Bài tập toán cao cấp - Phần 2

ĐỀ TÀI 5 15- Câu 1: Cho hàm z = x2 – 2xy + 1. Tìm cực trị Giải: Ta có: z = x2 – 2xy + 1 = f(x,y)





Vậy điểm dừng là (0,0). Ta có:
mà





Tại (0,0) không có cực trị 24 - Câu 2: Cho hàm z = x6 – y5 – cos2x – 32y. Tìm cực trị. Giải: Ta có: z = x6 – y5 – cos2x – 32y = f(x,y)



x = 0 (vì sinx và cosx đối nhau)
(vô nghiệm) Vậy hàm z không có điểm dừng 33- Câu 3: Cho hàm z = x2 + 4xy + 10y2 +2x + 16y. Tìm cực trị Giải: Ta có: z = x2 + 4xy + 10y2 +2x + 16y = f(x,y)





Vậy điểm dừng là (1,-1). Ta có:
mà




mà

(1,-1) là điểm cực tiểu. 59 - Câu 4: Xác định cận của tích phân: I =
dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường: D: x + y
1, x – y
1, x
0. Giải: Ta có
(*) Ta có: x + y
1
x – y
1
mà x
0 Từ (*)
68 - Câu 5: Đổi thứ tự tính tích phân I =

. Giải: Ta có:


78 - Câu 6: Thay đổi thứ tự tính tích phân: I =
. Giải:




87 - Câu 7: Tính tích phân
Giải:

=


đặt


(1)
(2)

105 - Câu 8: Tính
D là miền giới hạn bởi
Giải:


115 - Câu 9: Tính tích phân:
D là tam giác OAB với O(0,0); A(1,0); B(0,1). Giải:


125 - Câu 10: Tính tích phân:
trong đó D là hình tròn
Giải: Ta có
vì

Ta đặt

 Câu 11: Gọi S là diện tích miền giới hạn bởi các đường
và
. Tính S. Giải: Ta có
Vậy


149 - Câu 12: Xét tích phân bội ba
trong đó
là miền trong không gian được giới hạn bởi các mặt x = 0, y = 0, x + y = 2, z = 0 và z = 2, tìm cận
. Giải: Từ hình vẽ ta có cận
= [0;2]x[0;2-x]x[0;2]
=
159 - Câu 13: Tính tích phân bội ba
, trong đó
là miền:
. Giải:
=

= 2 170 - Câu 14: Tính
,
là hình hộp
Giải:
=
180 - Câu 15: Cho
là phần hình trụ:
.Đặt
Chuyển sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân. Giải: Ta có
Đặt
Vậy I =
202 - Câu 16: Tính tích phân đường
, trong đó C có phương trình
. Giải: Ta có:


211 - Câu 17: Tính tích phân đường
, trong đó C có phương trình
. Giải: Ta có:


Câu 18: Tính tích phân đường
, trong đó C là đường biên của tam giác với các đỉnh O(0,0); A(1,0) và B(0,1). Giải: Ta có:

(1) Trên AB ta có phương trình đường thẳng y = 1-x


(2)
(3) (1)(2)(3)
231 - Câu 19: Tìm độ dài cung tròn
với

Giải: Ta có:

và
Ta có:

Câu 20: Tính
lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0,0) đến A(1,2). Giải: Ta có phương trình đường thẳng OA: y = 2x => dy = 2dx
257 - Câu 21: Cho C là biên của hình chữ nhật D = [-1;1] x [0;2]. Tính
Giải: Áp dụng công thức Green: Ta có

267 - Câu 22: Cho C là biên của hình chữ nhật
. Tính tích phân đường loại 2.
Giải: Áp dụng công thức Green: Ta có

(Từ câu 23 đến câu 28 là nội dung của Tích phân Mặt, bỏ) 385 - Câu 29: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
Giải: Ta có
(*) Khi
chia 2 vế cho y. Từ




(nghiệm tổng quát) 397 - Câu 30: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
Giải: Ta có

(*) Đặt
Từ (*)




(nghiệm tổng quát) 413 - Câu 31: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
Giải: Ta có:
(*) Khi
, chia 2 vế cho
(*)

(**) (1) = ln|y| (2) Đặt u = 1 + tgx

Từ (**), ta có được nghiệm tổng quát:
425 - Câu 32: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
Giải: Ta có:
(*) Đặt
Từ (*) khi
chia 2 vế cho x ta được




(nghiệm tổng quát) 443 - Câu 33: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
Giải: Ta có:
(*) Phương trình đặc trưng:


Phương trình vi phân (*) có 2 nghiệm phân biệt
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (*) là:
Câu 34: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
Giải: Ta có:
(*) Xét phương trình thuần nhất:
(**) Ta có phương trình đặc trưng:

Phương trình (**) có 2 nghiệm riêng:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (*) là
(***) Trong đó
và
là nghiệm của hệ phương trình

Đơn giản e2x, ta được :
Áp dụng định thức Wronsky, ta được

Thế
,
vào phương trình (***), ta được: y =
=0 Câu 35: Giải phương trình
Giải: Ta có:
(*) Khi
, ta chia 2 vế cho x, từ (*)
(**) Đặt
Từ (**)
; đơn giản x2, và nhân phân phối :





(***) Tính M: Đặt

(1) Tính N: N =
Đặt


(2) Thay (1) và (2) vào (***), có:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là :
Câu 36: Giải phương trình
Giải: Ta có:
(*), đây là dạng phương trình khuyết y:
Nên ta đặt
Từ (*) =>


Mà
Vậy nghiệm tổng quát của phương tình (*) là:
--------------------HẾT--------------------