Bài tập Vật lý thống kê

1 BÀI TẬP VẬT LÝ THỐNG KÊ §1. Thống kê cổ ñiển. Bài 1. Tìm biểu thức của thể tích không gian pha của một phân tử khí lý tưởng ñơn nguyên tử phụ thuộc vào năng lượng của phân tử. Bài 2. Tính thể tích pha Γ của các hệ sau : a. Dao ñộng tử ñiều hòa tuyến tính . b. Hạt chuyển ñộng tương ñối tính trong thể tích V có năng lượng 2 2 2E c p m c= + . c. Tìm thể tích pha ñối với hạt khí chuyển ñộng trong thể tích V có năng lượng cpε = . Bài 3. Dùng phân bố chính tắc Gibbs, thiết lập các phân bố sau ñây (các dạng khác của phân bố Maxwell) : - Xác suất ñể vận tốc của một hạt của hệ có các thành phần vận tốc ở trong khoảng : ( , ), ( , ), ( , )x x y y z zv v dx v v dy v v dz+ + + - Xác xuất ñể ñộ lớn vận tốc của một hạt của hệ nằm trong khoảng ( , )v v dv+ . - Xác suất ñể ñộng năng của một hạt của hệ có giá trị nằm trong khoảng ( , )dε ε + ε Sử dụng các kết quả trên tính các giá trị trung bình sau : ( 2)nv n > − , 2,v v . Bài 4. Viết phân bố Gibbs cho các dao ñộng tử ñiều hoà tuyến tính cổ ñiển và tính giá trị trung bình của năng lượng của nó . Bài 5. Hãy biểu thị : entropy S , nhiệt dung VC , thế Gibbs G , enthalpy H của hệ qua tích phân trạng thái Z . Bài 6. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng ñơn nguyên tử gồm N nguyên tử khí; Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí liên hệ với nhau bởi hệ thức : cpε = . Bài 7. Thiết lập mối liên hệ giữa năng lượng, áp suất và thể tích của hệ khí lý tưởng ñơn nguyên tử gồm N nguyên tử . Biết rằng năng lượng và xung lượng của mỗi hạt liên hệ với nhau bởi hệ thức : 3 cpε = (c : const) Bài 8. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng ñơn nguyên tử gồm N nguyên tử khí; Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí ñó liên hệ với nhau bởi hệ thức : 4cpε = ( c : const) Bài 9. Xác ñịnh năng lượng và áp suất của khí lý tưởng gồm N hạt chứa trong bình có thể tích V , biết rằng năng lượng của mỗi hạt phụ thuộc vào xung lượng của chúng theo hệ thức : ( , 0)lap a lε = > Bài 10. Tìm năng lượng tự do, nội năng và nhiệt dung của một cột khí lý tưởng có chiều cao h , diện tích ñáy σ ở trong trọng trường ở nhiệt ñộ T ,biết rằng số hạt khí là N . Bài 11. Trong hình lập phương cạnh L có chứa N phân tử khí lý tưởng ở nhiệt ñộ T . Bình khí ñược ñặt trong trường trọng lực có gia tốc g . Tìm áp suất tác dụng lên mặt trên của hình lập phương. Bài 12. Hỗn hợp hai khí lý tưởng gồm 1N hạt có khối lượng 1m và 2N hạt có khối lượng 2m chứa trong một bình hình trụ có chiều cao h và ñiện tích ñáy σ . Bình khí ñược ñặt trong trọng trường với gia tốc g . Tìm áp suất ñặt lên mặt trên của bình và vị trí của khối tâm . Bài 13. Biết rằng ñộng năng của chuyển ñộng quay của phân tử 2 nguyên tử có các khối lượng A m và B m ñối với khối tâm của chúng bằng :         θ +=ε ϕθ 2 2 2 2 1 sin p p I q ở ñây I là moment quán tính ñối 2 với khối tâm phân tử còn ,p pθ ϕ là xung lượng suy rộng ứng với các tọa ñộ cầu θ, ϕ. Hãy tính : tổng thống kê, entropy, nhiệt dung ứng với chuyển ñộng quay của phân tử hai nguyên tử. Bài 14. Cho một khí lý tưởng ở trong hình trụ bán kính ñáy R , chiều cao h . Biết rằng hình trụ quay quanh trục của nó với vận tốc góc ω. a. Xác ñịnh áp suất của khí tác dụng lên thành bình. b. Tìm nội năng của khí. Bài 15. Tìm khối tâm của một cột khí lý tưởng nằm trong trọng trường ñều, biết rằng gia tốc trọng trường là g , khối lượng một phân tử là m và nhiệt ñộ là T . Bài 16. Trong một bình hình trụ bán kính R , chiều cao h ñặt trong trọng trường, ngưới ta trộn l khí lý tưởng có số hạt bằng nhau nhưng có khối lượng khác nhau 1 2, ,..., lm m m . Xác ñịnh khối tâm của hệ. Bài 17. Khảo sát hệ gồm N dao ñộng tử tuyến tính cổ ñiển với khối lượng m và tần số ω. Hãy tính tích phân trạng thái của hệ, từ ñó xác ñịnh sự phụ thuộc nhiệt ñộ của nội năng và nhiệt dung của hệ. Bài 18. Tìm biến thiên của entropy khi hỗn hợp hai khí khác nhau có cùng một nhiệt ñộ và áp suất nhưng có thể tích khác nhau 1V và 2V . Bài 19. Cho hai bình chứa cùng một chất khí lý tưởng với các tham số T và N như nhau nhưng ở các áp suất 1P và 2P . Hai bình ñược nối với nhau. Tìm sự thay ñổi của entropy của hệ. Bài 20. Hai khí lý tưởng giống nhau với cùng áp suất P và số hạt N nhưng ở các nhiệt ñộ 1T và 2T , chứa trong các bình có thể tích 1V và 2V . Tìm sự thay ñổi của entropy khi nối hai bình. Bài 21. Sử dụng ñịnh lý phân bố ñều ñộng năng theo các bậc tự do và ñịnh lý virial dưới dạng: i i i i p H p q H q ∂ ∂ = ∂ ∂ , tính năng lượng trung bình của dao ñộng tử ñiều hoà tuyến tính cổ ñiển. Bài 22. Sử dụng ñịnh lý virial, tính năng lượng trung bình của dao ñộng tử có thế năng 4( )u x kx= . Bài 23. Sử dụng ñịnh lý virial, tính năng lượng trung bình của hạt chuyển ñộng trong trường lực có thế năng 2( ) nU q q= α ( n : số tự nhiên, α : hằng số dương). Bài 24. Chứng minh các hệ thức sau : a. i i H F F kT q q ∂ ∂ = ∂ ∂ ( khi )iH q→+∞ →±∞ b. i i H F F kT p p ∂ ∂ = ∂ ∂ §2. Các thống kê lượng tử . Bài 1. Tính năng lượng trung bình và nhiệt dung của N dao ñộng tử ñiều hoà tuyến tính ñộc lập. Bài 2. Tính năng lượng tự do và entropy của N dao ñộng tử ñiều hoà tuyến tính ñộc lập. Bài 3. Tính năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ N dao ñộng tử ñiều hoà hai chiều ñộc lập có các mức năng lượng ν+=ε h)n(n 1 suy biến bội ( ) 1ng nε = + . Bài 4. Tính tổng thống kê và năng lượng trung bình của dao ñộng tử 3 chiều mà các mức năng lượng ν+=ε h)n(n 2 3 suy biến bội ( 1)( 2) ( ) 2n n n g + + ε = . Bài 5. Xác ñịnh năng lượng trung bình của hệ có các mức năng lượng không suy biến ( : ; 0,1,..., 1)l l const l nε = ε ε = − . Bài 6. Tìm năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ N hạt không tương tác có thể ở trong hai trạng thái lượng tử với các mức năng lượng không suy biến ε1 và ε2 . Bài 7. Nếu hạt có spin 1/2 ñặt trong từ trường H thì các mức năng lượng của nó tách làm 2 : H−µ 3 và H+µ tương ứng với các moment từ -µ và +µ song song hay ñối song với từ trường H . Giả sử hệ gồm N hạt như thế ñược ñặt trong từ trường H ở nhiệt ñộ T . Sử dụng phân bố chính tắc Gibbs , xác ñịnh nội năng, nhiệt dung và moment từ toàn phần của hệ. Bài 8. Một hệ có thể ở trong hai trạng thái lượng tử với năng lượng 1ε và 2ε . Bội suy biến của các trạng thái ñó lần lượt là 1g và 2g . Thiết lập sự phụ thuộc của S vào E . Bài 9. Tính tổng thống kê của quay tử phẳng với các mức năng lượng 2 2 ( 1) 8l l l I ε = + π ℏ ( 0, )l = ∞ , suy biến bội ( ) 2 1lg lε = + . Xét các trường hợp giới hạn nhiệt ñộ thấp và nhiệt ñộ cao : 2 28d T T Ik >> = π ℏ . Bài 10. Tìm sự liên hệ giữa áp suất và mật ñộ năng lượng của khi Bose lượng tử trong trường hợp không tương ñối. Bài 11. Phổ năng lượng của các photon có dạng ( )k ckε = ℏ , trong ñó k  là vector sóng và | |k k=  . Tính năng lượng tự do, entropy, nhiệt dung và phương trình ñoạn nhiệt của khí photon. Bài 12. Chứng minh rằng : ∫ +∞ ∞− −=      ∂ ∂ 1dE E f ; ở ñây f là hàm phân bố Fermi. Bài 13. Giả sử : E = µ + δ Chứng minh rằng, ñối với giá trị bất kỳ của δ, ta có hệ thức : )(f)(f δ−−=δ 1 ở ñây )(f δ là hàm phân bố Fermi khi E = µ + δ . Bài 14. Chứng minh rằng ñối với các boson ta có hệ thức : [ ]∑ ++−−= i iiii )nln()n(nlnnkS 11 ở ñây in là số boson trung bình trong trạng thái i. Bài 15. Chứng minh rằng ñối với các fermion ta có hệ thức : [ ]∑ −−+−= i iiii )nln()n(nlnnkS 11 ở ñây in là số fermion trung bình trong trạng thái i.