Bài tập Xử lý số tín hiệu - Chương 3: Các hệ thống thời gian rời rạc

Bài tập Xử lý số tín hiệuChương 3: Các hệ thống thời gian rời rạcBài 3.1Xác định tính chất tuyến tính, bất biến của hệ thốngy(n) = 3x(n) + 5y(n) = x2(n-1) + x(2n)y(n) = ex(n)y(n) = nx(n – 3) + 3x(n)y(n) = n + 3x(n)Giải câu 1 (các câu còn lại tương tự)Kiểm tra tính tuyến tính:Gọi y1(n), y2(n) là đầu ra tương ứng với đầu vào x1(n), x2(n) y1(n) = 3x1(n) + 5 y2(n) = 3x2(n) + 5Khi đầu vào là x(n) = a1x1(n) + a2x2(n) thì đầu ra là y(n) = 3x(n) + 5 = 3(a1x1(n) + a2x2(n)) + 5 = a1.3x1(n) + a2. 3x2(n) + 5 (1) - Tổ hợp của y1(n) và y2(n) làa1.y1(n) + a2.y2(n) = a1[3x1(n) + 5] + a2[3x2(n) + 5] = a1.3x1(n) + a2.3x2(n) + 5(a1 + a2) (2)So sánh (1) và (2) thì y(n) khác a1.y1(n) + a2.y2(n) nên hệ thống không có tính tuyến tínhBài 3.1Bài 3.1Kiểm tra tính bất biếnCho tín hiệu vào là xD(n) = x(n – D), gọi đầu ra tương ứng là yD(n): yD(n) = 3xD(n) + 5 = 3x(n – D) + 5Đầu ra y(n) làm trễ đi D mẫu là y(n – D) = 3x(n – D) + 5yD(n) = y(n – D)  hệ thống có tính bất biếnBài 3.2Xác định đáp ứng xung nhân quả của hệ thống LTI có pt I/O sau: y(n) = 4x(n) + x(n – 1) + 4x(n – 3)Giải Cho đầu vào x(n) = (n)  đầu ra y(n) = h(n) Vậy: h(n) = 4(n) + (n – 1) + 4(n – 3) hay: h = [4; 1; 0; 4]Bài 3.3Xđ đáp ứng xung nhân quả h(n) khi n ≥ 0 của hệ thống LTI có: y(n) = - 0.81y(n – 2) + x(n)GiảiCho x(n) = (n) => y(n) = h(n)Thay vào pt I/O suy ra: h(n) = - 0.81h(n – 2) + (n)Nhân quả nên h(n) = 0 với n < 0h(0) = - 0.81h(-2) + (0) = 1h(1) = - 0.81h(-1) + (1) = 0h(2) = - 0.81h(0) = - 0.81h(3) = - 0.81h(1) = 0 Bài 3.3Tóm lạih(n) = 0 với n < 0Với n ≥ 0 thì: h(n) = 0 với n lẻ h(n) = (-0.81)n/2 với n chẵnBài 3.4Xác định pt I/O đối với hệ thống LTI có đáp ứng xung h(n) = (-0.6)nu(n)Giảih(n) = [1 -0.6 (-0.6)2 (-0.6)3 ]Áp dụng công thức tích chập:y(n) = h(n)*x(n) = h(0)x(n) + h(1)x(n – 1) + h(2)x(n – 2) + y(n) = x(n) + (-0.6)x(n – 1) + (-0.6)2x(n – 2) + = x(n) + (-0.6)[x(n – 1) + (-0.6)x(n – 2) + (-0.6)2x(n – 3) + ]Bài 3.4Mà y(n – 1) = h(0)x(n – 1) + h(1)x(n – 2) + h(2)x(n – 3) + = x(n – 1) + (-0.6)x(n-2) + (-0.6)2x(n – 3) + y(n) = x(n) + (-0.6)y(n – 1)Vậy phương trình vi sai I/O của hệ thống là: y(n) = - 0.6y(n – 1) + x(n)