán bằng phương pháp phần tử hưu hạn đối với các tấm chịu lực cho trên các sơ đồ kèm theo, số phần tử lấy bằng 4 theo gợi ý trên sơ đồ. Cho biết E, q, a, bề dày của tấm là h, lấy n = 0,25. Số liệu được giao: Sơ đồ liên kết: 2 Sơ đồ hình học: VII Sơ đồ tải trọng: B Trình tự thực hiện: Vẽ lại các tấm với các kích thước, liên kết và tải trọng theo các sơ đồ được giao. Chia tấm thành 4 phần tử tam giác theo gợi ý trên sơ đồ. Đánh số tên các phần tử, tên các nút. Gọi tên các ẩn số chuyển vị nút, viết vecto chuyển vị nút. Xác định ma trận độ cứng của từng phần tử, kèm theo ký hiệu của các thành phần trong ma trận. Tìm ma trận độ cứng chung cho toàn tấm. Tìm vecto ngoại lực nút Theo điều kiện biên, khử dạng suy biến của ma trận độ cứng, thu gọn dạng phương trình để giải P = K.X Giải phương trình. Viết lại kết quả của vecto chuyển vị nút. Tính các ứng suất sxx; syy; sxy trong từng phần tử. Tính ứng suất tại các nút theo các giá trị trung bình: s = 1n Ssr Chia phần tử, đánh số phần tử, số nút, số ẩn số, biểu diễn liên kết: Tấm được chia làm 4 phần tử I, II, III, IV, có sáu nút 1, 2, 3, 4, 5, 6, mỗi nút có hai chuyển vị. Được thể hiện trên hình 1 Hình 1 Phần tử I. Tên gọi và thứ tự nút: 1, 5, 2 (ngược chiều kim đồng hồ). Tọa độ nút: 1(0, 2a); 5(0, 0); 2(a, a). Véc tơ ẩn số nút: dT = {X1 X2 X3 X4 X5 X6} (theo thứ tự nút). Diện tích phần tử: D = a2 Ma trận hình học B1: BI = 12Db10b20b300c10c20c3c1b1c2b2c3b3 Trong đó: bi = yj - yk ci = xk - xj với các chỉ số i, j, k được hoán vị vòng tròn. Ta có: b1 = - a ; b2 = - a ; b3 = 2a c1 = a ; c2 = -a ; c3 = 0 BI = 12a-10-1020010-1001-1-1-102 Ma trận vật lí D: D = C1C1C20C1C2C1000C12 Với: C1= E1-n2 , C2 = n cho ứng suất phẳng. C1= E.1-n1+n1-2n , C2 = n1-n cho biến dạng phẳng. C12 = C11-C22 cho cả 2 trường hợp. Ta có: n = 0.25 Cho ứng suất phẳng: C1 = E1-0,252 = 1615E C2 = 0,25 C12 = 16E.1-0,2515.2 = 25E D = 16E1510,2500,2510000,375 D = 2E15820280003 D.BI = 2E15820280003.12a-10-1020010-1001-1-1-101 = E15a-82-8-2160-28-2-8403-3-3-306 Ma trận độ cứng của phần tử k = t.D.BT.D.B Ma trận độ cứng có thứ tự tên gọi và thành phần phù hợp với vecto ẩn số trong phần tử I được xác định như sau: kI =k11k12k13k14k15k16k21k22k23k24k25k26k31k32k33k34k35k36k41k42k43k44k45k46k51k52k53k54k55k56k61k62k63k64k65k66 kI = h.a2. 12a-10101-1-10-10-1-1200002.E15a-82-8-2160-28-2-8403-3-3-306 kI =Eh30a11-55-1-166-5111-54-651115-16-6-1-5511-4-6-164-16-43206-6-6-6012 Phần tử II. Tên gọi và thứ tự nút: 2, 5, 6 (ngược chiều kim đồng hồ). Tọa độ nút: 2(a, a); 5(0, 0); 3(2a, 0). Véc tơ ẩn số nút: dT = {X3 X4 X7 X8 X5 X6} (theo thứ tự nút). Diện tích phần tử: D = a2 Ma trận hình học B1: BII = 12Db10b20b300c10c20c3c1b1c2b2c3b3 Trong đó: bi = yj - yk ci = xk - xj với các chỉ số i, j, k được hoán vị vòng tròn. Ta có: b1 = 0 b2 = -a b3 = a c1 = 2a c2 = -a c3 = -a BII = 12a00-1010020-10-120-1-1-11 Ma trận vật lí D: D = C1C1C20C1C2C1000C12 Với: C1= E1-n2 , C2 = n cho ứng suất phẳng. C1= E.1-n1+n1-2n , C2 = n1-n cho biến dạng phẳng. C12 = C11-C22 cho cả 2 trường hợp. Ta có: n = 0.25 Cho ứng suất phẳng: C1 = E1-0,252 = 1615E C2 = 0,25 C12 = 16E.1-0,2515.2 = 25E D = 16E1510,2500,2510000,375 D = 2E15820280003 D.BII = 2E15820280003.12a00-1010020-10-120-1-1-11 = E15a04-8-28-2016-2-82-860-3-3-33 Ma trận độ cứng của phần tử k = t.D.BT.D.B Ma trận độ cứng có thứ tự tên gọi và thành phần phù hợp với vecto ẩn số trong phần tử I được xác định như sau: kII = k33k34k37k38k35k36k43k44k47k48k45k46k73k74k77k78k75k76k83k84k87k88k85k86k53k54k57k58k55k56k63k64k67k68k65k66 kII = h.a2. 12a002020-10-10-1-110-10-11.E15a04-8-28-2016-2-82-860-3-3-33 kII =Eh30a120-6-6-66032-4-164-16-6-4115-5-1-6-1651115-64-5111-56-16-15-511 Phần tử III. Tên gọi và thứ tự nút: 3, 2, 6 (ngược chiều kim đồng hồ). Tọa độ nút: 3(2a, 2a); 4(a, a); 6(2a, 0). Véc tơ ẩn số nút: dT = {X5 X6 X7 X8 X9 X10} (theo thứ tự nút). Diện tích phần tử: D = a2 Ma trận hình học B1: BIII = 12Db10b20b300c10c20c3c1b1c2b2c3b3 Trong đó: bi = yj - yk ci = xk - xj với các chỉ số i, j, k được hoán vị vòng tròn. Ta có: b1 = a ; b2 = -2a b3 = a c1 = a ; c2 = 0 c3 = -a BIII = 12a10-201001000-1110-2-11 Ma trận vật lí D: D = C1C1C20C1C2C1000C12 Với: C1= E1-n2 , C2 = n cho ứng suất phẳng. C1= E.1-n1+n1-2n , C2 = n1-n cho biến dạng phẳng. C12 = C11-C22 cho cả 2 trường hợp. Ta có: n = 0.25 Cho ứng suất phẳng: C1 = E1-0,252 = 1615E C2 = 0,25 C12 = 16E.1-0,2515.2 = 25E D = 16E1510,2500,2510000,375 D = 2E15820280003 D.BIII = 2E15820280003.12a10-201001000-1110-2-11 = E15a82-1608-228-402-8330-6-33 Ma trận độ cứng của phần tử k = t.D.BT.D.B Ma trận độ cứng có thứ tự tên gọi và thành phần phù hợp với vecto ẩn số trong phần tử I được xác định như sau: kIII = k55k56k57k58k59k5.10k65k66k67k68k69k6.10k75k76k77k78k79k7.10k85k86k87k88k89k8.10k95k96k97k98k99k9.10k10.5k10.6k10.7k10.8k10.9k10.10 kIII = h.a2. 12a101011-20000-210-10-11.E15a82-1608-228-402-8330-6-33 kIII =Eh30a115-16-651511-4-6-1-5-16-4320-164-6-60126-65-1-16611-51-54-6-511 Phần tử IV. Tên gọi và thứ tự nút: 3, 6, 4 (ngược chiều kim đồng hồ). Tọa độ nút: 3(2a, 2a); 6(2a, 0); 4(3a, a) Véc tơ ẩn số nút: dT = {X5 X6 X9 X10 X11 X12} (theo thứ tự nút). Diện tích phần tử: D = a2 Ma trận hình học BIV: BIV = 12Db10b20b300c10c20c3c1b1c2b2c3b3 Trong đó: bi = yj - yk ci = xk - xj với các chỉ số i, j, k được hoán vị vòng tròn. Ta có: b1 = -a b2 = - a b3 = 2 a c1 = a c2 = -a c3 = 0 BIV = 12a-10-1020010-1001-1-1002 Ma trận vật lí D: D = C1C1C20C1C2C1000C12 Với: C1= E1-n2 , C2 = n cho ứng suất phẳng. C1= E.1-n1+n1-2n , C2 = n1-n cho biến dạng phẳng. C12 = C11-C22 cho cả 2 trường hợp. Ta có: n = 0.25 Cho ứng suất phẳng: C1 = E1-0,252 = 1615E C2 = 0,25 C12 = 16E.1-0,2515.2 = 25E D = 16E1510,2500,2510000,375 D = 2E15820280003 D.BIV = 2E15820280003.12a-10-1020010-1001-1-1002 = E15a-82-8-2160-28-2-8403-3-3-306 Ma trận độ cứng của phần tử k = t.D.BT.D.B Ma trận độ cứng có thứ tự tên gọi và thành phần phù hợp với vecto ẩn số trong phần tử I được xác định như sau: kIV = k55k56k59k5.10k5.11k5.12k65k66k69k6.10k6.11k6.12k95k96k99k9.10k9.11k9.12k10.5k10.6k10.9k10.10k10.11k10.12k11.5k11.6k11.9k11.10k11.11k11.12k12.5k12.6k12.9k12.10k12.11k12.12 kIV = h.a2. 12a-10101-1-10-10-1-1201002.E15a-82-8-2160-28-2-8403-3-3-306 kIV =Eh30a11-55-1-166-5111-54-651115-16-6-1-5511-4-6-164-16-43206-6-6-6012 * Ma trận độ cứng toàn hệ: K = [Kij] với Kij =Skij Phù hợp với các ẩn số nút, ma trận K có cấp [12x12] , viết theo thứ tự tên gọi các ẩn số như sau: K = k11k12k13k14k15k16k17k18k19k1.10k1.11k1.12k21k22k23k24k25k26k27k28k29k2.10k2.11k2.12k31k32k33k34k35k36k37k38k39k3.10k3.11k3.12k41k42k43k44k45k46k47k38k39k3.10k3.11k3,12k51k52k53k54k55k56k57k58k59k5.10k5.11k5.12k61k62k63k64k65k66k67k68k69k6.10k6.11k6.12k71k72k73k74k75k76k77k78k79k7.10k7.11k7.12k81k82k83k84k85k86k87k88k89k8.10k8.11k8.12k91k92k93k94k95k96k97k98k99k9.10k9.11k9.12k10.1k10.2k10.3k10.4k10.5k10.6k10.7k10.8k10.9k10.10k10.11k10.12k11.1k11.2k11.3k11.4k11.5k11.6k11.7k11.8k11.9k11.10k11.11k11.12k12.1k12.2k12.3k12.4k12.5k12.6k12.7k12.8k12.9k12.10k12.11k12.12 K =Eh30a115-16600005-100-5114-600001-500-164760-16-400-22-10-22106-6056-6-600-10-2210-2200-16-6220-1660010000-4-60224-6000-100000-16432000-16-400006-601200-6-655-22-1000002210-5-1-1-1-10-22000010221500-2210100-16-6-5133-50010-220-10-4-6-15-533 * Vecto tải trọng: Quy đổi tải trọng trên các cạnh về tải trọng tập trung tương đường đặt tại nút, ta nhận được sơ đồ tải trọng của tấm như trên hình 2 Hình 2 Theo sơ đồ tải trọng, ta có: P1 = 56 qa P2 = qa P3 = 0 P4 = 2qa P5 = 0 P6 = 2qa P7 = 0 P8 = 1318.qa P9 = 76 qa P10 = 19.qa P11 = 0 P12 = 12.qa PT = [P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 ] = qa [5/6; 1 ; 0; 2 ; 0; 2 ; 0; 1318 ; 7/6; 19 ; 0; 12 ] * Phương trình viết cho toàn tấm: P = K.X * Điều kiện biên. Theo đề ra, ta có X1= X3 = X4= X6 = X12 = 0 , do đó cần: + Loại bỏ X1, X3, X4, X6, X12 trong vecto các ẩn số; + Loại bỏ P1, P3, P4, P6, P12, trong vecto tải trọng + Loại bỏ các dòng và các cột 1, 5, 6, 8, 10 trong ma trận độ cứng K. Phương trình thu gọn lại: P2P3P4P7P9P11P12 =E.h30 114-6010047600-22-2210-60560-1010-22000320-16-41-22-10022-5-10-2210-16-533-5010-22-4-1-533. X2X5X7X8X9X10X11 qa18 1803202109 =E.h30 114-6010047600-22-2210-60560-1010-22000320-16-41-22-10022-5-10-2210-16-533-5010-22-4-1-533. X2X5X7X8X9X10X11 X2X3X4X7X9X11X12 = 5qa3Eh2,0570,7031,6720,6212,5890,8771,461 * Vecto chuyển vị nút: Viết đầy đủ là: X = [0; 2,057; 0,703; 1,672; 0; 0; 0,621; 0; 2,589; 0; 0,877; 1,461] * Ứng suất trong các phần tử: Phần tử I: sI = sxxsyysxy = D.B1.d1 = D.B1. X1X2X9 X10X3X4 = E15a-82-8-2160-28-2-8403-3-3-306.5qa3Eh 02,0572,58900,7031,672 = q9h-5,35414,089-3,911 Phần tử II: sII = sxxsyysxy= D.BII.dII = D.BII. X3X4X9X10X11X12 = E15a04-8-28-2016-2-82-860-3-3-33.5qa3Eh 0,7031,6722,58900,8770,461 = q9h-9,93611,633-1,799 Phần tử III: sIII = sxxsyysxy= D.BIII.dIII = D.BIII. X5X6X3X4X11X12 = E15a82-1608-228-402-8330-6-33.5qa3Eh 000,7031,6720,8771,461 = q9h-7,154-12,743-8,278 Phần tử IV: sIV = sxxsyysxy= D.BIV.d IV = D.B IV. X5X6X11X12X7X8 = E15a-82-8-2160-28-2-8403-3-3-306.5qa3Eh 000,8771,4610,6210 = q9h-1,776E-15-10,955-7,013 * Ứng suất tại các nút: Ứng suất tại nút I được tính theo công thức: si=Ssrn Trong đó: n là số phần tử có nút i r là tên phần tử có nút I (I, II, III, IV) s1 = sI = q9h-5,35414,089-3,911 s2 = 12 (sI + sII) = q9h-7,64512,861-2,855 s3 = 12 (sI + sII + sIII + sIV) = q9h-3,577-11,849-7,645 s4 = 12 (sII + sIII) = q9h-5,6110,506-5,25 s5 = 12 (sIII + sIV) = q9h-1,776E-15-10,955-7,012 s6 = sIV = q9h-7,4814,327-4,663 Em xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của thầy! …….HẾT…….