Bất đẳng thức-“thật đơn giản”

BẤT ĐẲNG THỨC-“THẬT ĐƠN GIẢN” I.Lý do chọn đề tài. Khi giải các bài toán đặc biệt là các bài toán về các bất đẳng thức tôi nhận thấy các em thường: + Các em thường sợ các bất đẳng thức. bỏ qua và khụng cú hứng thỳ. bởi vỡ tụi nhận thấy ở cỏc em: +Lúng túng thụ động không biết từ đâu,phân tích bài toán như thế nào ?. +Không nắm vững các bất đẳng thức quan trọng cũng như các hệ quả của các bất đẳng thức như côsi, bunhiacopski ,v…v… + Khụng nắm được một số bất đẳng thức đơn giản thường gặp và cú nhiều ứng dụng. +Khi giải được bài toán rồi thì dừng lại, không tiếp tục tìm tòi khai thác, biến đổi thay đổi giả thuyết và giải bài toán bằng nhiều cách, từ đó nếu có thể suy ra bài toán tổng quát. Để khắc phục được hạn chế trên, định hướng các em tư duy lôgíc. Tôi mạnh dạn đưa ra một vài kinh nghiệm nhỏ trong bài viết này hy vọng các em học tập hiệu quả hơn bằng cách tiếp cận vấn đề bằng một bất đẳng thức hết sức quen thuộc, dễ chứng minh dễ nhớ và đặc biệt cú rất nhiều ứng dụng ở lớp 10 cũng như ở chương trỡnh phổ thụng. Bài toàn: Với hai số dương x và y ta có: (1) Đẳng thức xảy ra khi x =y. Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh ở đây đưa ra hai cách chứng minh phổ biến nhất. Cỏch 1. Với hai số dương x và y ta cú: 2(x + y)2 Rừ ràng, đẳng thức xảy ra khi x = y. Cỏch 2. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có Từ đó: ( Và đẳng thức xảy ra khi x =y. Tổng quỏt: Cho hai số x, y dương và a, b là hai số bất kỡ ta cú: hay . Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi . ( chứng minh bất đẳng thức này cũng cú nhiều cỏch chứng minh xin dành cho bạn đọc). II. Biện pháp thực hiện. Để làm được việc này cần có nhiều việc phải làm. Thứ nhất: yêu cầu và rèn luyện cho học sinh nắm vững các lý thuyết cơ bản như côsi,bunhiacopski,trêbưsep,v…,v…và các cách chứng minh thông thường. Thứ hai: Khi cho các em làm bài tập tôi đặc biệt hướng cho các em phân tích các bài toán bằng cách trả lời câu hỏi: -Vai trò các số hạng nhân tử có bình đẳng không? -Bất đẳng thức có xảy ra dấu bằng không? Nếu xảy ra thì thì các số hạng phải thoả mãn điều kiện nào. Từ đó cho phép áp dụng bât đẳng thức hợp với giả thuyết của bài toán. Thứ ba : Khuyến khích các em biến đổi các bất đẳng thức về bất đẳng thức quen thuộc. đặc biệt là bất dẳng thức (1) Thứ tư: Sau khi khuyến khích các em giải bài toán theo nhiều cách, nhiều công cụ. Tổng quát bài toán.Công việc này rất có lợi cho tư duy cũng như khả năng tổng hợp kiến thức của các em. III. Phạm vi nghiên cứu. Sáng kiến này được thực hiện ở các lớp khối tại trường THPT Triệu Sơn 4. V. Thực hiện Bài toỏn 1. Cho ba số dương a, b, c, ta có: (2) Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Áp dụng (1) ta cú ngay điều phải chứng minh. * Phỏt triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được: (3) * Kết hợp (2) và (3) ta cú Bài toỏn 2. Với a, b, c là các số dương: (4) Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Chỳ ý: Nếu thờm giả thiết thỡ bài toỏn 2 là nội dung cõu V, Đề thi Đại học và Cao đẳng khối A, năm 2005. Bài toỏn 3. Chứng minh rằng với a, b, c dương: (5) Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có: Cộng vế với vế cỏc bất đẳng thức trên và rút gọn ta cú bất đẳng thức (5) Đẳng thức xảy ra khi: Bài toỏn 4. Hóy xỏc định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa món đẳng thức sau: Giải: Đặt thế thỡ x, y, z dương và xy + yz + zx=1 Hệ thức trở thành: Ta cú: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều. Bài toỏn 5. Cho x, y, z là cỏc số thực thỏa món điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0. Hóy tỡm giỏ trị lớn nhất của Giải: Đặt a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0. Ta cú: a + b + c = 6 và Theo bất đẳng thức (1) ta có: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: Vậy: đạt được khi . Bài toỏn 6 : Chứng minh rằng : với x, y, z là các số dương. Dấu bằng sảy ra khi nào ? Giải : . Tương tự ta cũng có . Cộng từng vế bất dẳng thức trên ta có bất dẳng thức cần chứng minh. Dờu bằng sảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1. Bài toỏn 7 : Cho 3 số thực dương a, b và c thoả :ab+bc+ca = abc. chứng minh rằng : Giải: ta có ab+bc+ca = abc . Đặt . Khi đó ta có: Tương tự ta có Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có . Suy ra điều phải chứng minh Bài toỏn 8: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức Với x, y, z, t là các số dương. Giải : Ta cú: Vậy MinA=0 khi x = y = z = t. Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập tương tự: Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức: Bài 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa món điều kiện abc = ab + bc + ca thỡ: Bài 3. Cho x > 0, y > 0 thỏa món x + y . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của: Bài 4. Cho tam giỏc ABC cú chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b, AB = c. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: Bài 5. Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b, c là độ dài 3 cạnh). Chứng minh rằng: III. Mở rộng. Cho x, y,z là ba số dương. chứng minh rằng: ;Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi x=y=z Tổng quỏt: Cho ba số a, b, c bất kỡ, x, y, z la ba số thực dương ta cú: .(Bất đẳng thức s-vac) Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi . Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta cú: Từ đó suy ra điều phải chứng minh. IV. Áp dụng Bài toỏn 1: Chứng minh rằng : với a, b, c là các số thực dương. Giải :Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : . Suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi Bài toỏn 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa mãn Giải : Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : . Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta có : . Vậy Bài toỏn 3 : Cho các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn xyzt=1. chứng minh rằng Giải : đặt , theo bài ra ta có abcd = 1 và  ; tương tự ta có : Công các vế bất đẳng thức trên ta có : (Mở rộng tự nhiờn bất đẳng thức (6) cho bốn số) Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi Bài toỏn 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện Giải : Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : Xét biểu thức . Theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta có : . Do đó . Mát khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacovski . Bài toỏn 5 : Cho x,y,z>0 và thoả : Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của: Nhận xét: Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. dự đoán dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi chúng bằng nhau và bằng . Giải: Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi . Bài toỏn 6 : Cho a,b,c>0 và thoả : a.b.c = 1 Chứng minh rằng: Nhận xét: -Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. dự đoán dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi chúng bằng nhau và bằng 1. - Để đơn giản biểu thức ta có thể đặt Giải: Đặt Theo giả thiết ta có: xyz = 1 Ta có ; tương tự ta có: ; . Do đó Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi Bài toỏn 7 : Cho 3 số thực dương x,y,z >o thoả : .Tỡm GTNN của A = Giải: Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : .Ta có. Do đó Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi Bài toỏn 8 : Với x, y, z là số dương và Chứng minh rằng: Hướng dẫn. Đặt Bài toán trở thành : a, b, c là số dương và Chứng minh rằng : Áp dụng bất đẳng thức trờn ta cú Bỡnh phương hai vế bất đẳng thức: ( Vỡ ) Đặt thỡ ( vỡ ) Ta cú: Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1điều phải chứng minh Tổng quỏt : ta cú bài toỏn sau: với là số dương và Cmr: Bài toỏn 9 : chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn thì Giải : Từ suy ra . đặt thì Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có : Tương tự ta cũng có Cộng ba bất đẳng thức trên ta có Cách2 : Tương tự ta cú: cộng vế với vế ta cú: suy ra điều phải chứng minh. dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi a=b=c=3. Bài toỏn 10  Cho . Cmr: Giải: Đặt từ điều kiện Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki và Cụsi ta cú: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = đpcm. Bài toỏn 11: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức: P = Giải: để đơn giản đặt Ta cú Mặt khỏc ta cú . Nờn ta cú: . dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi . Hay Một số bài tập tương tự: Bài toỏn 1: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất cuả biểu thức Q = ,với x, y ,z là các số dương thoả món điều kiện x+y+z VI. Kết quả thực hiện Đây là một phần khó thực hiện trên đối tượng học sinh đa dạng nên gặp không ít khó khăn.Tuy nhiên qua khảo sát học sinh kết quả thu được tương đối khả quan Kết quả như sau Giỏi Khá TB Yếu Kém Khối 10 25% 31% 10% 26% 18% Khối 11 27% 25% 11% 29% 8% Trên đây là môt số kinh nghiệm có được trong quá trình dạy học, tìm tòi tự bồi dưỡng nghiệp vụ chuyên môn, cỏc bài tập được sưu tầm và chọn lọc kĩ lưỡng từ đề thi đại học cỏc năm và bộ đề thi tuyển sinh. Mặc dự đó rất cố gắng song kinh nghiệm cũn hạn chế. Rất mong sự quan tâm đóng góp ý kiến của các đồng chí để bài viết này được hoàn thiện hơn. Triệu sơn 22/5/2009 Tỏc giả Lê Xuân Thắng