Bài tập về sự tương giao liên quan đến hàm phân thức

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai PHẦN 7: BÀI TẬP VỀ SỰ TƯƠNG GIAO LIÊN QUAN ĐẾN HÀM PHÂN THỨC VD1: Cho hàm sô ́ x 3 y x 1    cố đô ̀ thị là (C). a) Chứng minh ra ̀ ng đường tha ̉ng (d): y = 2x + m luôn luôn ca ́ t (C) tại hai điê ̉m phân biê ̣ t M và N. b) Xác định m đê ̉ đô ̣ dài MN nhổ nha ́ t. Phương trình hoành đô ̣ giaô điê ̉m của (d) và (C): x 3 2x m x 1     2g(x) 2x (m 1)x m 3 0 (x 1) (*)         Ta cố: 2 2(m 1) 8(m 3) (m 3) 16 0, m g( 1) 2 0, m                  → phương trình (*) luôn luôn cố hai nghiê ̣m phân biê ̣ t khác – 1. Va ̣y (d) luôn ca ́ t (C) tại hai điê ̉m phân biê ̣ t M và N. Gội x1, x2 la ̀ n lượt là hoành đô ̣ của M và N thì x1, x2 là nghiê ̣m của phương trình (*). Ta cố: 1 2 1 2 1 1 x x (m 1), x x (m 3) 2 2       . Ma ̣ t khác: 1 1 2 2y 2x m, y 2x m    . Ta cố: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 MN (x x ) (y y ) (x x ) 4(x x ) 5 (x x ) 4x x 1 5 (m 1) 2(m 3) 4                       2 25MN (m 3) 16 20 MN 2 5 4         . Va ̣y MNmin = 2 5 , đạt được khi m = 3. VD2: Cho hàm số 2   x xm y có đồ thị là )( mH , với m là tham số thực. Tìm m để đường thẳng 0122:  yxd cắt )( mH tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích là . 8 3 S BÀI TẬP VỀ SỰ TƯƠNG GIAO LIÊN QUAN ĐẾN HÀM PHÂN THỨC Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai Hôành độ giaô điểm A, B của d và )( mH là các nghiệm của phương trình 2 1 2    x x mx 2,0)1(22 2  xmxx (1) Pt (1) có 2 nghiệm 21, xx phân biệt khác 2              2 16 17 0)1(22)2.(2 01617 2 m m m m . Ta có .1617. 2 2 4)(.2)(.2)()( 21 2 12 2 12 2 12 2 12 mxxxxxxyyxxAB  Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d là . 22 1 h Suy ra , 2 1 8 3 1617. 2 2 . 22 1 . 2 1 .. 2 1  mmABhS OAB thỏa mãn. VD3: Cho hàm số y = 2 2 x x  (C) . Tìm m để đường thẳng (d ): y = x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị sao cho khoảng cách giữa 2 điểm đó là nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thì pt 2 2 x x m x    hay x2 + (m - 4)x -2x = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2. Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 khi và chỉ khi 2 16 4 0 m m       (2). Giả sử A(x1;y1), B(x2;y2) là 2 giaô điểm khi đó x1, x2 là 2 nghiệm phương trình (1). Thêô định lí viet ta có 1 2 1 2 4 (3) 2 x x m x x m       , y1=x1+m, y2=x2+m Để A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị thì A, B nằm khác phía đối với đt x – 2 = 0. A, B nằm khác phía đối với đt x – 2 = 0 khi và chỉ khi (x1- 2)(x2 - 2) < 0 hay x1x2 – 2(x1 + x2) +4 < 0 (4) thay (3) vàô 4 ta được – 4 < 0 luôn đúng (5) mặt khác ta lại có AB = 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2( ) 8x x y y x x x x      (6) Thay (3) vàô (6) ta được AB = 22 32 32m   vậy AB = 32 nhỏ nhất khi m = 0 (7). Từ (1), (5), (7) ta có m = 0 thoả mãn . Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai VD4: Cho hàm số 1 1 x y x    . Tìm a và b để đường thẳng (d): y ax b  cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua đường thẳng ( ): 2 3 0x y   . Phương trình của ( ) được viết lại: 1 3 2 2 y x  . Để thoả đề bài, trước hết (d) vuông góc với ( ) hay 2a   Khi đó phương trình hôành độ giao điểm giữa (d) và (C): 1 2 1 x x b x       22 ( 3) ( 1) 0x b x b     . (1) Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B  (1) có hai nghiệm phân biệt  0   2 2 17 0b b    b tuỳ ý. Gọi I là trung điểm của AB, ta có 3 2 4 3 2 2 A B I I I x x b x b y x b             . Vậy để thoả yêu cầu bài toán  ton tai , ( ) ( ) à ï A B AB I         2 2 3 0 I I b a x y          2 3 ( 3) 3 0 4 a b b             2 1 a b       . VD5: Cho hàm số 1 1 x y x    ( 1 ) có đồ thị ( )C . Chứng minh rằng đường thẳng ( ) : 2d y x m  luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau. Xác định m để đôạn AB có độ dài ngắn nhất. Chứng minh rằng đường thẳng ( ) : 2d y x m  luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau. Xác định m để đôạn AB có độ dài ngắn nhất . Để đường thẳng (d) luôn cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt thì phương trình. 1 2 1 x x m x     có hai nghiệm phân biệt với mọi m và 1 21x x  Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai 1 ( 1)(2 ) 1 x x x m x        có hai nghiệm phân biệt 1 21x x  22 ( 3) 1 0 (*) 1 x m x m x          có hai nghiệm phân biệt 1 21x x   0 (1) 0f     2( 1) 16 0 (1) 2 ( 3) 1 2 0 m m f m m                 Vậy với mọi giá trị của m thìđường thẳng ( ) : 2d y x m  luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau. Gọi 1 1 2 2( ;2 ), ( ;2 )A x x m B x x m  là hai điểm giao giữa (d) và (C).( 1 2;x x là hai nghiệm của phương trình (*)) Ta có 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1( ;2( )) ( ) (2( )) 5( )AB x x x x AB x x x x x x          Theo Vi ét ta có 2 1 5 ( 1) 16 2 5 2 AB m m       . 2 5 1AB m    Vậy với m = -1 là giá trị cần tìm. Ví dụ 6: Cho hàm x y x1   . Tìm m để đường thẳng d y mx m: 1   cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho AM AN2 2 đạt giá trị nhỏ nhất, với A( 1;1) . PT hôành độ giaô điểm của (C) và d: xx mx m x mx mx m 2 1 1 1 2 1 0 (2)             d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt  (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1  m 0 . Gọi I là trung điểm của MN  I(1; 1) cố định. Ta có: MN AM AN AI 2 2 2 2 2 2    . Dô đó AM AN2 2 nhỏ nhất  MN nhỏ nhất MN x x m m m 2 2 2 2 1 4 ( ) (1 ) 4 8       . Dấu "=" xảy ra  m 1  . Vậy: AM AN2 2min( ) 20  khi m 1  . Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai VD7: Cho hàm số y = 1 12   x x (1). Định k để đường thẳng d: y = kx + 3 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm M, N sao cho tam giác OMN vuông góc tại O. ( O là gốc tọa độ) Xét pt: )(04)1()1(3 1 12 2 xgxkkxxkx x x    d cắt đồ thị hs (1) tại M, N                347347 0 0)1( 0 0 kk k g k            k xx k k xx kkk xxkxxkkxkxxxONOMONOM NM NM NMNMNMNM 4 . 1 53046 09)(3).)(1(0)3)(3(.0. 2 2 VD 8: Cho hàm số x y f x x 2 1 ( ) 1     . Tìm các giá trị của m saô chô đường thẳng (d): y x m  cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho diện tích tam giác IMN bằng 4 (I là tâm đối xứng của (C)). Tâm đối xứng của (C) là I(1; 2). Xét phương trình hôành độ giaô điểm của (d) và (C): xx x m x f x x m x m 2 12 1 1 ( ) ( 3) 1 0               d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N f x( ) 0  có hai nghiệm phân biệt M N x x, khác 1 m m f 2 2 13 0 (1) 3 0           (đúng với mọi m). Tọa độ các giaô điểm là M M N N M x y N x y( ; ), ( ; ) . M N M N MN x x x x m m 2 2 2 ( ) 4 2( 2 13)        ; m d d I d 1 ( , ) 2    IMN S MN d m m m 21 4 . 4 1 . 2 13 8 2          m m3; 1   . Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai VD9: Cho hàm số 2 4 1 x y x    . Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và 3 10MN  . Từ giả thiết ta có: ( ) : ( 1) 1.d y k x   Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm 1 1 2 2( ; ), ( ; )x y x y phân biệt sao cho     2 2 2 1 2 1 90(*)x x y y    2 4 ( 1) 1 ( )1 ( 1) 1 x k x Ix y k x           . Ta có: 2 (2 3) 3 0 ( ) ( 1) 1 kx k x k I y k x            Dễ có (I) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 2 (2 3) 3 0(**)kx k x k     có hai nghiệm phân biệt. Khi đó dễ có được 3 0, . 8 k k  Ta biến đổi (*) trở thành:     2 22 2 2 1 2 1 2 1(1 ) 90 (1 )[ 4 ] 90(***)k x x k x x x x        Thêô định lí Viet cho (**) ta có: 1 2 1 2 2 3 3 , , k k x x x x k k      thế vàô (***) ta có phương trình: 3 2 28 27 8 3 0 ( 3)(8 3 1) 0k k k k k k         16 413 16 413 3     kkk . KL: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên. VD10: Cho hàm số x y x 2 1 1    có đồ thị là (C). Tìm các giá trị m để đường thẳng y x m3   cắt (C) tại A và B sao cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng d x y: 2 2 0   (O là gốc tọa độ). PT hôành độ giaô điểm: x x m x 2 1 3 1      x m x m23 (1 ) 1 0      (1), x( 1) d cắt (C) tại A và B  (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 m m 11 1       (*) Gọi x x 1 2 , là các nghiệm của (1). Khi đó A x x m B x x m 1 1 2 2 ( ; 3 ), ( ; 3 )    Gọi I là trung điểm của AB I I I x x m m x y x m 1 2 1 1 , 3 2 6 2           Gọi G là trọng tâm tam giác OAB m mOG OI G 2 1 1 ; 3 9 3           m m G d m 1 1 11 2. 2 0 9 3 5               (thoả (*)). Vậy m 11 5   . Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai VD11: Cho hàm số 2 2 1 x y x    (C). Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 5 . Phương trình hôành độ giaô điểm: 2x2 + mx + m + 2 = 0 , (x≠ - 1) (1) d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt  PT(1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1  m2 - 8m - 16 > 0 (2) Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m). Ta có x1, x2 là 2 nghiệm của PT(1). Thêô ĐL Viét ta có 1 2 1 2 2 2 2 m x x m x x         . AB2 = 5  2 2 1 2 1 2( ) 4( ) 5x x x x     2 1 2 1 2( ) 4 1xx x x    m2 - 8m - 20 = 0  m = 10 , m = - 2 ( Thỏa mãn (2)) -----Hết-----