Bài tập toán cao cấp - Phần 1

Đề tài 2: Câu 1: Cho hàm hai biến
. Tính



Câu 2: Cho hàm hai biến
. Tìm cực trị Giải hệ:
Ta xác định được 4 điểm dừng:





là điểm cực đại 


không là cực trị  


là không là cực trị 



là điểm cực tiểu   Câu 3: Tìm cực trị của hàm
với điều kiện
. Đặt:
Ta có:
Xác định điểm dừng:
Xét
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại
Câu 4: Xác định cận của tích phân:
Trong đó D là miền giới hạn bởi các đường:
. Ta có phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường


Câu 5: Đổi thứ tự tính tích phân:

Dựa vào đồ thị ta xác định được 2 miền:
Dựa vào đồ thị ta xác định đươc cận của tích phân là:
Câu 6: Đổi thứ tự tính tích phân:


Câu 7: Đặt 
Trong đó D là tam giác có các đỉnh là
Dựa vào đồ thị ta xác định đươc cận của tích phân là:
Câu 8: Tính tích phân


Câu 9: Tính tích phân
Trong đó D là hình vuông


Câu 10: Tính tích phân
Trong đó D là miên định bởi


Câu 11: Tính tích phân
Trong đó D là miền giới hạn bởi các đường
và


Câu 12: Tính tích phân
Trong đó D là nửa hình tròn
Đặt:



Câu 13: Gọi S là diện tích của miền giới hạn bởi các đường:
Tính S.


Câu 14: Tính tích phân
Trong đó Ω là hình lập phương



Câu 15: Tính tích phân
Trong đó Ω là hình hộp



Câu 16: Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ:
Trong đó Ω là miền giới hạn bởi các mặt:
Đặt

Câu 17: Tính tích phân đường
; trong đó C có phương trình
Áp dụng công thức ta được:
Đặt:
Tích phân từng phần ta có:


Đặt:
Tích phân từng phần ta có:



Vậy:
Câu 18: Tính
Trong đó K là đoạn thẳng có phương trình
.
Câu 19: Tính tích phân đường
Trong đó C là đường tròn
Đặt:

Câu 20: Tính tích phân đường
Trong đó C là cung tròn
nằm ở ngóc phần tư thư nhất. Đặt:

Đặt
 0 
 
 0  1  

Câu 21: Tính
Lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0,0) đến A(3,0). Ta có phương trình đường thẳng OA :

Câu 22: Tính tích phân đường
Lấy theo đường
từ A(0, 1) đến B(2, 3) Ta có:
Vậy
không phụ thuộc vào đường cong. Ta có phương trình đường thẳng AB:
. Tính I theo AB
Câu 23: Cho C là elíp
. Tính tích phân đường loại hai:
Áp dụng định lý Green:

Câu 24: Tính tích phân đường loại hai:
ở dây cung
từ O(0,0) đến A(1,2) Ta có:
Vậy
không phụ thuộc vào đường cong. Ta có phương trình đường thẳng OA:
. Tính I theo OA
Câu 30: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân


Câu 31: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân



Câu 32: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân


Câu 33: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
Ta có:


Đặt:

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
Câu 34: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
Phương trình nghiệm đặc trưng:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình:
Câu 35: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
Xét phương trình thuần nhất:
(*) Phương trình nghiệm đặc trưng:
(*) có 2 nghiệm riêng là
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình:
Trong đó
là nghiệm của phương trình:



Câu 36: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
Đặt:
Ta có:

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
Với:
Vậy nghiệm riêng của phương trình vi phân là: