Bài tập Lý thuyết sai số và bình sai

TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG -- BỘ MÔN TRẮC ĐỊA -- TS Vũ Thặng BÀI TẬP --------------------------------------------------------------------------------- Lý thuyết sai số và bình sai Giáo viên hướng dẫn Sinh viên : ....………................. Lớp : ...…………............. ..........................……...... Mã số SV : ........….……............ Số thứ tự :...........………........... 1. Ma trận và ứng dụng 1.1. Nhân ma trận Cho ma trận A5x8 và ma trận B8x4. Tính tích của hai ma trận: C5.4 = A5x8.B8x4 Bảng 1.1.1. A = 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 B = 11 12 13 14 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 21 22 23 24 3.1 3.2 19 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 31 32 33 34 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 41 42 43 44 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 51 52 53 54 61 62 62 64 71 72 73 74 81 82 83 84 Theo số thứ tự (No) thay vào phần tử thứ (No) tính từ trái sang phải từ trên xuống dưới của ma trận A với giá trị bằng (No) rồi tính tích của hai ma trận. Ví dụ trên bảng là số thứ tự No = 19 Điền kết quả tính vào bảng ma trận C Giải: Kết quả tính ma trận C được điền vào bảng 1.1.2. Bảng 1.1.2. C = A4x8.B8x5 1.2. Tính định thức của ma trận Cho ma trận A6x6 ở bảng 1.2.1. hãy tính định thức của ma trận A theo số thứ tự. Bảng 1.2.1. A6x6 = 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3.1 3.2 3.3 3.4 35 3.6 19 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Giải: Kết quả tính định thức của ma trận A, DA là: DA = 1.3. Nghịch đảo ma trận Cho ma trận A6x6 ở bảng 1.3.1. Hãy tính ma trận nghịch đảo A-1 theo số thứ tự (No). Bảng 1.3.1. A6x6 = 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3.1 3.2 3.3 3.4 35 3.6 19 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Giải: Kết quả tính ma trận nghịch đảo A-1 ghi trong bảng 1.3.2.: Bảng 1.3.2. A-1 6x6 = 1.4. Ứng dụng ma trận để giải hệ phương trình Cho ma trận A ở bảng 1.3.1, ma trận B ở bảng 1.4.1. Hãy giải hệ phương trình (1.1.4) A.X = B (1.1.4) Theo số thứ tự (No) rồi điền kết quả vào bảng 4.1.1. Giải: Bảng 1.4.1. X = x1 = B = 1.0 x2 = 2.0 x3 = 3.0 x4 = 4.0 x5 = 5.0 x6 = 6.0 2. Sai số trong hàm các đại lượng đo 2.1. Tính sai số xác định diện tích hình chữ nhật Hình chữ nhật được đo cạnh SA = [100,00(m) + (No)m] =........................ m, Cạnh SB = 200,00m với sai số trung phương đo các cạnh mSA = mSB = ±5,0cm. Hãy tính sai số xác định diện tích hình chữ nhật. Giải: Công thức tính diện tích hình chữ nhật Công thức tính sai số diện tích hình chữ nhật 3. Sai số tính diện tích hình chữ nhật mP = ......................... 2.2. Tính sai số đo góc bằng Góc bằng AOB được đo một vòng đo với máy kinh vĩ có độ chính xác bằng số thứ tự tính theo giây, mmáy = 0,1”(No). Hãy tính độ chính xác kết quả một vòng đo của góc bằng. Giải: 1. Sai số đo của máy theo số thứ tự No, mmáy = ..................... ” Công thức tính góc bằng Công thức tính sai số trung phương đo góc bằng 4. Sai số đo góc bằng mb = .............................. 2.3. Sai số trong đo cao hình học từ giữa Trong đo cao hình học từ giữa, nếu sai số đọc số trên mia, mĐọc = ±[1mm + 0,1mm x(No)] = ..................... mm, Hãy tính sai số trung phương xác định chênh cao một lần đo h, theo số thứ tự. Giải: 1. Công thức tính chênh cao một trạm, đo một lần trong đo cao hình học từ giữa Công thức tính sai số trung phương một trạm, đo một lần trong đo cao hình học từ giữa 3. Sai số trung phương một trạm, đo một lần trong đo cao hình học từ giữa mh = ± ............................ mm 2.4. Sai số trong đo cao lượng giác bằng máy toàn đạc điện tử Độ cao điểm 1 được xác định theo phương pháp đo cao lượng giác bằng máy toàn đạc điện tử. Đo khoảng cách nghiêng D = [100,000m + (No)m] = ................ đo góc thiên đỉnh Z = [100o 00’ 10” – (No)o] = .............................. với các sai số trung phương cạnh mS = [2mm + (No).10-6.S] = ...................... mm và sai số trung phương đo góc mZ = ± 2”, các sai số khác không tính. Tính sai số trung phương xác định độ cao điểm 1. Giải: 1. Công thức tính độ cao điểm 1, trong đo cao lượng giác 2. Công thức tính sai số trung phương điểm 1, trong đo cao lượng giác 3. Sai số trung phương xác định điểm 1, trong đo cao lượng giác mH1 = ± ............................ mm Lập bài toán tính sai số trung phương của đại lượng cần xác định là hàm số của các đại lượng đo với các sai số trung phương tương ứng và giải bài toán đó. 1. Tính độ chính xác của khoảng cách và độ cao trong đo cao lượng giác bằng máy kinh vĩ và mia, nếu sai số đọc mia mđọc = ±2mm, sai số đo góc mg = ±10”, các sai số khác không tính. 3. Xác định trọng số 3.1. Xác định trọng số trong đo cao hình học 1- Xác định trọng số theo số trạm đo Độ cao điểm nút 1 được xác định từ 3 mốc độ cao hạng trên là mốc A, mốc B và mốc C. Đường đo A1 có (5 + No) = ........ trạm máy, đường B1 có 13 trạm máy, đường đo C1 có 15 trạm máy. Hãy xác định trọng số các đường đo, nếu sai số trạm đo là mo. Giải: 1. Công thức tính trọng số các đường đo: Pi1 = ................................................................... Trọng số các đường đo: Pi1 = .................................................. ; PB1 = ............................................... ; PC1 = ................................................. . 2- Xác định trọng số theo chiều dài đường đo Độ cao điểm nút 1 được xác định từ 3 mốc độ cao hạng trên là mốc A, mốc B và mốc C. Đường đo A1 có chiều dài là (10. No) = .............. m, đường B1 có chiều dài là (15. No) = .............. m, đường đo C1 có có chiều dài là (20. No) = .............. m. Hãy xác định trọng số các đường đo. Giải: 1. Công thức tính trọng số các đường đo: Pi1 = ................................................................... Trọng số các đường đo: Pi1 = .................................................. ; PB1 = ............................................... ; PC1 = ................................................. . Xác định trọng số trong đo hướng Hai trạm đo góc có 5 hướng và 7 hướng, được đo 5 vòng và 3 vòng. Sai số trung phương kết quả đo hướng của hai trạm là m1 = ± 2,5” và m2 = ± 1,9”. Xác định trọng số các hướng trong hai trạm đo. Giải: Công thức tính trọng số của hướng đo 2. Chọn hằng số C = …………… 3. Trọng số các hướng đo P1 = ........................ , P2 = ........................ . Xác định trọng số trong đo góc Xác định trọng số các góc đo bi, i = 1-3; được đo ni lần bằng cùng phương pháp, cùng loại máy trong cùng điều kiện, với n1 = 4 lần, n2 = 7 lần và n3 = 6 lần. Giải: Công thức tính trọng số Trọng số của các góc: P1 = ................ ; P1 = ................ ; P1 = ................ . Xác định trọng số đo cạnh Xác định trọng số các cạnh đo bằng toàn đạc điện tử (TĐĐT): S1 = [100,000m + (No)]m = ...................... , S1 = [300,000m - (No)]m = ...................... , S1 = 500,000m, với sai số (3mm + 5ppm). Giải: công thức tính trọng số cạnh đo 2. Chọn hằng số C = Trọng số của các cạnh P1 = ..................... ; P2 = ..................... ; P3 = ..................... . Xác định trọng số trong lưới đo góc cạnh Trong lưới đo hỗn hợp các hướng, góc và cạnh với các sai số trung phương tương ứng: - Sai số trung phương đo hướng i: mH = m1i”, - Sai số trung phương đo góc j: mbi = m2j” - Sai số đo cạnh k: mSk = (2mm + 2ppm). Xác định trọng số các đại lượng đo khi đưa vào bình sai hỗn hợp. Giải: 4. TÍNH KẾT QUẢ ĐO 4.1. Tính dẫy kết quả đo nhiều lần có cùng độ chính xác 1. Trình tự và công thức tính 2. Ví dụ tính 4.2. Tính dẫy kết quả đo nhiều lần theo trọng số 1. Trình tự và công thức tính 2. Ví dụ tính 4.3. Tính dẫy kết quả đo kép 1. Trình tự và công thức tính 2. Ví dụ tính 5. BÌNH SAI GIÁN TIẾP – Theo đồ hình nhỏ 2-5 ẩn và số liệu cho trước 5.1. Bình sai gián tiếp phương trình một ẩn số 5.1. 1. Tính bình sai đoạn thẳng đo n lần, n = No Dẫy trị đo Li, có trọng số pi tương ứng. Tính sai số trung phương đơn vị trọng số, các kết quả đo và ẩn số. Ví dụ: 5.1. 2. Bình sai gián tiếp điểm nút độ cao nối 3 mốc Mốc độ cao A, B và C: HA = 11,000(m); HB = 10,000(m); HC = 15,000(m); Bảng 5.5. No Chênh cao hi’ (m) Khoảng cách Si (km) Hình 5.1. 1 2 3 1,010 - 2,020 - 3,030 0,1.(No) = ………… . 2,0 3,0 Tính sai số trung phương đơn vị trọng số, các kết quả đo và ẩn số. 5.2. Bình sai gián tiếp hệ phương trình 2 ẩn 5.2.1. Bình sai trạm đo góc có 3 hướng, đo 3 góc Bảng 5.2. No Góc bi’ 1 2 3 10o 00’ 01,0” 20o 00’ 02,0” 30o 00’ 00,0” Hình 5.2 Tính sai số trung phương đơn vị trọng số, các kết quả đo và ẩn số. 5.2.2. Bình sai đường chuyền kinh vĩ nối 2 mốc Bảng 5.3. Mốc Xi Yi Hình 5.3. A B 2000,00 2000,00 3000,00 3300,00 Đo Cạnh S1 S2 Góc b1 300,000 + No mm ……………….. 300,005 --------- 60o 00’ 01,0” Sai số ±5mm ±5mm -------- ±3” Tính sai số trung phương đơn vị trọng số, các kết quả đo và ẩn số. 5.3. Bình sai gián tiếp hệ phương trình 3 ẩn số 5.3.1. Bình sai trạm đo góc có 4 hướng, đo 6 góc Bảng 5.4. No Góc bi’ Số lần đo 1 2 3 4 5 6 10o 00’ 00,0” 20o 00’ 00,0” 30o 00’ 00,0” 30o 00’ 01,0” 60o 00’ 03,0” 50o 00’ 02,0” 1 2 1 3 2 2 Hình 5.4. 5.3.2 Tình sai lưới độ cao có bốn vòng khép kín Mốc độ cao A: HA = 54,000 (m) Bảng 5.5. No Chênh cao hi’ (m) Khoảng cách Si (km) Hình 5.5. 1 2 3 4 5 6 1,010 2,020 - 3,030 1,000 1,000 2,020 0,1.(No) = ………… . 2,0 3,0 2,0 1,0 2,0 5.4. Bình sai gián tiếp hệ phương trình 4 ẩn 5.4.1. Bình sai đường chuyền độ cao nối hai điểm mốc Vẽ sơ đồ, trình tự lập và các bước tính bình sai đường chuyền độ cao nối hai điểm mốc, xác định 4 điểm mới. 5.4.2. Bình sai gián tiếp tứ giác trắc địa đo 8 góc và 5 cạnh Bảng 4.?. No Góc bi’ Số lần đo No Cạnh Si m Sai số ms = 3 + 3.10-6.S 1 2 3 4 5 6 7 8 56o 18’ 35,0” + 0,1”.No = ................................. 33o 41’ 24,4” 33o 41’ 24,2” 56o 18’ 35,3” 56o 18’ 35,7” 33o 41’ 24,6” 33o 41’ 24,0” 56o 18’ 35,5” 1 2 1 3 2 2 2 3 1 2 3 4 5 200,003 360,056 360,059 300,007 200,043 Mốc X Y A 2 000,000 3 000,000 Hình 5.6 B 2 200,000 3 223,606 BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN 6.1. Phương trình 1 điều kiện 6.1.1. Bình sai trạm đo góc có 3 hướng, đo 3 góc (hình 5.2) Bảng 6.1. No Góc bi’ 1 2 3 10o 00’ 01,0” 20o 00’ 02,0” 30o 00’ 00,0” 6.1.2. Bình sai lưới độ cao có một vòng khép kín Bảng 6.2. No Chênh cao hi’ (m) Khoảng cách Si (km) Hình 6.1. 1 2 3 1,010 2,020 - 3,000 0,1.(No) = ………… . 2,0 3,0 6.1.3. Bình sai đường chuyền kinh vĩ nối 2 mốc (Hình 5.3) Bảng 6.3. Mốc Xi Yi A B 2000,00 2000,00 3000,00 3300,00 Đo Cạnh S1 S2 Góc b1 300,000 + No mm ……………….. 300,005 --------- 60o 00’ 01,0” Sai số ±5mm ±5mm -------- ±3” 6.2. Hệ phương trình 2 điều kiện 6.2.1. Bình sai trạm đo góc có 4 hướng, đo 5 góc (hình 5.4) Bảng 6.4. No Góc bi’ Số lần đo 1 2 3 4 5 10o 00’ 00,0” 20o 00’ 00,0” 30o 00’ 00,0” 60o 00’ 06,0” 50o 00’ 03,0” 1 1 1 1 1 6.2.2. Bình sai điểm nút độ cao nối 3 mốc Mốc độ cao A, B và C: HA = 11,000(m); HB = 10,000(m); HC = 15,000(m); Bảng 6.5. No Chênh cao hi’ (m) Khoảng cách Si (km) 1 2 3 1,010 - 2,020 - 3,030 0,1.(No) = ………… . 2,0 3,0 5.3. Hệ phương trình 3 điều kiện 5.3.1. Bình sai trạm đo góc có 4 hướng, đo 6 góc Bảng 5.6. No Góc bi’ Số lần đo Hình 6.2 1 2 3 4 5 6 10o 00’ 00,0” 20o 00’ 00,0” 30o 00’ 00,0” 30o 00’ 01,0” 60o 00’ 03,0” 50o 00’ 02,0” 1 2 1 3 2 2 6.3.2. Bình sai lưới độ cao có bốn vòng khép kín (hình 5.5) Mốc độ cao A: HA = 54,000 (m) Bảng 6.7. No Chênh cao hi’ (m) Khoảng cách Si (km) Hình 6.7. 1 2 3 4 5 6 1,010 2,020 - 3,030 1,000 1,000 2,020 0,1.(No) = ………… . 2,0 3,0 2,0 1,0 2,0 6.4.1. Bình sai tứ giác trắc địa đo 8 góc và 5 cạnh(hình 5.6) Bảng 6.8. No Góc bi’ Số lần đo No Cạnh Si m Sai số ms = 3 + 3.10-6.S 1 2 3 4 5 6 7 8 56o 18’ 35,0” + 0,1”.No = ................................. 33o 41’ 24,4” 33o 41’ 24,2” 56o 18’ 35,3” 56o 18’ 35,7” 33o 41’ 24,6” 33o 41’ 24,0” 56o 18’ 35,5” 1 2 1 3 2 2 2 3 1 2 3 4 5 200,003 360,056 360,059 300,007 200,043 Hình 6.8 6.5. Xác số lượng và dạng phương trình điều kiện lưới tam giác đo góc Giáo viên hướng dẫn - Sinh viên tự lập sơ sồ lưới và các phương trình điều kiện- trong lớp không trùng nhau 6.6. Ví dụ tính bình sai điều kiện theo đồ hình và số liệu cho trước Bình sai lưới đo góc cạnh, có 32 trị đo, xác định 4 điểm mới từ 3 điểm gốc