Bài tập về giới hạn của dãy số và hàm số ( có sử dụng tài liệu từ các nguồn khác )

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:  lim 0 hay u 0 khi n + .nunn     b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực ( n ), nếu  lim 0. n n u a    Kí hiệu:   nlim hay u khi n + .n n u a a       Chú ý:    lim limn n n u u   . 2. Một vài giới hạn đặc biệt. a) * k 1 1 lim 0 , lim 0 , n n    n b)  lim 0 nq  với 1q  . c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c. 3. Một số định lý về giới hạn của dãy số. a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : * n v n n n u w    và       n lim lim lim u n n v w a a    . b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:      lim lim lim n n n n u v u v a b      lim . lim .lim . n n n n u v u v a b       *n lim lim , v 0 n ; 0 li nn n n uu a b v v b          lim lim , 0 ,a 0 n n n u u a u    4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với 1.q  1 lim lim 1 n u S q   5. Dãy số dần tới vô cực: a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực   n u  khi n dần tới vơ cực  n nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)= hay un  khi n . b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là  khi n nếu lim   n u   .Ký hiệu: lim(un)= hay un  khi n . c) Định lý: o Nếu :    *nlim 0 u 0 , nnu     thì 1 lim n u   o Nếu :  lim n u  thì 1 lim 0 n u  B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. 1. Giới hạn của dãy số (un) với    n P n u Q n  với P,Q là các đa thức: o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số và mẫu số cho nk để đi đến kết quả :   0 0 lim n a u b  . o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0. o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)= . 2. Giới hạn của dãy số dạng:    n f n u g n  , f và g là các biển thức chứa căn. o Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp. o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Bài tập DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN Tính các giới hạn sau : Tính 2 1 lim n n  Ta có : 1 2 2 1 lim lim 2 n n n n n        Tính 3 1 lim 2 1 n n   Giải Ta có: 1 3 3 1 3 lim lim 12 1 2 2 n n n n n n               Tính     2 2 3 2 5 lim 7 8 n n n n Giải Ta có 2 2 2 2 22 22 3 2 5 2 5 3 3 2 5 3 lim lim lim 1 87 87 8 7 7 n n n n n n n n nn n n nn              Tính lim 3 3 21 523 n nn   Giải Ta có Ta có : lim 3 3 21 523 n nn   =lim )2 1 ( ) 52 3( 3 3 32 3   n n nn n =lim 2 3 2 1 52 3 3 32    n nn Tính 3 3 2 2 3 1 lim n n n n        Giải Ta có : 3 3 3 3 33 3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 1 3 2 3 1 lim lim 2 1 3 lim 3 1 1 n n n n n nn n n n n n n n n n n n                          Tính 2 2 4 1 lim 3 2 n n n    Giải Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 4 4 1 lim lim 2 33 2 2 n n n n n n n n                 Tính 2 2 3 1 lim 1 2 n n n    Giải Ta có : 2 2 2 2 2 1 3 3 1 lim lim 1 2 1 2 1 1 1 3 lim 0 1 2 n n n n n n n n n n n n                 Tính lim n nn 21 14 2   BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 giải Ta có : lim n nn 21 14 2   =lim n n n n 21 1 4 2   =lim 2 1 2 1 1 1 4 2    n n Tính    2 1 4 lim 3 2 n n n Giải              2 2 2 1 4 1 4 lim lim 3 23 2 1 1 4 1 4 5 lim 2 3 3 3 n n n n n nn n n n Tính lim(n- 1 732   n nn ) giải Ta có : 2 2 23 7 ( ) ( 3 7) lim 1 1 7 2 2 7 lim lim 2 11 1 n n n n n n n n n n n n n                        Tính 2 2 lim 1 n n n n  Giải 2 2 2 2 1 2 2 0 lim lim 0 1 11 1 1 n n n n n n n n n             Tính    3 2 5 2 3 1 lim 1 4 n n n    Giải     3 2 5 3 2 5 5 5 2 1 3 1 2 3 1 27 lim lim 11 4 4 4 n n n n n n n n                       Tính   2 2 2 2 lim 2 1 n n n    Giải Ta có :   2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 lim lim 1 22 1 2 1 n n n n n n n n                Tính 2 4 2 2 4 lim 2 1 n n n n     Giải Ta có : 2 2 2 4 2 2 2 4 1 4 2 2 4 2 lim lim 2 1 1 22 1 2 n n n n n n n n n n               Tính 5 2 5 3 1 lim 2 1 n n n n     Giải Ta có : 5 5 2 3 5 5 3 5 2 5 1 1 1 1 lim lim 1 2 12 1 1 n n n n n n n n n n                   BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Tính 2 3 lim 4 n n n            Giải Ta có : 2 3 2 3 lim lim 0 4 4 n n nn n                                   Tính 3 4 1 lim 4 2 1 n n n n     Giải Ta có 3 1 4 1 4 43 4 1 lim lim 1 4 2 1 1 1 4 1 2 4 n n n n n n n n n n                                       Tính 5.2 5 lim 2 n n cos n Giải Ta có : 5 2 5 5.2 5 2 lim lim 5 2 2 n n n n n cos n cos n        Tính 7.2 4 lim 2.3 4 n n n n   Giải Ta có : 7 4 1 7.2 4 2 lim lim 1 2.3 4 3 4 2 1 4 n n n n n n n n                   Tính 1 1 5.2 3 lim 2 3 n n n n    Giải Ta có : 1 1 5.2 3 5.2 3 lim lim 2 3 2.2 3.3 2 3 5 1 3 1 lim 32 3 2 3 3 n n n n n n n n n n n n                            Tính 2 cos lim 3 n n n       Giải Ta có : 2 cos cos lim 3 lim 3 3 n n n n n                Vì coscos 1 1 cos lim 0 lim 0 nn n mà nên n n n n n     Tính 2 3 cos5 lim 5 n n n       Giải Ta có : 2 3 cos5 cos5 lim 5 lim 5 5 n n n n n               Vì cos5cos5 1 1 cos5 lim 0 lim 0 nn n mà nên n n n n n     Tính lim( )1 22 nnn  Giải Ta có : lim( )1 22 nnn  =lim nnn nnnnnn   22 2222 1 )1)(1( BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 =lim nnn nnn   22 22 1 )()1( =lim nnn n   22 1 1 =lim 2 1 1 1 1 1 1 1 2    nn n Tính  2 2lim 1n n n   Giải Ta có :      2 2 2 2 2 2 2 2 lim 1 1 1 lim 1 n n n n n n n n n n n n              2 2 2 1 1 1 1 lim lim 21 11 1 1 n n n n n n n n n                   Tính    2lim 2 3n n n Giải                          2 2 2 2 2 2 2 lim 2 3 2 3 2 3 lim 2 3 2 3 lim 2 3 n n n n n n n n n n n n n n n n n n               2 2 2 3 2 3 lim lim 2 3 2 3 1 1 n n n n n n n n         2 3 2 2 lim 1 1 12 3 1 1 n n n Tính  2 2lim 1 2n n n   Giải Ta có :      2 2 2 2 2 2 2 2 lim 1 2 1 2 1 2 lim 1 2 n n n n n n n n n n                 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 lim lim 1 2 1 2 3 3 lim 21 2 1 1 n n n n n n n n n n n n                          Tính 2 21 4 2 lim n n n n      Giải Ta có            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2 lim 3 1 4 2 1 4 2 lim 3 1 4 2 1 4 2 lim 3 1 4 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                              BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943    2 2 2 3 1 lim 3 1 4 2 n n n n n n          2 2 2 2 2 1 1 3 lim 3 3 1 1 2 1 1 4 n n n n n n n n                        Tính  2 2lim 1 2n n n   Giải Ta có :        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 lim 1 2 lim 1 2 1 2 3 lim lim 1 2 1 2 3 3 lim 21 2 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                                  Tính   3 3lim 2n n Giải                          3 3 2 3 23 3 3 33 2 3 23 33 lim 2 2 2 2. lim 2 2. n n n n n n n n n n n n                       3 3 3 3 2 3 23 33 2 3 23 33 2 lim 2 2. 2 lim 2 2. n n n n n n n n n n n n   2 233 33 2 lim 0 2 2.n n n n       Chứng minh các dãy số có số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0 : sin 1 n n u n n   Giải Ta có : sin sinsin 1 1 1 1 sin lim 0 lim 0 1 nn n nn n n n n mà nên n n n           2 1 2 nu n    Giải Ta có :         2 2 1 1 1 1 lim 0 lim 0 2 2 n n mà nên n n n n          1 ! nu n  Giải Ta có 1 1 1 1 0 lim 0 ! ! mà lim nên n n n n    21 cos 2 1 n n u n    Giải Ta có : 2 21 cos 2 1 cos 2 1 2 1 22 1 2 n n vì nên n n nn         21 1 cos lim 0 lim 0 2 1 n mà nên n n     5 3 1 n n n u   Giải Ta có : BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 5 5 5 3 1 3 3 5 5 lim 0 lim 0 3 3 1 n n n n n n n n mà nên                 2 sin 2 n n n u n n    Giải  2 2 sin 2 1 1 1 1 sin 2 lim 0 lim 0 n n n n n n n n n n mà nên n n n             2 3 1 sin cos 2 1 n n n n u n     Giải Ta có :     12 3 3 3 3 1 2 3 3 1 sin cos 2 1 1 2 1 2 1 sin cos1 lim 0 lim 0 2 1 n n n n nn n n n n mà nên n n                       1 1 1 1 2 3 n n n n u      Giải Ta có :     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 2 11 1 lim 0 lim 0 2 2 3 n n n n n n n n nn n n mà nên                        5 n n cos n u n n n    Giải Ta có :   5 1 1 1 1 5 lim 0 lim 0 n cos n n n n n n n n n cos n mà nên n n n n            22 1nu n n   Giải Ta có :        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n                      Mà  21lim 0 lim2 1 0nên n n n     1nu n n   Giải Ta có :    1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 21 2 n n n n n n n n n n nn n n n n                         Mà   21 lim 0 lim 1 0nên n n n          Tìm giới hạn của dãy số  nu với 3 3 3 1 1 1 ... . 1 2 nu n n n n       Giải Ta có số hạng tổng quát là :   3 3 3 1 1 1,2,..., 1 1 k n u k n n k n n         Nên BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 3 1 0 1 lim 0 lim 0 k k n u nn mà nên u n      Cho dãy số  nu xác định bởi 1 2 1 1 4 2 n n n u u u u n         CMR a)   1 0 1 4 nu  b) 1 3 4 n n u u   Từ đó suy ra lim 0nu  Giải Câu a) SD phương pháp quy nạp Với n = 1 ta có 1 1 1 0 4 4 u   (đúng) Giả sử (1) đúng với 1n k  Nghĩa là 1 0 4 ku  (đúng) Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng với n= k +1. Thật vậy, ta có : 2 2 1 1 1 1 1 2 16 16 4 16 k k k k u u u u             Vì 1 0 4 ku  nên 1 3 1 0 16 4 ku    Vậy (1) luôn đúng với mọi n. Câu b) Ta có : 2 1 1 1 1 32 2 4 2 4 n n n n n n u u u u u u        (ĐPCM). Vậy 1 3 4 n nu u  Từ đó suy ra 2 1 2 3 2 1 1 1 1 1 3 4 3 3 4 4 ............................ 3 3 1 3 4 4 4 4 n n n n u u u u u u u u                                 Mà 1 1 3 lim 0 4 4 lim 0 n nu          Cho dãy số  nu xác định bởi 1 1 10 n n u u u    CMR a)  1 , 1nu n  b) 1 1 1 2 n n u u     c) Tìm lim nu Giải Câu a) SD phương pháp quy nạp Với n =1 ta có : 1 10 1u   (đúng) Giả sử (1) đúng với .  n k k 1  Nghĩa là 1ku  Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng với n= k+1, hay 1 1ku   Thật vậy ta có : 1 11 1k k k ku u màu nên u    Vậy (1) luôn đúng với mọi n. Câu b) theo bài ra ta có: BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943    1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u                 Câu c) Đặt 1 1 11 10 1 9 1n n n nv u v và v u         Theo câu b ta có : 1 1 2 n nv v  Vậy 2 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 ............................ 1 1 1 9 2 2 2 n n n n v v v v v v v v                                 Mà   1 1 lim9 0 lim 0 lim 1 0 2 lim 1 n n n n nên v u u              Cho dãy số  nu xác định bởi 1 1 5 2 6 3 n n u u u       Gọi  nv là dãy số xác định bởi 18n nv u  a) CMR  nv là cấp số nhân lùi vô hạn. b) Tìm lim nu . Giải Câu a) theo bài ra ta có: 1 1 1 2 2 6 18 12 3 3 2 12 3 n n n n n n u u u u v u            Mặt khác 18n nu v  Vậy  1 2 2 18 12 3 3 n n nv v v     Vậy  nv là CSN lùi vô hạn với công bội 2 3 q  . Câu b) Vì 1 2 3 n nv v  . Nên 2 1 2 3 2 1 1 1 1 1 2 3 2 2 3 3 ............................. 2 2 2 13 3 3 3 n n n n v v v v v v v v                                 Mà 1 2 lim13 0 lim 0 3 lim 18 n n n nên v u            Cho dãy số xác định bởi   1 1 2 1 1 2 n n u u u n        Tính lim nu . Giải Ta nhận xét 1 2 3 4 5 3 5 9 17 2, , , , 2 4 8 16 u u u u u     Dự đoán   1 1 2 1 1 2 n n n u     Ta chứng minh dự đoán bằng quy nạp BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Kiểm tra với n=1, ta có 1 2u  đúng với bài cho - Giả sử (1) đúng với  1n k k  . Nghĩa là 1 1 2 1 2 k k k u     - Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng với n = k+1.hay 1 2 1 2 k k k u    - Thật vậy ta có: 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2.2 1 2 12 2 2 2.2 2 k k k k k k k k u u              Vậy 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 lim lim lim 1 2 2 n n n n n n u              Cho dãy số  nu xác định bởi   1 1 1 2 1 1 2 n n u u n u         Tính lim nu Giải Nhận xét 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , ... 2 3 4 5 u u u u    Dự đoán  1 1 n n u n   Ta chứng minh dự đoán bằng quy nạp - Với n=1, ta có : 1 1 2 u  (đúng) - Giả sử (1) đúng với  1n k k  . Nghĩa là 1 k k u k   - Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng với n = k+1. Hay 1 1 2 k k u k     - Thật vậy theo bài ra ta có: 1 1 1 1 2 2 2 1 k k k u ku k k         Suy ra 1 n n u n   đúng với mọi 1n  Vậy lim lim lim 1 11 1 n n n u n n n           Tính tổng 1 1 2 2 1 ... 22 S       Giải Dãy số vô hạn 1 1 2 2 1 ... 22      là một CSN lùi vô hạn với công bội 2 1 1 2 2 q      Do đó 1 2 2 2 11 2 11 2 u S q      Tính tổng 11 1 1 1 1, , , ,..., ,... 2 4 8 2 n S           Giải Dãy số vô hạn 11 1 1 1 1, , , ,..., ,... 2 4 8 2 n         Là 1 CSN lùi vô hạn với 1 2 q   Nên 1 1 2 11 3 1 2 u S q      Tìm dạng tổng quát của CSN lùi vô hạn  nu . Biết tổng của nó bằng 32 và 2 8u  Giải Theo bài ra ta có :  1 32 1 1 u S q    Mặt khác 2 1 1 8 8u u q u q     thế vào (1) BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 ta có 2 1 8 1 32 4 4 1 0 16 1 2 q q q q u q           vậy số hạng tổng quát là 11 16 2 n nu         DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC Tính lim(2n 3 +3n-1) giải Ta có lim(2n 3 +3n-1)=lim n 3 (2+ 32 13 nn  )=+  Tính lim(-2n 2 +n n -n+4) Giải Ta có : lim(-2n 2 +n n -n+4) =limn 2 (-2+  ) 411 2nnn . Tính 33lim 5n n Giải Ta có : 33 3 2 5 lim 5 lim 1n n n n           Tính 2lim 1n n  Giải Ta có 2 2 1 1 lim 1 lim 1n n x n n        Tính 3 2lim 2 1n n  Giải Ta có : 3 2 3 1 1 lim 2 1 lim 2n n n n n n        Tính  2lim 1n n n   Giải Ta có :    2 2 2 1 1 lim 1 lim 1n n n n n n               Tính 33 lim 2 15 n n n   Giải Ta có : 3 3 2 3 2 3 3 1 3 lim lim 2 152 15 n n n n n n n n                Vì 2 2 3 2 3 3 lim 1 1 2 15 2 15 lim 0 0 n và n n n n                     Tính 2 2 11 lim 3 1 n n n n     Giải Ta có : BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 2 2 2 2 2 2 3 1 11 1 11 lim lim 3 13 1 1 n n n n n n n n n n                   vì 2 2 3 2 3 1 11 lim 1 1 3 1 3 1 lim 1 0 1 0 n n và n n n n                   Tính lim( )1 22 nnn  Giải Ta có :lim( )1 22 nnn  =limn(  ) 1 1 1 1 2 nn Tính 1 lim 2n n       Giải Ta có : 1 1 1 lim 2 lim2 1 2 n n nn n                 Tính 3 2 3 5 1 lim 4 n n n    Giải Ta có : 3 3 2 3 2 3 3 1 1 3 5 3 5 1 lim lim 1 44 n n n n n n n n n                  Vì 2 3 3 3 1 1 lim 3 5 3 0 1 4 1 4 lim 0 0 n n và n n n n                      Tính 2 2lim 1 n n       Giải Ta có : 3 2 2 3 3 3 2 3 2 2 lim lim 1 1 1 2 1 lim 1 1 n n n n n n n n n n n                         Vì 3 2 3 2 3 1 2 lim 1 1 0 1 1 1 1 lim 0 0 n n và n n n n                      Tính     3 2 2 1 lim 2 3 n n n n Giải 3 3 3 2 3 22 2 33 2 1 2 1 1 2 1 lim lim lim 1 1 32 32 3 n n n n n n n n