Bài tập Qui hoạch tuyến tính

Bài tập QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH Bài 1. Một nhà máy giấy có kế hoạch sản xuất 3 loại giấy A, B, C. Nguyên liệu để sản xuất giấy là gỗ và axít có trữ lượng tương ứng là 5500 m3 và 90 tấn. Mức tiêu hao các loại nguyên liệu để sản xuất và giá bán một tấn giấy mỗi loại được cho bởi bảng sau: Nguyên liệu Sản phẩm A B C Gỗ (m3) 1,5 1,8 1,6 Axít (kg) 20 30 24 Giá bán (triệu) 9 12 10 Qua thăm dò thị trường, nhà máy quyết định sản xuất giấy A, C có số lượng bằng nhau và giấy B có số lượng tối đa là 1000 tấn. Hãy lập mô hình toán học của bài toán lập kế hoạch tối ưu trên. Bài 2. Một nhà máy luyện kim muốn sản xuất một loại hợp kim có 20% bạc, 30% đồng và 50% nhôm. Để sản xuất ra loại hợp kim đó nhà máy dùng 6 loại nguyên liệu: bạc nguyên chất, đồng nguyên chất, nhôm nguyên chất, hợp kim A, hợp kim B, hợp kim C. Tỉ lệ các chất bạc, đồng, nhôm trong 6 loại nguyên liệu trên và giá nguyên liệu (ngàn đồng/kg) mỗi loại được cho trong bảng sau: Chất Loại nguyên liệu Bạc Đồng Nhôm KH A HK B HK C Bạc Đồng Nhôm 100% 0 0 0 100% 0 0 0 100% 30% 40% 30% 50% 20% 30% 40% 35% 25% Giá 1500 300 100 1000 1200 1100 Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định khối lượng nguyên liệu mỗi loại để sản xuất 1 kg hợp kim thành phẩm sao cho giá thành của hợp kim thành phẩm thấp nhất nhưng vẫn bảo đảm chất lượng theo yêu cầu. Bài 3. Biến đổi bài toán QHTT sau về dạng chính tắc: Bài 4. Một công ty thức ăn gia súc định sản xuất các bao thức ăn gia súc có tỉ lệ % chất dinh dưỡng cho mỗi bao theo tiêu chuẩn sau: Chất dinh dưỡng Tỉ lệ tối thiểu Tỉ lệ tối đa Đạm 22,9 Không hạn chế Đường 42 75 Béo 9 15 Xơ 7,8 Không hạn chế Cho biết tỉ lệ % các chất dinh dưỡng trên các loại nguyên liệu và giá nguyên liệu như sau: Chất dinh dưỡng Nguyên liệu Cám Gạo Bắp Bột cá Đạm 15 8 10 62 Đường 60 50 60 6 Béo 15 4 6 20 Xơ 2 15 9 3 Giá (Ngàn/kg) 3 2 1,2 5 Hãy lập mô hình toán học xác định thành phần nguyên liệu để sản xuất 1 bao thức ăn gia súc đạt chất lượng và có giá rẻ nhất biết rằng bao thức ăn đó có trọng lượng 100 kg. Bài 5. Một công ty địa ốc định xây 50 căn nhà gòm 4 loại: nhà trệt, nhà 2 tầng, nhà 3 tầng và biệt thự. Thời gian (ngày) để xây nhà mỗi loại được cho bơi bảng sau: Công việc xây nhà Loại nhà Nhà trệt 2 tầng 3 tầng Biệt thự Xây thô 20 60 90 120 Trang trí 5 30 50 100 Lãi 50 triệu 100 triệu 200 triệu 300 triệu Theo kinh nghiệm kinh doanh thì mỗi loại nhà phải xây ít nhất 5 căn thì mới có lợi cho qui trình thi công và trang bị kĩ thuật. Ngoài ra thời gian phải hoàn thành công trình tối đa là 4 năm để tránh biến động thị trường và lãi suất ngân hàng. Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định kế hoạch xây dụng nhà tối ưu? Bài 6. Giải các bài toán qui hoạch tuyến tính sau? ĐS: a. PATU x0 = (0; 0; 9; 16; 17; 0) fMax = 25 b. Bài toán không có PATƯ Bài 7. Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau. Phương án tối ưu tìm được (nếu có) có duy nhất không? Hãy tìm một phương án tối ưu khác (nếu có) Đs: a. PATU của bài toán x0 = (0; 14; 1; 0; 26; 0) fmax = 152 b. PATƯ của bài toán x0 = (15; 0; 12; 0; 12; 0) fmin = -30 Bài 8: Cho bài toán QHTT: a. Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình b. Tìm phương án tối ưu x* của bài toán có x*4 = 20 ĐS: a. PATU x0 = (0; 27; 3; 0; 5; 13; 0; 0) fmin = 13 b. Tập tất cả các PATU là: zl = (0; 27 - 2l/5; 3 +7l/10; l; 5 - l/4). PATU với x4* = 20 là phương án tối ưu tương ứng với l = 20. Bài 9: Một công ty có chiến dịch quảng cáo một sản phẩm trong 1 tháng với tổng chi phí là 100 triệu đồng. Các số liệu liên quan đến quảng cáo sản phẩm được cho bởi bảng sau: Phương tiện Chi phí Số lần QC tối đa Dự kiến số người tiếp nhận trong 1 lần QC Truyền hình 1,5 triệu/phút 60 15.000 Báo 1 triệu/trang 26 30.000 Phát thanh 0,5 triệu/phút 90 9.000 Do hiệu quả của truyền hình nên công ty quyết định nên công ty quyết định phải có ít nhất 30 lần quảng cáo trên truyền hình. Tìm kế hoạch quảng cáo tối ưu cho công ty? ĐS: PATU x0 = (30; 26; 58) fmax = 1.752.000 Bài 10. Một nhà máy có 28 tỷ đồng dùng để mua thiết bị cho khu vực sản xuất mới. Khu vực để đặt thiết bị có diện tích 166 m2. Có 2 loại thiết bị để mua là: - Máy loại A có giá 160 triệu đồng, năng suất 110 sản phẩm/ giờ. Chiếm diện tích 12 m2 - Máy loại B có giá 180 triệu đồng, năng suất 100 sản phẩm/ giờ. Chiếm diện tích 9 m2 Tìm phương án mua thiết bị sao cho đối với số thiết bị đó trong 1 giờ làm việc thì tổng số sản phẩm thu được cao nhất? ĐS: PATU x0 = (600; 0; 2400) fmax = 7.200.000 Bài 11. Lập bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu: Bài 12. Cho bài toán QHTT sau: a. Hãy giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình b. Hãy lập bài toán đối ngẫu của bài toán trên và xét tính tối ưu của vecto y0 = (3/2; 51/4; 6) đối với bài toán đối ngẫu đó? ĐS: PATU: x0 = ( 5; 8; 0; 10; 0; 0; 0) fmin = 21 Bài 13. Cho bài toán QHTT (P) sau: a. Hãy viết bài toán đối ngẫu (D) của (P)? b. Chứng tỏ rằng x* = (3; 0; -2; 0) là một phương án của (P), lợi dụng x* để tìm tập phương án tối ưu của bài toán (D). Tìm phương án tối ưu của bài toán (D) có thành phần thứ 3 bằng 1 c. Hãy tìm tập phương án tối ưu của bài toán (P) Bài 14. Giải bài toán QHTT sau: ĐS: Một PATU x0 = (5/2; 1, 0) fmin = 46