Bài tập xác suất thống kê có lời giải

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Bài 1. Phép thử: 12 hành khách lên 3 toa. Sô TH có thể: 312 a) A = {I: 4, II: 5}. Số TH thuận lợi cho A: C412C 5 8 . P (A) = C412C 5 8 312 = 0, 05216 b) B = {mỗi toa có 4 người lên}. Số TH thuận lợi cho B: C412C 4 8 . P (B) = C412C 3 8 312 = 0, 0652 c) C = {2 người A, B cùng lên 1 toa}. Số TH thuận lợi cho C: 3 · 1 · 310. P (C) = 3 · 1 · 3 10 312 = 1 3 Chú ý: Trong Mathematica, để tính Ckn, dùng lệnh Binomial[n, k] Bài 2. Phép thử: lấy 5 bi. Số TH có thể: C513 A = {≥ 2T}. A = {≤ 1T}. Xét 2 TH *TH1: 0T. Số TH: C57 *TH2: 1T. Số TH: 6 · C47 Số TH thuận lợi cho A: C57 + 6 · C47 . P ( A ) = C57 + 6 · C47 C513 = 7 39 = 0, 1795. P (A) = 1 − P (A) = 1− 0, 1795 = 0, 8205 Bài 3. Phép thử: n người ngỗi ngẫu nhiên vào bàn (n chỗ). Số TH có thể: n! a) A = {2 người xác định ngồi cạnh nhau}. Số TH thuận lợi cho A: n · 2 · (n− 2)!. P (A) = n · 2 · (n− 2)! n! = 2 n− 1 b) TH bàn dài. Xét 2 TH: *TH1: người thứ 1 ngồi đầu bàn. Số TH: 2 · 1 · (n− 2)! *TH2: người thứ 1 ngồi giữa bàn. Số TH: (n− 2) · 2 · (n− 2)! Số TH thuận lợi cho A: 2 · 1 · (n− 2)! + (n− 2) · 2 · (n− 2)! = 2 (n− 1)!. P (A) = 2 (n− 1)! n! = 2 n Bài 4. Gọi l là độ dài của thanh; x, y là độ dài 2 đoạn nào đó; đoạn còn lại là l − x− y. Ta có Ω = {(x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0, x+ y ≤ l} Gọi A = {(x, y) ∈ R2 : x, y, l− x− y lập thành tam giác}. Ta có x < y+ l−x− y; y < x+ l−x− y; l−x− y < x+ y hay A = {(x, y) ∈ R2 : x < l 2 , y < l 2 , x+ y > l 2 } x y O l 2 l l 2 l A Dễ thấy P (A) = SA SΩ = 1 4 Bài 5. Ai = {người i bắn trúng}, i = 1, 2, 3, 4. P (A1) = 0, 6, P (A2) = 0, 7, P (A3) = 0, 8, P (A4) = 0, 9 A = {trên bia có 3 vết đạn}. B = {người 1, 2, 3 bắn trúng, người 4 trượt}. Cần tìm P (B|A) 1 B ⊂ A ⇒ AB = B = A1A2A3A4. P (AB) = 0, 6 · 0, 7 · 0, 8 · 0, 1 = 0, 0336 A = A1A2A3A4 + A1A2A3A4 + A1A2A3A4 + A1A2A3A4 P (A) = 0, 6 · 0, 7 · 0, 8 · 0, 1 + 0, 6 · 0, 7 · 0, 2 · 0, 9+ 0, 6 · 0, 3 · 0, 8 · 0, 9 + 0, 4 · 0, 7 · 0, 8 · 0, 9 = 0, 4404 P (B|A) = P (AB) P (A) = 0, 0336 0, 4404 = 0, 07629 Bài 6. Ai = {người i bắn trúng}, i = 1, 2, 3. P (A1) = 0, 6, P (A2) = 0, 7, P (A3) = 0, 8 a) A = {chỉ người 2 bắn trúng} = A1A2A3. P (A) = 0, 4 · 0, 7 · 0, 2 = 0, 056 b) B = {có đúng 1 người bắn trúng} = A1A2A3+ A1A2A3 + A1A2A3 P (B) = 0, 6·0, 3·0, 2+0, 4·0, 7·0, 2+0, 4·0, 3·0, 8 = 0, 188 c) C = {cả 3 đều bắn trúng} = A1A2A3. P (C) = 0, 6 · 0, 7 · 0, 8 = 0, 336 d)1 D = {≥ 1 người bắn trúng} D = {cả 3 bắn trượt} = A1A2A3 ⇒ P (D) = 1− P (D) = 1− 0, 4 · 0, 3 · 0, 2 = 0, 976 Bài 7. (xem vd3 tr18)Ai = {sv i lấy đúng áo}, i = 1, 2, 3, 4 A = {≥ 1 sv lấy đúng áo} = A1 + A2 + A3 + A4 P (Ai) = 1 · 3! 4! = 1 4 P (AiAj) = 1 · 1 · 2! 4! = 1 12 , i < j P (AiAjAk) = 1 · 1 · 1 · 1 4! = 1 24 , i < j < k P (A1A2A3A3) = 1 4! = 1 24 P (A) = P (A1) + P (A2) + P (A3) + P (A4) − P (A1A2) − P (A1A3) − P (A1A4) − P (A2A3) − P (A2A4)−P (A3A4)+P (A1A2A3)+P (A1A2A4)+ P (A1A3A4)+P (A2A3A4)−P (A1A2A3A4) = 4 · 1 4 − 6 · 1 12 + 4 · 1 24 − 1 24 = 5 8 = 0, 625 1cách 2: D = A1 +A2 +A3 Bài 8. (sửa “có ≥ 1 người lấy đúng mũ”: tương tự bài 7, đáp án: 177 280 = 0, 6321) Bài 9. tương tự bài 2, đáp án: 1 − C 4 23 + 5C 3 23 C428 = 79 585 = 0, 135 Bài 10. áp dụng 2 kết quả: * A,B độc lập ⇔ P (AB) = P (A)P (B) * P (A) = 1− P (A) Bài 11. Ai = {máy i hỏng}, i = 1, 2, 3. P (A1) = 0, 3, P (A2) = 0, 2, P (A3) = 0, 1 A = {≥ 2 máy không hỏng} = A1A2A3+A1A2A3+ A1A2A3 + A1A2A3 P (A) = 0, 7 · 0, 8 · 0, 1+ 0, 7 · 0, 2 · 0, 9+ 0, 3 · 0, 8 · 0, 9 + 0, 7 · 0, 8 · 0, 9 = 0, 902 Bài 12. *H1 = {lần 1: Đ}, H2 = {lần 1: T} P (H1) = 4 9 , P (H2) = 5 9 * A = {lần 2: Đ, lần 3: T} P (A|H1) = 3 · 5 8 · 7 = 15 56 , P (A|H2) = 4 · 4 8 · 7 = 2 7 P (A) = P (H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2) = 4 9 · 15 56 + 5 9 · 2 7 = 5 18 = 0, 2778 Bài 13. * A1 = {bi 1 và 2: Đ}, A2 = {bi 1 và 2: T}, A = {bi 1 và 2 cùng màu} = A1 + A2 P (A) = P (A1)+P (A2) = 5 · 4 11 · 10 + 6 · 5 11 · 10 = 5 11 * B = {bi 3: Đ}. P (AB) = P ((A1 + A2)B) = P (A1B) + P (A2B) = 5 · 4 · 3 11 · 10 · 9 + 6 · 5 · 5 11 · 10 · 9 = 7 33 Cần tính P (B|A) = P (AB) P (A) = 7/33 5/11 = 7 15 = 0, 4667 Bài 14. a) * H1 = {hộp I sang hộp II: 2Đ} H2 = {hộp I sang hộp II: 1Đ, 1T} H3 = {hộp I sang hộp II: 2T} P (H1) = C26 C210 = 1 3 , P (H2) = 6 · 4 C210 = 8 15 , P (H3) = C24 C210 = 2 15 * A = {2 bi lấy ở hộp II cùng màu} P (A|H1) = C 2 9 + C 2 3 C212 = 13 22 , P (A|H2) = C28 + C 2 4 C212 = 17 33 , P (A|H3) = C 2 7 + C 2 5 C212 = 31 66 P (A) = P (H1)P (A|H1) + P (H2)P (A|H2) + P (H3)P (A|H3) = 1 3 · 13 22 + 8 15 · 17 33 + 2 15 · 31 66 = 529 990 = 0, 5343 b) B = {2 bi lấy ở hộp II: 2Đ}. Tương tự a) P (B|H1) = 6 11 , P (B) = 223 495 Cần tính P (H1|B) = P (H1)P (B|H1) P (B) = 1 3 · 6 11 223 495 = 90 223 = 0, 4036 c) Cần tính P (H2A) = P (H2)P (A|H2) = 8 15 · 17 33 = 136 495 = 0, 2747 Bài 15. * H1 = {sp thuộc nm I}, H2 = {sp thuộc nm II}, H3 = {sp thuộc nm III} P (H1) = 0, 4, P (H2) = 0, 3, P (H3) = 0, 3 * A = {sp là phế phẩm} P (A|H1) = 0, 1, P (A|H2) = 0, 2, P (A|H3) = 0, 15 P (A) = P (H1)P (A|H1) + P (H2)P (A|H2) + P (H3)P (A|H3) = 0, 4 ·0, 1+0, 3 ·0, 2+0, 3 ·0, 15 = 0, 145 * Cần tính P (H3|A) = P (H3)P (A|H3) P (A) = 0, 3 · 0, 15 0, 145 = 0, 3103 Bài 16. A4 = {máy bay có 4 động cơ bay được} = {≥ 2 động cơ không hỏng} = {≤ 2 động cơ hỏng} P (A4) = C 0 4 (1− p)4 + C14p (1− p)3 + C24p 2 (1− p)2 = 1− 4p3 + 3p4 Tương tự P (A2) = C02 (1− p)2 + C12p (1− p) = 1− p2 Máy bay 4 động cơ an toàn hơn 2 động cơ ⇔ P (A4) > P (A2)⇔ 1− 4p3 + 3p4 > 1− p2 ⇔ p < 1 3 Bài 17. Đặt A = {sinh con trai}, p = P (A) * Trong các gia đình 2 con: B = {sinh có trai, có gái}, C = {sinh con 1 bề} P (B) = C12p (1− p) = 2p (1− p), P (C) = C02 (1− p)2 + C22p2 = p2 + (1− p)2 Dễ thấy P (B) ≤ P (C) (đpcm) * Trong các gia đình 3 con: tương tự P (B) = C13p (1− p)2 + C23p2 (1− p) = 3p (1− p), P (C) = C03 (1− p)3 + C33p3 = 1− 3p (1− p) Với p = 1 2 thì P (B) = 3 4 , P (C) = 1 4 nên khẳng định không còn đúng Bài 18. Ai = {lần i xh mặt sấp}, i = 1, . . . , 10. P (Ai) = 1 2 A = {có 2 chữ giống nhau liền kề nhau} A = A1A2A3A4 . . . A9A10 + A1A2A3A4 . . . A9A10 P ( A ) = 1 29 , P (A) = 1− 1 29 = 0, 998 Bài 19. Phép thử: n con thỏ vào n lồng. Số TH có thể: n! a) A = {k thỏ nâu vào k lồng màu nâu, n− k thỏ trắng vào n− k lồng trắng} Số TH thuận lợi cho A: k! (n− k)! P (A) = k! (n− k)! n! = 1 Ckn b) Ai = {con thỏ thứ i vào đúng lồng}, i = 1, . . . , n A = {≥ 1 con vào đúng lồng} = A1+A2+ . . .+An (xem vd3 tr18) đáp án: P (A) = 1− 1 2! + 1 3! − . . .+ (−1) n−1 n! Bài 20. Phép thử: chọn 5 người. Số TH có thể: C526 a) A = {≥ 1 bác sĩ} A = {không có bác sĩ}. Số TH thuận lợi cho A: C185 P ( A ) = C518 C526 , P (A) = 1− P (A) = 0, 8697 b) B = {1 bác sĩ, 1 hộ lí, 3 y tá}. Số TH thuận lợi cho B: 8 · 6 · C312 P (B) = 8 · 6 · C312 C526 = 48 299 = 0, 1605 Bài 21. a) * H1 = {sp thuộc px 1}, H2 = {sp thuộc px 2}, H3 = {sp thuộc px 3} P (H1) = 7 16 , P (H2) = 5 16 , P (H3) = 4 16 * A = {sp là chính phẩm} P (A|H1) = 0, 95, P (A|H2) = 0, 91, P (A|H3) = 0, 85 P (A) = P (H1)P (A|H1) + P (H2)P (A|H2) + P (H3)P (A|H3) = 7 16 ·0, 95+ 5 16 ·0, 91+ 4 16 ·0, 85 = 0, 9125 b) Cần tính P (H1|A) = P (H1)P (A|H1) P (A) = 7/16 · 0, 95 0, 9125 = 0, 455479 Bài 22. A = {lấy được bi đỏ trong kho}, p = P (A) = 0, 5 Số lần thử n = 12 Hi = {lấy được i bi đỏ} = {A xảy ra i lần}, i = 0, 12 P (Hi) = C i np i (1− p)n−i = C i120, 512 B = {7 lần lấy được 7 bi đỏ} (trong 12 bi, có hoàn lại) P (B|Hi) = ( i 12 )7 P (B) = 12∑ i=0 P (Hi)P (B|Hi) = 12∑ i=0 C i120, 5 12 ( i 12 )7 = 0, 0272636 P (H12|B) = P (H12)P (B|H12) P (B) = C12120, 5 12 · 1 0, 0272636 = 0, 00895481 Bài 23. P (A +B + C) = P (A) + P (B) + P (C)− P (AB)− P (AC)− P (BC) + P (ABC) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A)P (B)−P (A)P (C)− P (B)P (C)+P (A)P (B)P (C) = 0, 4+0, 5+0, 6− 0, 4 · 0, 4−0, 4 · 0, 6−0, 5 · 0, 6+0, 4 · 0, 5 · 0, 6 = 0, 88 Chú ý. Có thể dùng CT P (A+B + C) = 1 − P ( A+B + C ) = 1− P (A B C) Bài 24. * H1 = {xe lấy được là xe ca}, H2 = {xe lấy được là xe con} P (H1) = 4 7 , P (H2) = 3 7 * A = {xe lấy được hoạt động tốt} P (A|H1) = 0, 8, P (A|H2) = 0, 75 P (A) = P (H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2) = 4 7 · 0, 8 + 3 7 · 0, 75 = 0, 7786 * Cần tính P (H1|A) = P (H1)P (A|H1) P (A) = 4/7 · 0, 8 0, 7786 = 0, 5871 Bài 25. A = {một người ủng hộ dự luật}, p = P (A) = 0.75 B = {đa số trong 11 người ủng hộ dự luật} = {A xảy ra ≥ 6 lần} P (B) = n∑ k=6 Cknp k (1− p)n−k = 11∑ k=6 Ck11 · 0, 75k · 0, 2511−k = 0, 9657 Chú ý: Trong Math, để tính tổng trên, dùng lệnh 11∑ k=6 Binomial[11, k] ∗ 0.75k ∗ 0.2511−k Bài 26. * H1 = {lấy được hộp I}, H2 = {lấy được hộp II}, H3 = {lấy được hộp III} P (H1) = P (H2) = P (H3) = 1 3 * Phép thử: lấy 1 bi trong hộp chọn được, n = 4 lần thử, A = {lấy được bi đen} P (A|H1) = 3 6 = 0, 5, P (A|H2) = 2 4 = 0, 5, P (A|H3) = 2 5 = 0, 4 * B = {≥ 2Đ} P (B|H1) = C24 · 0, 52 · 0, 52 +C34 · 0, 53 · 0, 5 +C44 · 0, 54 = 0, 6875 P (B|H2) = C24 · 0, 52 · 0, 52 +C34 · 0, 53 · 0, 5 +C44 · 0, 54 = 0, 6875 P (B|H3) = C24 · 0, 42 · 0, 62 +C34 · 0, 43 · 0, 6 +C44 · 0, 44 = 0, 5248 * P (B) = P (H1)P (B|H1) + P (H2)P (B|H2) + P (H3)P (B|H3) = 1 3 · 0, 6875 + 1 3 · 0, 6875 + 1 3 · 0, 5248 = 0, 6333 Bài 27. Phép thử: lấy 1 điểm trong hình tròn (O), n = 5 lần thử, A = {điểm nằm trong ∆ABC} p = P (A) = S∆ABC S(O) = 3 √ 3R2 4 piR2 = 3 √ 3 4pi = 0, 4134 * B = {≥ 1 điểm nằm trong ∆ABC} = {A xảy ra ≥ 1 lần} B = {A không xảy ra}. P ( B ) = (1− p)5 = 0, 0694 P (B) = 1− P (B) = 0, 9306 Bài 28. Đặt Ai = {quả cầu lấy từ hộp i là đỏ}, i = 1, 2, . . . P (A1) = m m+ k , P ( A1 ) = k m+ k P (A2|A1) = m+ 1 m+ k + 1 , P ( A2|A1 ) = m m+ k + 1 P (A2) = P (A1)P (A2|A1) + P ( A1 ) P ( A2|A1 ) = m m+ k · m+ 1 m+ k + 1 + k m+ k · m m+ k + 1 = m m+ k P ( A2 ) = 1− P (A2) = k m+ k Tương tự, ta dễ dàng quy nạp và kết luận P (Ai) = m m+ k ∀i Chương 2 ĐLNN và phân bố xs Bài 1. a) Phép thử: gieo đồng tiền Số lần thử: n = 3. A = {x/h mặt sấp}, p = P (A) = 1 2 . X = số lần x/h mặt sấp = số lần A xảy ra⇒ X ∼ B (n, p) P (X = i) = C inp i (1− p)n−i , i = 0, n X 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 b) F (x) = P (X < x) = ∑ i:xi<x pi =  0, x ≤ 0 1 8 , 0 < x ≤ 1 4 8 , 1 < x ≤ 2 7 8 , 2 < x ≤ 3 1, x > 3 c) EX = ∑ i xipi = 3 2 , DX = ∑ i x2i pi−(EX)2 = 3 4 Bài 2. a) Ai = {người I ném trúng lần i}, Bi = {người II ném trúng lần i}, i = 1, 2, . . . P (A1) = p1, P ( B1|A1 ) = p2 P ( A2|A1 B1 ) = p1, P ( B2|A1 B1 A2 ) = p2; . . . P ( Ai|A1 B1 . . . Ai−1 Bi−1 ) = p1 P ( Bi|A1 B1 . . . Ai−1 Bi−1 Ai ) = p2 X = số lần ném của người I. ImX = {1, 2, . . .} {X = i} = A1 B1 . . . Ai−1 Bi−1Ai + A1 B1 . . . Ai−1 Bi−1 AiBi ⇒ P (X = i) = P ( A1 ) P ( B1|A1 ) . . . P ( Ai|A1 B1 . . . Ai−1 Bi−1 ) + P ( A1 ) P ( B1|A1 ) . . . P ( Bi|A1 B1 . . . Ai−1 Bi−1 Ai ) = (1− p1)i−1 (1− p2)i−1 p1 + (1− p1)i (1− p2)i−1 p2 = (1− p1)i−1 (1− p2)i−1 (p1 + p2 − p1p2) p:=(1−p1)(1−p2)= pi−1 (1− p) Vậy P (X = i) = pi−1 (1− p) , i = 1, 2, . . . b) EX = ∑ i xipi = ∞∑ i=1 i · pi−1 (1− p) = 1 1− p DX = ∑ i x2i pi − (EX)2 =[ ∞∑ i=1 i2 · pi−1 (1− p) ] − (EX)2 = p (1− p)2 Bài 3. a) Phép thử: lấy 5 s/p ImX = {0, 1, . . . , 5} P (X = i) = C i10C 5−i 90 C5100 X 0 1 2 P 0,583752 0,339391 0,0702188 3 4 5 0,00638353 0,000251038 3, 34717 · 10−6 b) EX = 0, 5;DX = 0, 431818 (tương tự bài 1) Bài 4. P (X = i) = C i8C 5−i 5 C513 , i = 0, 5 X 0 1 2 3 4 5 P 1 1287 40 1287 280 1287 560 1287 350 1287 56 1287 Bài 5. a) Ai = {bộ phận thứ i hỏng}, i = 1, 2, 3 ImX = {0, 1, 2, 3} 6 {X = 0} = A1 A2 A3 ⇒ P (X = 0) = 0, 8 · 0, 7 · 0, 75 = 0, 42 {X = 2} = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 ⇒ P (X = 2) = 0, 2 · 0, 3 · 0, 75 + 0, 2 · 0, 7 · 0, 25+ 0, 8 · 0, 3 · 0, 25 = 0, 14 {X = 3} = A1A2A3 ⇒ P (X = 3) = 0, 2 · 0, 3 · 0, 25 = 0, 015 ⇒ P (X = 1) = 1− 0, 42− 0, 14− 0, 015 = 0, 425 X 0 1 2 3 P 0,42 0,425 0,14 0,015 b) Tương tự bài 1 F (x) =   0 x ≤ 0 0, 42 0 < x ≤ 1 0, 845 1 < x ≤ 2 0, 985 2 < x ≤ 3 1 x > 3 c) EX = 0, 75;DX = 0, 5575; σ (X) = √ DX = 0, 746659 Bài 6. Đặt X = số tai nạn trong 1 ngày; X ∼ Pλ EX = λ = 5 Dãy thử Bernoulli: kiểm tra số tai nạn mỗi ngày; số lần thử n = 4 A = {số tai nạn mỗi ngày > 4} = {X > 4}; p = P (A) = P (X > 4) = 1 − P (X ≤ 4) = 1 − 4∑ i=0 e−λ λi i! = 0, 559507 B = {có 3 ngày mà số tai nạn > 4} = {A xảy ra 3 lần} P (B) = C34p 3 (1− p) = 0, 308614 Bài 7. a) NX: F (x) liên tục tại ∀x 6= a,−a * ĐK liên tục tại a: lim x→a+ F (x) = lim x→a− F (x) = F (a)⇒ 1 = A+Bpi 2 * Tương tự tại −a: 0 = A−Bpi 2 ⇒ A = 1 2 , B = 1 pi x y O 1 y = F (x) b) P ( −a 2 < X < a 2 ) = F (a 2 ) − F ( −a 2 ) = 1 2 + 1 pi · pi 6 − ( 1 2 + 1 pi · −pi 6 ) = 1 3 c) f (x) =   1 pi √ a2 − x2 , x ∈ (−a, a) 0, x /∈ [−a, a] d) EX = ∫ ∞ −∞ xf (x) dx = 0 DX = ∫ ∞ −∞ x2f (x) dx− (EX)2 = a 2 2 σ (X) = √ DX = a√ 2 Bài 8. a) ∫ ∞ −∞ p (x) dx = 1⇒ 2c = 1⇒ c = 1 2 b) Dãy thử Bernoulli: quan sát giá trị của X; số lần thử n = 5 A = {0 ≤ X ≤ pi 4 }; p = P (A) = ∫ pi 4 0 p (x) dx = 1 2 √ 2 Số lần X ∈ [ 0, pi 4 ] có khả năng nhất = số lần A xảy ra với khả năng cao nhất = k0 np + p − 1 = 5 · 1 2 √ 2 + 1 2 √ 2 − 1 = 3√ 2 − 1 = 1, 12132 /∈ Z⇒ k0 = 1 + 1 = 2 XS cần tìm p0 = C25p 2 (1− p)3 = 0, 337682 c) EX = 0, DX = pi2 − 8 4 = 0, 467401; σ (X) = 0, 683667 Bài 9. X = chiều cao của 1 người; X ∼ N (160, 36) Dãy thử Bernoulli: đo chiều cao của từng người; số lần thử n = 4 A = {chiều cao trong khoảng (168, 162)} = {158 < X < 162} p = P (A) = P (158 < X < 162) = Φ ( 162− 160 6 ) − Φ ( 158− 160 6 ) = Φ ( 1 3 ) − Φ ( −1 3 ) = 0, 261117 B = {có ≥ 1 người có chiều cao trong khoảng (158, 162)} = {A xảy ra ≥ 1 lần} ⇒ B = {A không xảy ra} P ( B ) = (1− p)4 = 0, 298059 ⇒ P (B) = 0, 701941 Bài 10. X ∼ Pλ, EX = λ = 3 a) (tương tự bài 9) Dãy thử Bernoulli: quan sát X; số lần thử n = 6 A = {X ≥ 1}; p = P (A) = P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1− e−λ = 0, 950213 B = {có ≥ 1 lần thấy X ≥ 1} = {A xảy ra ≥ 1 lần} ⇒ B = {A không xảy ra} P (B) = 1− P (B) = 1− (1− p)6 ≈ 1 b) Dãy thử Bernoulli: quan sát X; số lần thử n = 100 A = {X > 3}; p = P (A) = P (X > 3) = 1 − P (X ≤ 3) = 1− 3∑ i=0 e−λ λi i! = 0, 352768 Y = số lần thấy X > 3 = số lần A xảy ra ⇒ Y ∼ B (n, p) Cần tính EY = np = 35, 2768 Bài 11. X = số sv giỏi, ImX = {0, 1, 2, 3} P (X = i) = C i3C 6−i 17 C620 , i = 0, 3 X 0 1 2 3 P 91 285 91 190 7 38 1 57 Cần tính EX = 9 10 Bài 12. a) Dãy thử Bernoulli: lấy điểm trong hình tròn; số lần thử n = 6 A = {điểm thuộc lục giác đều ABCDEF} p = P (A) = SABCDEF S(O) = 6 · 1 2 R2 √ 3 2 piR2 = 3 √ 3 2pi = 0, 826993 B = {≥ 2 lần lấy được điểm trong lục giác} = {A xảy ra ≥ 2 lần} P (B) = 6∑ i=2 C i6p i (1− p)6−i = 0, 999204 b) X = số lần lấy được điểm trong lục giác = {số lần A xảy ra} ⇒ X ∼ B (n, p) Cần tính EX = np = 4, 96196 Bài 13. a) ∫ ∞ −∞ f (x) dx = 1 ⇒ ae4√pi = 1 ⇒ a = 1 e4 √ pi = 0, 0103335 b) EX = 2, DX = 1 2 (tương tự bài 7) c) P (1 < X < 3, 5) = ∫ 3,5 1 f (x) dx = 0, 904403 Bài 14. X = khối lượng tấm bê tông; X ∼ N (a, σ2) , a = 75 kg, σ = 2 kg Dãy thử Bernoulli: kiểm tra khối lượng các tấm; số lần thử n = 300 A = {khối lượng tấm bê tông > 73 kg} = {X > 73} p = P (A) = P (X > 73) = 1 − P (X ≤ 73) = 1− Φ ( 73− 75 2 ) = 1− Φ (−1) = Φ (1) = 0, 841345 Y = số tấm có khối lượng > 73 kg = số lần A xảy ra ⇒ Y ∼ B (n, p) Cần tính EY = np = 252, 4034 Bài 15. X = số viên đạn chưa dùng đến; ImX = {0, 1, 2, 3, 4} Ai = {viên thứ i trúng}; P (Ai) = 0, 6 {X = 4} = A1A2 ⇒ P (X = 4) = P (A1A2) = P (A1)P (A2) = 0, 6 · 0, 6 = 0, 36 {X = 3} = A1A2A3 ⇒ P (X = 3) = 0, 4 · 0, 62 = 0, 144 {X = 2} = A2A3A4 ⇒ P (X = 3) = 0, 4 · 0, 62 = 0, 144 (viên 1 có thể trúng hoặc trượt) {X = 1} = A1A2 A3A4A5 P ( A1A2 ) = 1− P (A1A2) = 1− 0, 62 = 0, 64 P (X = 1) = P ( A1A2 ) P ( A3 ) P (A4)P (A5) = 0, 64 · 0, 4 · 0, 62 = 0, 09216 P (X = 0) = 1−0, 36−0, 144−0, 144−0, 09216 = 0, 25984 X 0 1 2 3 4 P 0,25984 0,09216 0,108 0,108 0,36 Số viên đạn trung bình chưa dùng đến: EY = 2, 25216 Bài 16. H1 = {lấy bi từ hộp I} = {số chấm của xúc xắc > 1}; H2 = {lấy bi từ hộp II} P (H1) = 5 6 , P (H2) = 1 6 X = số bi đen lấy ra; ImX = {0, 1, 2} P (X = i) = P (H1)P (X = i|H1) + P (H2)P (X = i|H2) = 5 6 · C i 4C 2−i 5 C29 + 1 6 · C i 4C 2−i 7 C211 X 0 1 2 P 0,295118 0,547811 0,157071 Cần tính EX = 0, 861953 Bài 17. X = thời gian xe chạy từ A đến B; X ∼ N (a, σ2) EX = a = 180 phút, σ (X) = 10 phút Dãy thử Bernoulli: kiểm tra các chuyến xe chạy từ A đến B; số lần thử n = 12 A = {thời gian xe chạy > 175 phút và < 200 phút} = {175 < X < 200} p = P (A) = P (175 < X < 200) = Φ ( 200− 180 10 ) − Φ ( 175− 180 10 ) = Φ(2) − Φ (−0, 5) = 0, 668712 B = {có ≥ 3 chuyến có thời gian > 175 phút và < 200 phút} = {A xảy ra ≥ 3 lần} P (B) = 12∑ i=3 C i12p i (1− p)12−i = 0, 999486 Bài 18. EX = ∫ ∞ −∞ xf1 (x) dx = 1 2 ln 3 , EY =∫ ∞ −∞ yf2 (y)dy = 1 5 E (X + Y ) = EX + EY = 0, 65512 Bài 19. X ∼ U (0, 3) ⇒ DX = (3− 0) 2 12 = 3 4 . Tương tự DY = (4− 1)2 12 = 3 4 X, Y độc lập ⇒ D (X + Y ) = DX +DY = 3 2 ⇒ σ (X + Y ) = √ D (X + Y ) = √ 6 2 Bài 20. Dãy thử Bernoulli: kiểm tra khả năng bị tai nạn của một khách hàng; số lần thử n = 400 A = {khách hàng bị tai nạn}, p = P (A) = 0, 1 X = số khách hàng bị tai nạn = số lần A xảy ra; X ∼ B (n, p) B = {hãng bị lỗ} = {400 · 100.000 < X · 800.000} = {X > 50} P (B) = P (X > 50) = 400∑ i=51 C i400p i (1− p)400−i = 0, 0436444 Bài 21. a) X = tổng số quả cầu lấy ra; ImX = {M,M + 1, . . .} Ai = {quả thứ i đỏ}; P (Ai) = p Dễ thấy {X = i} = BAi với B = {có M − 1 quả đỏ trong i− 1 quả} Xét dãy thử Bernoulli: lấy 1 quả cầu; số lần thử: i− 1 A = {lấy được quả đỏ}; P (A) = p Khi đó: B = {A xảy ra M − 1 lần} ⇒ P (B) = CM−1i−1 pM−1 (1− p)i−1−(M−1) = CM−1i−1 p M−1 (1− p)i−M P (X = i) = P (BAi) = P (B)P (A1) = CM−1i−1 p M (1− p)i−M b) EX = ∑ i xipi = ∞∑ i=M i · CM−1i−1 pM (1− p)i−M = M p Bài 22. X = số nhỏ nhất trên n tấm thẻ; ImX = {1, 2, . . .N − n + 1} Dãy thử Bernoulli: lấy n thẻ trong N thẻ; số TH có thể: CnN {X = i} {số nhỏ nhất là i} = {chọn được số i và n− 1 số > i} Số TH thuận lợi: Cn−1N−i ⇒ P (X = i) = Cn−1N−i CnN b) EX = ∑ i xipi = N−n+1∑ i=1 i · C n−1 N−i CnN Math = Γ (N + 2) CnNΓ (N − n+ 1) Γ (n + 2) = (N + 1)! N ! n!(N−N)! (N − n)! (n+ 1)! = N n+ 1 1 Bài 23. Dãy thử Bernoulli: kiểm tra 1 sp; số lần thử n = 100 A = {sp là phế phẩm}; p = P (A) = 0, 02 a) X = số phế phẩm = số lần A xảy ra ⇒ X ∼ B (n, p) b) Trung bình có EX = np = 2 (phế phẩm) c) B = {số phế phẩm < 3} = {X < 3} ⇒ P (B) = P (X < 3) = 2∑ i=0 C i100p i (1− p)100−i = 0, 676686 Bài 24. (tương tự bài 19) DX = DY = 25 12 , D (Z) = D (X − Y ) = DX + DY = 25 6 ⇒ σ (Z) = 5√ 6 Bài 25. X = số khách đến siêu thị trong 1 ngày; X ∼ Pλ Y = số người mua sp; ImY = {0, 1, . . .} P (Y = i) = ∞∑ j=0 P (Y = i, X = j) = 1Γ (α) = ∫ ∞ 0 xα−1e−xdx, (α > 0) có t/c Γ (α+ 1) = αΓ (α) , Γ (1) = 1⇒ Γ (n+ 1) = n! ∑ j≥i P (Y = i, X = j) = ∑ j≥i P (X = j)P (Y = i|X = j) = ∑ j≥i e−λ λj j! · C ijpi (1− p)j−i Math= e−pλ (pλ)i Γ (i+ 1) = e−pλ (pλ)i i! Vậy Y ∼ Ppλ ⇒