Bài tập xác suất thống kê

Bài 1: Hỏi có bao nhiêu cách xếp r hành khách lên n toa tàu, mỗi người có thể lên 1 toa bất kỳ và mỗi toa chứa hơn r người? Giải. Để xếp r hành khách lên n toa tàu ta chia làm r giai đoạn, giai đoạn i xếp cho người thứ i. Số cách xếp là n (
). Theo quy tắc nhân số cách xếp r hành khách lên n toa tàu là:
Bài 2: 1 người chọn số PIN có 6 chữ số của thẻ ATM: Hỏi có bao nhiêu số PIN người đó có thể chọn? Hỏi có bao nhiêu số PIN có 6 chữ số khác nhau? Giải: Mỗi số PIN có 6 chữ số là 1 chỉnh hợp lặp chập 6 từ 10 phần tử (0, 1, 2, ….,9). Vậy số các số Pin có 6 chữ số là:
Một số PIN có 6 chữ số khác nhau là 1 chỉnh hợp chập 6 từ 10 phần tử (0, 1, 2, ….,9). Vậy số các số Pin có 6 chữ số khác nhau là:
Bài 3: 1 công ty cần tuyển 4 nhân viên, có 15 người nộp hồ sơ, trong đó có 10 nam và 5 nữ. Khả năng được tuyển của mỗi người như nhau. Hỏi có bao nhiêu kết quả đồng khả năng xảy ra? Hỏi có bao nhiêu kết quả 4 người được tuyển gồm 2 nam 2 nữ? Giải: Mỗi kết quả đồng khả năng là chọn ra 4 người từ 15 người không kể thứ tự là 1 tổ hợp chập 4 từ 15 phần tử. Vậy số kết quả đồng khả năng xảy ra là :
Để có kết quả 4 người được tuyển có 2 nam 2 nữ ta chia làm 2 giai đoạn: Giai đoạn 1: Chọn 2 nam trong 10 nam, số cách chọn là:
Giai đoạn 1: Chọn 2 nữ trong 5 nữ, số cách chọn là:
Vậy số kết quả của 4 người được tuyển có 2 nam 2 nữ là:
Bài 4: 1 hộp có 6 bi đỏ 4 bi xanh, lấy ngẫu nhiên ra 1 bi, tìm xác suất bi lấy ra là bi đỏ. Giải: Số kết quả đồng khả năng xảy ra là:
Gọi A là biến cố bi lấy ra là bi đỏ. Số kết quả thuận lợi cho A xảy ra là:
Xác suất bi lấy ra là bi đỏ là:
Bài 5: Một hộp có 6 bi đỏ, 4 bi xanh lấy ngẫu nhiên ra 4 bi. Tìm xác suất 4 bi lấy ra có 2 bi đỏ và 2 bi xanh. Giải: Số kết quả đồng khả năng xảy ra là:
Gọi A là biến cố 4 bi lấy ra có 2 bi đỏ và 2 bi xanh:
Vậy 
Bài 6: Một người mua 1 vé số có 5 chữ số tìm xác suất: Để người đó trúng giải 8? Để người đó trúng giải khuyến khích? Giải: Mỗi vé số có 5 chữ số là 1 chỉnh hợp lặp chập 5 từ 10 phần tử (0,1,…..,9), vậy số vé số có 5 chữ số là:
Mua 1 vé số kết quả đồng khả năng xảy ra là 100.000 Gọi A là biến cố người đó trúng giải 8, giả sử giải tám là ab, khi đó các vé trúng giải tám là xyzab ứng với 1 chỉnh hợp lặp chập 3 : x,y,z từ 10 phần tử (0,1,…..9), vậy số vé số trúng giải tám là:
Số kết quả thuận lợi cho A xảy ra là 1000. Vậy 
Gọi B là biến cố người đó trúng giải khuyến khích. Giả sử giải đặc biệt là: abcde Các vé trúng giải khuyến khích: xbcde (x#a) có 9 vé. axcde (x#b) có 9 vé. abxde (x#c) có 9 vé. abcxe (x#d) có 9 vé. abcdx (x#e) có 9 vé. Số vé trúng giải khuyến khích là: 9.5 = 45 Vậy số kết quả thuận lợi cho B xảy ra là 45 Vậy 
Bài 7: Hai người A và B hẹn gặp nhau tại 1 địa điểm trong khoảng thời gian từ 8h đến 9h, người đến trước đợi người kia quá 15’ bỏ đi, tìm xác suất để A, B gặp nhau. Giải: Quy gốc thời gian về 8h. Gọi x,y lần lượt là thời điểm tới điểm hẹn (đơn vị phút) của A và B, khi đó
,
. Mỗi kết quả đồng khả năng là cặp x,y với đó
,
. Khi đó không gian mẫu các kết quả đồng khả năng.
là miền phẳng giới hạn bởi hình vuông OCDE. Số đo (
diện tích (OCDE) = 602 Gọi F là biến cố A và B gặp nhau, khi đó mỗi phần tử của F là cặp (x,y) sao cho khoảng cách giữa
Vậy
là miền phẳng giới hạn bởi đa giác lồi OIJDLM. Số đo (F) = diện tích (OIJDLM) = 602 – 2.
Bài 8: Một hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh lấy cùng lúc ra 3 bi, tìm: Xác suất 3 bi lấy ra cùng màu. Xác suất 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ. Giải: Gọi A là biến cố 3 bi lấy ra đều là bi đỏ. B là biến cố 3 bi lấy ra đều là bi xanh. C là biến cố 3 bi lấy ra cùng màu. Khi đó
, hai biến cố A, B xung khắc nên:
Ta có:

Vậy
Gọi D là biến cố 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ. Cách 1 Gọi
là biến cố đối lập của biến cố D, tức
là biến cố 3 bi lấy ra đều là xanh. Khi đó
Vậy
Cách 2 Gọi Ai là biến cố 3 bi lấy ra đều đúng i bi đỏ (i = 1,2,3), khi đó:
các biến cố A1, A2, A3 xung khắc từng đôi nên:
Trong đó:



Bài 9: Trong 1 kho chứa tivi có số liệu
chọn ngẫu nhiên 1 TV để kiểm tra, tìm xác suất để TV chọn ra là TV Sony hoặc TV 45 inches. Giải: Gọi A là biến cố TV chọn ra kiểm tra là TV sony. B là biến cố TV chọn ra kiểm tra là TV 45 inches. C là biến cố TV chọn ra kiểm tra là TV sony hoặc 45 inches. Khi đó
; hai biến cố A và B độc lập nên
Từ bảng số liệu:
Vậy
Bài 10: Một hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh, lấy lần lượt từng bi 1 cho tới khi lấy được 2 bi xanh thì thôi, tìm xác suất để lấy đến viên thứ 3 thì thôi. Giải: Gọi Ai là biến cố lấy được bi xanh ở lần thứ i (i = 1,2,3)
là biến cố đối lập với biến cố Ai (i = 1,2,3) A là biến cố lấy đến viên thứ 3 thì thôi. Khi đó:
, hai biến cố
,
xung khắc nên:


Vậy
Bài 11: Một người nhặt được 1 thẻ ATM có số PIN 6 chữ số, người đó giao dịch với máy ATM cho tới khi giao dịch được hoặc bị thu thẻ thì thôi. Tìm xác suất người đó giao dịch được. Giải: Gọi A là biến cố người đó giao dịch được.
là biến cố đối lập với biến cố A, tức
là biến cố người đó bị thu thẻ. Khi đó:
nên
Ta có:


Vậy

Bài 12: Một thiết bị có 3 bộ phận hoạt động độc lập, xác suất hỏng của bộ phận 1, bộ phận 2, bộ phận 3 trong khoảng thời gian t tương ứng là 0,1; 0,2; 0,3 Tìm xác suất để trong khoảng thời gian t cả 3 bộ phận đều hỏng. Tìm xác suất để trong khoảng thời gian t có ít nhất 1 bộ phận hỏng. Tìm xác suất để trong khoảng thời gian t có đúng 1 bộ phận hỏng. Giải: Gọi Ai là biến cố bộ phận i bị hỏng trong khoảng thời gian t (i = 1,2,3)
là biến cố đối lặp với biến cố Ai (i = 1,2,3)

Gọi A là biến cố cả 3 bộ phận đều hỏng, khi đó A = A1A2A3; các biến cố A1, A2, A3 độc lập nên:
Gọi B là biến cố có ít nhất 1 bộ phận hỏng
Cách 1:





Vậy
Cách 2: Gọi
là biến cố đối lặp với biến cố B, khi đó:
các biến cố
độc lập nên:
Vậy
Gọi C là biến cố có đúng 1 bộ phận bị hỏng, khi đó:
các biến cố
xung khắc từng đôi nên
ta có



Vậy
Bài 13: Một nhà máy có 3 phân xưởng; phân xưởng 1, phân xưởng 2 , phân xưởng 3 sản xuất 1 lượng sản phẩm tương ứng 30%, 50%, 20%, biết tỷ lệ phế phẩm do phân xưởng 1, phân xưởng 2 , phân xưởng 3 sản xuất tương ứng là 2%, 3%, 4%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy. Tìm xác suất sản phẩm lấy ra là phê phẩm từ đó suy ra tỉ lệ phế phẩm của nhà máy. Giải: Gọi Ai là biến cố sản phẩm lấy ra do phân xưởng i sản xuất (i = 1,2,3) p(A1) = 30% = 0,3 p(A2) = 50% = 0,5 p(A3) = 20% = 0,2 Các biến cố A1, A2, A3 hệ đầy đủ Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra là phế phẩm, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
trong đó:


Vậy p(A) = 0,029 = 2,9% Tỉ lệ phế phẩm của nhà máy p = p(A) = 2,9% Bài 14: Có 2 chiếc hộp, hộp 1 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh, hộp 2 có 5 bi đỏ 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 rồi sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi. Tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp 2 là bi đỏ. Biết 2 bi lấy ra từ hộp 2 là bi đỏ, tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp 1 có 1 bi đỏ và 1 bi xanh. Giải: Gọi Ai là biến cố 2 bi lấy ra từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 có i bi đỏ (i = 1,2)


Các biến cố A1, A2, A3 tạo thành hệ đầy đủ. Gọi A là biến cố 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
ta có:


Vậy
Áp dụng công thức Bayes ta có:
Bài 15: Có 2 chiếc hộp, hộp 1 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh, hộp 2 có 5 bi đỏ 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 rồi sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi. Tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp 2 là bi đỏ. Giải: Gọi A1 là biến cố bi lấy từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 là bi đỏ. A2 là biến cố bi lấy từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 là bi xanh.

Hai biến cố A1, A2 tạo thành hệ đầy đủ. Gọi A là biến cố 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:


Vậy
Bài 16: Một thùng sản phẩm có 20 sản phẩm, trong đó có 15 chính và 5 phế phẩm. Trong qúa trình vận chuyển bị mất 2 sản phẩm không rõ chất lượng, ta lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm trong 18 sản phẩm còn lại. Tìm xác suất 2 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm. Biết 2 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm, tìm xác suất để 2 sản phẩm bị mất có 1 chính và 1 phế phẩm. Giải: Gọi Ai là biến cố 2 sản phẩm bị mất có i chính phẩm (i = 0,1,2)


Gọi A là biến cố 2 sản phẩm lấy ra là chính, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:



Vậy
Áp dụng công thức Bayes:
Bài 17: Một hộp có 10 quả bóng bàn, trong đó có 6 quả mới và 4 quả đã sử dụng. Lần 1 lấy ngẫu nhiên 1 quả thi đấu xong bỏ lại. Lần 2 lấy ngẫu nhiên 2 quả thi đấu. Tìm xác suất 2 quả lấy ra đều mới. Giải: Gọi A1 là biến cố quả bóng bàn lấy ra thi đấu lần 1 là quả mới.
là biến cố quả bong bàn lấy ra thi đấu lần 1 là quả đã sử dụng.
Gọi A là biến cố 2 quả bóng bàn lấy ra thi đấu lần 2 là quả mới, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
trong đó:

Vậy
Bài 18: Có 2 chiếc hộp hình thức giống nhau Hộp 1 có 7 bi đỏ và 3 bi xanh. Hộp 2 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp đó lấy ra 2 bi. Tìm xác suất 2 bi lấy ra là 2 bi đỏ. Biết 2 bi lấy ra là 2 bi đỏ, tìm xác suất để 2 bi đó là 2 bi đỏ thuộc hộp 1. Giải: Gọi Ai là biến cố hộp chọn ra là hộp i (i = 1,2).
hai biến cố A1, A2 tạo thành hệ đầy đủ. Gọi A là biến cố 2 bi lấy ra là bi đỏ, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:


Vậy
Áp dụng công thức Bayes ta có:
Bài 19: Một thiết bị có 2 bộ phận hoạt động độc lập, xác suất hỏng của bộ phận thứ i là 0,i; Nếu có đúng 1 bộ phận bị hỏng thì xác suất thiết bị bị hỏng là 0,6; nếu cả 2 bộ phận bị hỏng thì thiết bị chắc chắn bị hỏng. Tìm xác suất để thiết bị bị hỏng. Tìm xác suất có ít nhất 1 bộ phận bị hỏng. Giải: Gọi Ai là biến cố bộ phận thứ i bị hỏng (i = 1,2)
là biến cố đối lập với biến cố Ai
Gọi Bi là biến cố trong 2 bộ phận có i bộ phận hỏng (i = 0,1,2)
ta có
là 2 biến cố đối lập nên:

; hai biến cố
xung khắc nên
Hai biến cố
nên:

ta có A1A2 là 2 biến cố đối lập nên:
Các biến cố B0, B1, B2 tạo thành hệ đầy đủ. Gọi A là biến cố thiết bị bị hỏng, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

Vậy
Gọi B là biến cố có ít nhất 1 bộ phận hỏng,
là biến cố đối lập với biến cố B, tức
là biến cố 2 bộ phận không hỏng.
, ta có
là 2 biến cố độc lập.

Bài 20: 2 quả tên lửa bắn vào 1 mục tiêu độc lập, xác suất để quả thứ 1 và thứ 2 bắn trúng mục tiêu là 0,6; 0,7. Nếu có 1 quả trúng mục tiêu thì mục tiêu bị diệt với xác suất là 0,8, nếu cả 2 quả trúng mục tiêu thì mục tiêu chắc chắn bị tiêu diệt. Tìm xác suất mục tiêu bị tiêu diệt. Giải: Gọi Ai là biến cố có quả tên lửa thứ i bắn trúng mục tiêu (i = 1,2)
là biến cố đối lập với biến cố Ai Ta có :
Gọi Bi là biến cố trong 2 quả tên lửa có i quả tên lửa bắn trúng mục tiêu (i = 0,1,2).
, hai biến cố
độ lập nên

; hai biến cố
xung khắc nên
các biến cố
độc lập nên

; hai biến cố
độc lập nên
Các biến cố B0, B1, B2 tạo thành hệ đầy đủ. Gọi A là biến cố mục tiêu bị tiêu diệt, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
trong đó:
Vậy
Bài 21: Có 2 chiếc hộp, hộp 1 có 5 bi đỏ và 3 bi xanh, hộp 2 có 4 bi đỏ và 2 bi xanh, lấy ngẫu nhiên từ hộp 1 ra 2 bi và hộp 2 ra 1 bi. Tìm xác suất để 3 bi lấy ra đều màu đỏ. Trong 3 bi lấy ra, lấy ngẫu nhiên 2 bi, tìm xác suất 2 bi lấy ra là bi đỏ. Giải: Gọi Ai là biến cố 2 bi lấy ra từ hộp 1 có i bi đỏ (i = 0,1,2)
Gọi Bi là biến cố bi lấy ra từ hộp 2 có i bi đỏ (i = 0,1)
Gọi A là biến cố 3 bi lấy ra đều màu đỏ, A=A2.B1; hai biến cố A2, B1 độc lập nên
Gọi Ci là biến cố 3 bi lấy ra có i bi đỏ (i = 0,1,2,3)
; hai biến cố
độc lập nên

; hai biến cố
xung khắc nên
các biến cố
nên

; Hai biến cố
xung khắc nên
; các biến cố
độc lập nên

Các biến cố C0, C1, C2, C3, tạo thành hệ đầy đủ. Gọi B là biến cố 2 bi lấy ra từ 3 bi đó là 2 bi đỏ, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
trong đó

Vậy
Bài 22: Một đề thi trắc nghiệm có 20 câu, trong đó mỗi câu có 5 cách trả lời và chỉ có 4 cách đúng. Sinh viên A không học bài làm bài 1 cách nhẫu nhiên, tìm xác suất sinh viên A làm đúng 12 câu. Giải: Xác suất sinh viên làm đúng 1 câu là:
Bài toán thỏa mãn giả thiết định lý Becnuli với n = 20, p = 0,2, xác suất để sinh viên làm đúng 12 câu là:
Bài 23: Một giá súng có 10 cây súng cùng loại, trong đó có 6 cây loại 1 và 4 cây loại 2. Sạ thủ bắn trúng đích ở mỗi phát với súng loại 1 và loại 2 tương ứng là 0,8; 0,6. Xạ thủ A chọn ngẫu nhiên 1 cây và bắn 5 phát, tìm xác suất có đúng 3 phát trúng. Giải: Gọi Ai là biến cố xạ thủ chọn súng loại i (i = 1,2)
ta có 2 biến cố A1, A2 hệ đầy đủ Gọi A là biến cố xạ thủ bắn 5 phát trúng 3 phát, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Nếu xạ thủ a chọn súng loại 1 ta có lược đồ Becnuli n = 5, p = 0,8
Nếu xạ thủ a chọn súng loại 2 ta có lược đồ Becnuli n = 5, p = 0,6
Vậy