Bài tập phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và logarit

Chuyên đề: TÍCH PHÂN A – CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: I – Phương pháp đổi biến số: 1) Đổi biến dạng u = u(x): Phương pháp chung: Bước 1: chọn t = u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp Bước 2: Lấy vi phân dt = u’ (x)dx Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt Bước 4: Khi đó I = Dấu hiệu Cách chọn Hàm số có mẫu t là mẫu số Hàm số f(x, ) t = Hàm f(x) = t = tan (với cos ) Hàm + Với x + a > 0 và x + b > 0, đặt t = +Với x + a < 0 và x + b < 0, đặt t = Ví dụ: Tính các tích phân sau: a) b) c) d) Giải a) Đặt b) Đặt c) Đặt d) Đặt 2) Đổi biến dạng x = (t) Phương pháp chung: Bước 1: chọn x = (t), trong đó(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp Bước 2: Lấy vi phân dx = ’ (t)dt Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt Bước 4: Khi đó I = Các dấu hiệu: Dấu hiệu Cách chọn x = sint với hoặc x = cost với với hoặc với x = tant với hoặc x = cot t với hoặc x = a.cos2t x=a+(b-a)sint Ví dụ: Tính Giải Đặt x = sint với vì Mà x = sint với Nên Chú ý: Tính tương tự như trên ta có công thức sau: với a > 0 (Bằng cách đặt x = asint với ) II – Phương pháp tích phân từng phần: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: biến đổi tích phân ban đầu về dạng: Bước 2: Đặt Bước 3: Khi đó: Dấu hiệu nhận biết: Khi tính những tích phân dạng với f(x) và g(x) là những hàm sơ cấp cơ bản không cùng loại ta thường dùng tích phân từng phần. Cụ thể như sau: a) Nếu f(x) là hàm đa thức và g(x) là những hàm như hàm sin, cos, hàm mũ thì đặt: u = f(x) ; dv = g(x)dx b) Nếu f(x) là hàm đa thức và g(x) là hàm lôgarit thì đặt u = g(x),dv = f(x)dx c) Nếu hoặc thì đặt: u = cos(bx) , dv = dx hoặc u = sin(bx) , dv = dx d) Nếu f(x) = hoặc f(x) = , g(x) = 1 thì đặt u = f(x) , dv = g(x)dx = dx Ví dụ: Tính tích phân sau: Giải Đặt B – TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP: I – Tích phân hàm hữu tỉ: 1) Tích phân của các hàm hữu tỉ đơn giản: a) b) c) Phương pháp chung: Biến đổi Đặt chuyển tích phân đã cho về dạng Cách giải khác: Khi biệt thức của biểu thức dưới mẫu dương ta có cách giải sau: Hướng giải ta phân tích: Khi = 0 Khi đó d) Biến đổi sau đó đưa tích phân đã cho về dạng: và tích phân dạng c). Ví dụ: Tính Giải Ta có: 2) Tích phân các hàm hữu tỉ dạng tổng quát dạng a) Bậc P(x) nhỏ hơn bậc Q(x): - Phân tích Q(x) thành tích các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai hoặc các lũy thừa của chúng. - Phân tích Trong đó A, B, ….là các hằng số thực chưa biết, để tìm chúng ta quy đồng mẫu số ở vế phải, sau đó đồng nhất thức hai tử số ở VT và VP, hoặc cho x các giá trị đặc biệt đưa đến một hệ phương trình đối với các hệ số đó(Phương pháp này gọi là hệ số bất định) Ví dụ: Tính Giải Ta có: (*) Cách 1: Đồng nhất thức hai vế của (*) ta được: Cách 2: Cho x = 1 : (*) Cho x = 0: (*) Cho x = - 1: (*) Từ đó ta có: Suy ra : (Bạn đọc tự giải tiếp) b) Bậc P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc Q(x): Ta chia P(x) cho Q(x) phân tích đưa về dạng a) trên. Ví dụ: Tính: Giải Ta có: Suy ra : (Bạn đọc tự giải tiếp) II – Tích phân các hàm số lượng giác: 1) Dạng , với là biểu thức hữu tỉ đối với sinx, cosx. Phương pháp chung: Đặt Khi đó Biến đổi tích phân dạng này về tích phân hàm hữu tỉ. Ví dụ: Tính Giải Đặt Đặc biệt: Nếu R(-sinx, cosx) = - R(sinx, cosx) thì đặt t = cosx Nếu R(sinx, -cosx) = - R(sinx, cosx) thì đặt t = sinx Nếu R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) thì đặt t = tanx Ví dụ: Tính Giải Ta có: R(sinx, cosx) = Nên ta đặt t = sinx 2) Dạng , , Phương pháp: Biến đổi các hàm dưới dấu tích phân thành tổng. Ví dụ: Tính Giải Ta có: 3) Dạng : Phương pháp: Cách 1: Áp dụng dạng 1) phần đặc biệt. Cách 2: Nếu n chẵn (n nhỏ) dùng công thức hạ bậc Ví dụ: Tính Giải Ta có: Suy ra: III – Tích phân các hàm vô tỉ: Dạng Phương pháp chung: Biến đổi . Chuyển tích phân đã cho về một trong các dạng: a) . Đặt với b) . Đặt với c) . Đặt với Chú ý: Tích phân dạng này có nhiều phương pháp tính, trong một số trường hợp đặc biệt có thể dùng một số cách biến đổi đơn giản hơn như các ví dụ sau: Ví dụ1: Tính Giải Ta có: , với u = x – 2 Đặt: u = 3sint với Ví dụ 2: Tính Giải Ta có : C – BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Tính các tích phân sau: 1. 2. 3. 4. 5 . 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: 1. 2. 3. f(x) = (1 – 2x2)3 4. 5. 6. 7. (sinx + cosx)2 8. 9. . cos3x 10. cos4x 11. sin4x + cos4x 12. sin62x + cos62x 13. f(x) = lnx 14. f(x) = (x2 + 1)e2x 15. f(x) = x2sinx d. f(x) = exsinx 16. 17. f(x) = ex(1 + tanx + tan2x) 18. 19. 20. f(x) = (x + 1)2cos2x 21. f(x) = e-2x.cos3x 22. sin(lnx) 23. 24. f(x) = x3lnx 25. f(x) = (x2 + 2)sin2x 26. Bài 3: Cho hàm số a. Tìm m, n, p để b. Tìm họ nguyên hàm của f(x) Bài 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. f(x) = cos3x.cos5x 10. f(x) = sin3xsin3x 11. f(x) = sin3x.cos3x + cos3x.sin3x 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. f(x) = sinx.sin2x.cos5x 19. 20. f(x) = (sin4x + cos4x)(sin6x + cos6x) . 22. d. e. f. g. h. F(x) = (x2 + 2)sin2x Bài 5: Tính các tích phân sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. D – CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG TỪ NĂM 2002-2003 ĐẾN 2006-2007 I. Tính các tích phân sau: ( Dùng tích phân đổi biến số) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24 25 26. 27 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 2. Tính các tích phân sau (Dùng tích phân từng phân kết hợp đổi biến số nếu có) 1. 2 3. 4. 5 6. 7 8. 9. 10 11 12. 13 14. 15 16 17. 18 A. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. B. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.