Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Interdisciplinary Sci., 2014, Vol. 59, No. 6, pp. 10-19 BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA SINH VIÊN KHI SỬ DỤNG CÁC PHÉP CHỨNGMINH TOÁN HỌC Đào Thị Hoa Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Tóm tắt. Các phép chứng minh phân tích, chứng minh tổng hợp, chứng minh phản chứng và chứng minh loại dần là những phép chứng minh thường được sử dụng khi giải các bài toán ở trường phổ thông. Tuy nhiên, khi sử dụng những phép chứng minh này trong quá trình giải toán, sinh viên thường mắc phải một số sai lầm. Bài báo phân tích một số sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học, nguyên nhân dẫn đến sai lầm và biện pháp khắc phục những sai lầm đó. Từ khóa: Phép chứng minh, sai lầm, bài toán, giải toán. 1. Mở đầu Trong dạy học toán ở nhà trường phổ thông, việc hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải của bài toán và trình bày lời giải bài toán là một công việc rất thường xuyên và hết sức cần thiết của mỗi giáo viên toán. Với dạng toán chứng minh, thầy và trò thường xuyên sử dụng các phép chứng minh toán học như phép chứng minh phân tích, phép chứng minh tổng hợp, phép chứng minh phản chứng, phép chứng minh loại dần, . . . Như vậy, những tri thức và kĩ năng, kĩ xảo về các phép chứng minh toán học là một trong những hành trang quan trọng mà mỗi giáo viên toán tương lai cần phải được trang bị và rèn luyện (Có thể tìm hiểu về các phép chứng minh toán học trong nhiều tài liệu như trong [2, 4, 5]). Trong quá trình dạy hoc các phép chứng minh toán học, khi kiểm tra hiểu biết của sinh viên về các phép chứng minh này thông qua các bài tập, chúng tôi nhận thấy sinh viên thường mắc phải một số sai lầm không đáng có. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để hạn chế tối đa những sai lầm đó? Như vậy, một nghiên cứu cụ thể nhằm khắc phục sai lầm của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học là cần thiết và có ý nghĩa, góp phần nâng cao năng lực chuyên môn nghiệp vụ cho sinh viên khoa Toán - Đại học Sư phạm. Ngày nhận bài: 12/2/2014. Ngày nhận đăng: 15/5/2014. Tác giả liên lạc: Đào Thị Hoa, e-mail: daothihoa.sp2@moet.edu.vn 10 Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Sai lầm khi sử dụng phép chứng minh phân tích và tổng hợp Như ta đã biết, phân tích và tổng hợp là hai trong các phép chứng minh trực tiếp thường được sử dụng trong dạy học toán ở phổ thông. Về mặt lí thuyết, hai phương pháp chứng minh này rất rõ ràng và dễ hiểu. Mặc dù vậy, sinh viên vẫn mắc phải một số sai lầm. Những sai lầm này sẽ được phân tích thông qua ví dụ cụ thể sau: Ví dụ: Cho bài toán sau: “Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức sinA = 2 sinB cosC thì tam giác ABC cân tại A”. a) Trình bày một lời giải của bài toán trên. b) Trình bày những hiểu biết của mình về phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên. Trong bài toán trên, ở phần a của đề bài ta có: Mệnh đề đã cho là “ba góc của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức sinA = 2 sinB cosC”, mệnh đề cần chứng minh là “tam giác ABC cân tại A”. Để trình bày phần a sinh viên có nhiều cách khác nhau, còn phần b lại phụ thuộc vào phần a. Với đề bài này, sinh viên thường mắc phải những sai lầm trong lời giải như sau: Lời giải 1: a) Vì tam giác ABC cân tại A ⇒ bB = bC ⇒ bA =  − 2 bB ⇒ sinA = sin( − 2B) ⇒ sinA = sin 2B ⇒ sinA = 2 sinB cosB ⇒ sinA = 2 sinB cosC ( bB = bC theo trên). Mà sinA = 2 sinB cosC là mệnh đề đã cho nên ta có điều phải chứng minh. b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phân tích đi xuống. Phân tích lời giải: Ở lời giải này, trong phần a, sinh viên sử dụng phép phân tích đi xuống, tuy nhiên trong trường hợp này mệnh đề đã cho “sinA = 2 sinB cosC” là mệnh đề đúng nên chưa thể kết luận gì về mệnh đề cần chứng minh. Phép phân tích đi xuống trong trường hợp này không phải là là phép chứng minh (sai lầm về luận chứng), do đó phần trình bày trên không phải là lời giải đúng của bài toán. Như vậy, ở lời giải này cả phần a và phần b đều sai. Lời giải 2: a) Để chứng minh tam giác ABC cân tại A, ta chứng minh bB = bC. Để chứng minh bB = bC, ta chứng minh bA =  − 2 bB. Để chứng minh bA =  − 2 bB, ta chứng minh sinA = sin(−2B). Để chứng minh sinA = sin(−2B), ta chứng minh sinA = sin 2B. Để chứng minh sinA = sin 2B, ta chứng minh sinA = 2 sinB cosB. Để chứng minh sinA = 2 sinB cosB, ta chứng minh sinA = 2 sinB cosC ( bB = bC theo trên). Mà sinA = 2 sinB cosC là mệnh đề đã biết nên ta có điều phải chứng minh. b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phân tích đi lên. Phân tích lời giải: Ở lời giải này, trong phần a, sinh viên sử dụng phép phân tích đi lên, tuy nhiên trong trường hợp này mệnh đề sinA = 2 sinB cosC kéo theo mệnh đề 11 Đào Thị Hoa sinA = 2 sinB cosB được giải thích là do “ bB = bC theo trên” là không có cơ sở, vì nếu đã có bB = bC thì hiển nhiên tam giác ABC là cân tại A (sai lầm về luận cứ). Như vậy, ở sai lầm 2 cả phần a và phần b đều sai. Lời giải 3: a) Để chứng minh tam giác ABC cân tại A, ta chứng minh bB = bC. Để chứng minhbB = bC, ta chứng minh sin(B − C) = 0. Để chứng minh sin(B − C) = 0, ta chứng minh sinB cosC − cosB sinC = 0. Để chứng minh sinB cosC − cosB sinC, ta chứng minh sinC cosB = cosC sinB. Để chứng minh sinC cosB = cosC sinB, ta chứng minh sinC cosB + sinB cosC = cosC sinB + sinB cosC. Để chứng minh sinC cosB + sinB cosC = cosC sinB + sinB cosC, ta chứng minh sin(B +C) = 2 sinB cosC. Để chứng minh sin(B+C) = 2 sinB cosC, ta chứng minh sin[−(B+C)] = 2 sinB cosC. Để chứng minh sin[ − (B + C)] = 2 sinB cosC, ta chứng minh sinA = 2 sinB cosC. Mà sinA = 2 sinB cosC là mệnh đề đã biết nên ta có điều phải chứng minh. b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phân tích đi xuống Phân tích lời giải: Ở lời giải, trong phần a, sinh viên sử dụng phép phân tích đi lên, và trong trường hợp này mệnh đề sinA = 2 sinB cosC là mệnh đề đúng nên kết luận được mệnh đề “tam giác ABC cân” là mệnh đề đúng. Lúc này phép phân tích đi lên là phép chứng minh phân tích đi lên. Nhưng ở phần b) lại trả lời là phép chứng minh phân tích đi xuống. Sai lầm ở đây là nhầm lẫn giữa phép phân tích đi lên và phân tích đi xuống. Như vậy, ở sai lầm 3, phần a đúng và phần b sai. Lời giải 4: a) sinA = 2 sinB cosC ⇐ sin[ − (B + C)] = 2 sinB cosC ⇐ sin(B + C) = 2 sinB cosC ⇐ sinB cosC + cosB sinC = 2 sinB cosC ⇐ cosB sinC = sinB cosC ⇐ sin(C −B) = 0⇐ bB = bC ⇐ Tam giác ABC cân. b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh tổng hợp. Phân tích lời giải: Ở lời giải này, trong phần a, có sử dụng mệnh đề xuất phát là mệnh đề đúng đã biết, nhưng lại sử dụng mũi tên “⇐”, đó không phải là sơ đồ của phép chứng minh tổng hợp (sai lầm về luận chứng). Như vậy, ở sai lầm 4 cả phần a và phần b đều sai. Lời giải 5: a) sinA = 2 sinB cosC ⇒ sin[ − (B + C)] = 2 sinB cosC ⇒ sin(B + C) = 2 sinB cosC ⇒ sinB cosC + cosB sinC = 2 sinB cosC ⇒ cosB sinC = sinB cosC ⇒ sin(C −B) = 0⇒ bB = bC ⇒ Tam giác ABC cân. b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phân tích đi xuống. Phân tích lời giải: Ở lời giải này, trong phần a, sinh viên sử dụng phép chứng minh tổng hợp, nhưng trong phần b) lại trả lời đó là phép chứng minh phân tích đi xuống do chỉ quan tâm đến kí hiệu “⇒” mà không quan tâm đến mệnh đề xuất phát là mệnh đề đã cho hay mệnh đề cần chứng minh. Như vậy, ở sai lầm 5, phần a đúng và phần b sai. 12 Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học Có thể thấy rằng, hai phép chứng minh phân tích và tổng hợp là hai phép chứng minh rất cơ bản mà sinh viên ngành Sư phạm Toán cần nắm vững. Tuy nhiên trong thực hành sinh viên vẫn mắc sai lầm như chưa hiểu rõ về phép chứng minh phân tích và phép chứng minh tổng hợp; chưa phân biệt được phép chứng minh phân tích với phép chứng minh tổng hợp; chưa nắm được khi nào thì phép phân tích trở thành phép chứng minh phân tích. Đặc biệt là khi sử dụng phép phân tích đi xuống: nếu mệnh đề đã cho, đã biết là đúng thì mệnh đề cần phải chứng minh chưa chắc đã đúng. Mặc dù vậy, sinh viên vẫn thừa nhận rằng nếu mệnh đề đã cho, đã biết là đúng thì mệnh đề cần phải chứng minh là đúng, cho nên dẫn đến những sai lầm. 2.2. Sai lầm khi sử dụng phép chứng minh phản chứng và phép chứng minh loại dần Khi chứng minh một mệnh đề toán học, ngoài các phép chứng minh trực tiếp, ta còn có thể sử dụng phép chứng minh gián tiếp. Những phép chứng minh gián tiếp thường được sử dụng là phép chứng minh phản chứng và phép chứng minh loại dần. Khi sử dụng hai phép chứng minh gián tiếp này, sinh viên thường mắc phải một số sai lầm. Các sai lầm này sẽ được phân tích thông qua các ví dụ cụ thể sau đây: Ví dụ: Cho bài toán: “Chứng minh rằng nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại”. a) Trình bày một lời giải của bài toán trên. b) Trình bày những hiểu biết của mình về phương pháp chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên. Ở bài toán này, mệnh đề đã cho: “(P )==(Q) và a cắt (P )”, mệnh đề phải chứng minh: “a cắt (Q)”. Khi giải bài này sinh viên có thể mắc phải một số sai lầm trong lời giải như sau: Lời giải 1: a) Giả sử (P )==(Q), a cắt (P ) nhưng a không cắt (Q). Vì a không cắt (Q) nên a==(Q) mà theo giả thiết (P )==(Q) nên a==(P ) (mâu thuẫn giả thiết a cắt (P )). Vậy điều giả sử là sai, suy ra a và (Q) cắt nhau. b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phản chứng. (Sau đó trình bày về phép chứng minh phản chứng) Phân tích lời giải: Với cách trình bày này, sinh viên mắc sai lầm ở phần a, đó là lập luận: “Vì a không cắt (Q) nên a==(Q)” và lập luận: “a==(Q) mà theo giả thiết (P )==(Q) nên a==(P )”. Ở lập luận thứ nhất thiếu trường hợp a ⊂ (Q); lập luận thứ hai thiếu trường hợp a ⊂ (P ). Lời giải 2: a) Giả sử (P )==(Q), a cắt (P ) nhưng a==(Q). Vì a==(Q)mà theo giả thiết (P )==(Q) nên a ⊂ (P ) hoặc a==(P ) (mâu thuẫn giả thiết a cắt (P )). Vậy điều giả sử là sai, suy ra a và (Q) cắt nhau. b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phản 13 Đào Thị Hoa chứng. (Sau đó trình bày về phép chứng minh phản chứng) Phân tích lời giải: Với cách trình bày này, sinh viên mắc sai lầm ở phần a, đó là xác định mệnh đề phủ định chưa đúng, bởi vì mệnh đề cần chứng minh là “a cắt (Q)” nên mệnh đề phủ định không phải là “a==(Q)”. Mệnh đề phủ định đúng phải là: “a ⊂ (Q) hoặc a==(Q)”. Như vậy là thiếu trường hợp a ⊂ (Q). Lời giải 3: a) Giả sử (P )==(Q), a cắt (P ) nhưng a ⊂ (Q). Vì a ⊂ (Q) mà theo giả thiết a cắt (P ) nên (P ) ∩ (Q) ̸= ∅ (mâu thuẫn giả thiết (P )==(Q)). Vậy điều giả sử là sai, suy ra a và (Q) cắt nhau. b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phản chứng. (Sau đó trình bày về phép chứng minh phản chứng) Phân tích lời giải: Với cách trình bày này, sinh viên mắc sai lầm tương tự như ở sai lầm 2, đó là xác định mệnh đề phủ định chưa đúng, bởi vì mệnh đề cần chứng minh là “a cắt (Q)” nên mệnh đề phủ định không phải là “a ⊂ (Q)”. Mệnh đề phủ định đúng phải là: “a ⊂ (Q) hoặc (a)==(Q)”. Như vậy là thiếu trường hợp a==(Q). Lời giải 4: a) Giả sử a cắt (P ) nhưng a==(Q). Vì a==(Q) mà theo giả thiết (P )==(Q) nên a==(P ) (mâu thuẫn giả thiết a cắt (P )). Vậy điều giả sử là sai, suy ra a và (Q) cắt nhau. b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phản chứng. (Sau đó trình bày về phép chứng minh phản chứng) Phân tích lời giải: Với cách trình bày này, sinh viên mắc sai lầm tương tự như ở sai lầm 2, ngoài ra khi lập luận: “a==(Q) mà theo giả thiết (P )==(Q) nên a==(P )” là chưa chính xác, bởi vì còn thiếu trường hợp a ⊂ (P ). Lời giải 5: a) Vị trí tương đối của a và (Q): a ⊂ (Q), a==(Q), a cắt (Q). (i): Nếu a ⊂ (Q) thì theo giả thiết a cắt (P ) nên (P ) ∩ (Q) ̸= ∅ (mâu thuẫn giả thiết (P )==(Q)). Nên a không thuộc (Q). (ii): Nếu a==(Q) thì theo giả thiết (P )==(Q) nên a ⊂ (P ) hoặc a==(P ) (mâu thuẫn giả thiết a cắt (P )). Nên a không song song với (Q). Vậy từ (i) và (ii) suy ra a và (Q) cắt nhau. b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phản chứng. (Sau đó trình bày về phép chứng minh phản chứng). Phân tích lời giải: Với cách trình bày này, sinh viên mắc sai lầm ở phần b, đó là xác định phép chứng minh chưa chính xác bởi phép chứng minh được sử dụng trong lời giải này là phép chứng minh loại dần. Như vậy là sinh viên chưa phân biệt được phép chứng minh phản chứng với phép chứng minh loại dần. Lời giải 6: a) Giả sử a cắt (P ) nhưng a không cắt (Q), thế thì a ⊂ (Q) hoặc a==(Q). (i): Nếu a ⊂ (Q) thì theo giả thiết a cắt (P ) nên (P ) ∩ (Q) ̸= ∅ (mâu thuẫn giả 14 Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học thiết (P )==(Q)). Nên a không thuộc (Q). (ii): Nếu a==(Q) thì theo giả thiết (P )==(Q) nên a ⊂ (P ) hoặc a==(P ) (mâu thuẫn giả thiết a cắt (P )). Nên a không song song với (Q). Vậy điều giả sử là sai, suy ra a và (Q) cắt nhau. b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh loại dần. (Sau đó trình bày về phép chứng minh loại dần). Phân tích lời giải: Với cách trình bày này, sinh viên mắc sai lầm ở phần b, đó là xác định phép chứng minh chưa chính xác bởi phép chứng minh được sử dụng trong lời giải này là phép chứng minh phản chứng. Như vậy là sinh viên chưa phân biệt được phép chứng minh loại dần với phép chứng minh phản chứng. Thông qua ví dụ trên, có thể thấy rằng khi sử dụng các phép chứng minh gián tiếp là chứng minh phản chứng và chứng minh loại dần, sinh viên thường mắc phải một số sai lầm như: Chưa hiểu rõ về các loại chứng minh này; chưa phân biệt được chứng minh phản chứng và chứng minh loại dần; xác định mệnh đề phủ không đúng; sử dụng luận cứ không đúng. 2.3. Biện pháp khắc phục sai lầm khi sử dụng một số phép chứng minh toán học Để hạn chế tối đa những sai lầm có thể mắc phải khi sinh viên sử dụng các phép chứng minh toán học, chúng tôi đề xuất một số biện pháp sư phạm như sau: 2.3.1. Nhấn mạnh vào dấu hiệu đặc trưng của mỗi phép chứng minh Mỗi phép chứng minh có dấu hiệu đặc trưng riêng. Việc nhấn mạnh vào dấu hiệu đặc trưng của mỗi phép chứng minh sẽ giúp sinh viên hiểu rõ hơn, đầy đủ hơn về các phép chứng minh đó. Đối với phép chứng minh phân tích, mệnh đề xuất phát phải là mệnh đề cần chứng minh chứ không phải là mệnh đề đúng đã biết. Đối với phép chứng minh tổng hợp, mệnh đề xuất phát phải là mệnh đề đúng đã biết chứ không phải là mệnh đề cần chứng minh. Cần nhấn mạnh khi nào thì phép phân tích trở thành phép chứng minh phân tích. Chú ý đến chiều mũi tên trong sơ đồ của mỗi phép chứng minh phân tích và tổng hợp. Đối với phép chứng minh phản chứng, ta bác bỏ mệnh đề phủ định của mệnh đề cần chứng minh, cần chú ý thiết lập đúng mệnh đề phủ định đó. Đối với phép chứng minh loại dần, ta khẳng định mệnh đề có k khả năng xảy ra và khẳng định xảy ra ở khả năng thứ i bằng việc loại bỏ k - 1 khả năng còn lại, cần chú ý xét hết các khả năng xảy ra của mệnh đề. 2.3.2. Minh họa mỗi chứng minh thông qua các ví dụ Sau khi sinh viên đã nắm được dấu hiệu đặc trưng của mỗi phép chứng minh, cần lấy ví dụ về mỗi loại chứng minh, phân tích các ví dụ để sinh viên hiểu rõ hơn về mỗi loại chứng minh. 15 Đào Thị Hoa Cũng có thể cho bài toán với một vài lời giải tương ứng, rồi yêu cầu sinh viên cho biết phép chứng minh đã sử dụng trong mỗi lời giải. Ví dụ: Cho bài toán: “Cho ba số thực a; b; c thỏa mãn 0 ≤ a; b; c ≤ 2. Chứng minh rằng ba bất đẳng thức: a(2− b) > 1; b(2− c) > 1; c(2− a) > 1 không cùng xảy ra”. Hãy chỉ ra các phép chứng minh đã sử dụng trong mỗi lời giải sau đây: Lời giải 1: Vai trò a; b; c như nhau trong đoạn [0; 2], đặt max {a; b; c} = a ⇒ c ≤ a⇒ c(2− a) ≤ c(2− c): Mặt khác vì 0 ≤ c ≤ 2 nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có c(2− c) ≤ 1: Do đó c(2− a) ≤ 1. Vậy ta có điều phải chứng minh. Lời giải 2: Để chứng minh rằng ba bất đẳng thức: a(2 − b) > 1; b(2 − c) > 1; c(2 − a) > 1 không cùng xảy ra, ta chỉ cần chứng minh xảy ra ít nhất một trong ba bất đẳng thức a(2− b) ≤ 1; b(2− c) ≤ 1; c(2− a) ≤ 1. Để chứng minh xảy ra ít nhất một trong ba bất đẳng thức a(2−b) ≤ 1; b(2−c) ≤ 1; c(2−a) ≤ 1, ta chứng minh xảy ra ít nhất một trong ba bất đẳng thức a(2−b) ≤ a(2−a) ≤ 1; b(2−c) ≤ b(2−b) ≤ 1; c(2−a) ≤ c(2−c) ≤ 1. Để chứng minh xảy ra ít nhất một trong ba bất đẳng thức a(2−b) ≤ a(2−a) ≤ 1; b(2−c) ≤ b(2−b) ≤ 1; c(2−a) ≤ c(2−c) ≤ 1, ta chứng minh xảy ra ít nhất một trong ba trường hợp a ≤ b và a(2 − a) ≤ 1 hoặc b ≤ c và b(2− b) ≤ 1 hoặc c ≤ a và c(2− c) ≤ 1. Để chứng minh xảy ra ít nhất một trong ba ba trường hợp a ≤ bva(2− a) ≤ 1 hoặc b ≤ c và b(2− b) ≤ 1 hoặc c ≤ a và c(2− c) ≤ 1, ta chứng minh tồn tạimax {a; b; c} hoặc bằng b, hoặc bằng c, hoặc bằng a và chứng minh 0 ≤ a; b; c ≤ 2. Đây là điều đúng đã biết nên ta có điều phải chứng minh. Lời giải 3: Giả sử ba bất đẳng thức: a(2 − b) > 1; b(2 − c) > 1; c(2 − a) > 1 cùng xảy ra ⇒ a(2− b)b(2− c)c(2− a) > 1 (*). Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số không âm a; 2 − b; b; 2 − c; c; 2 − a, ta có a(2 − b)b(2 − c)c(2 − a) ≤ 1, mâu thuẫn với (*). Vậy giả sử là sai, nên ta có điều phải chứng minh. 2.3.3. Yêu cầu sinh viên lấy các ví dụ về mỗi loại chứng minh Việc sinh viên lấy được các ví dụ về mỗi loại chứng minh, sẽ giúp giáo viên nắm được mức độ nhận biết kiến thức của sinh viên về các phép chứng minh để kịp thời điều chỉnh cho phù hợp. Đồng thời qua đó sinh viên được củng cố về các loại chứng minh. Có thể yêu cầu sinh viên tự tìm hiểu về các bài toán chứng minh ở phổ thông và sử dụng các phép chứng minh phù hợp. Cũng có thể đưa ra một bài toán cụ thể ở phổ thông và yêu cầu sinh viên sử dụng nhiều phép chứng minh để giải bài toán. Ví dụ: Sử dụng các phép chứng minh toán học giải bài toán sau bằng nhiều cách và chỉ rõ phép chứng minh đã sử dụng trong mỗi cách: “Cho hai số thực x; y thỏa mãn x+ y = 2. Chứng minh rằng x:y ≤ 1”. 16 Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học 2.3.4. Tạo ra các tình huống có sử dụng các phép chứng minh toán học để sinh viên trao đổi, thảo luận Để có thể khắc phục những sai lầm cho sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học, giáo viên có thể tạo ra các tình huống có sai lầm, hoặc không có sai lầm để sinh viên tự phân tích, tự xoay xở, tự tìm cách giải quyết. Trên cơ sở đó giáo viên nhận xét, đánh giá, góp ý. Từ đó sinh viên thấy được tính đúng, sai trong cách nghĩ, cách làm, tránh được những sai lầm, sinh viên sẽ có được những kĩ năng khi sử dụng các phép chứng minh này, cũng như hướng dẫn học sinh giải các bài toán chứng minh sau khi ra trường. Ví dụ 1: Cho bài toán: “Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Hai đường thẳng a; b cùng song song với mặt phẳng (Q). Chứng minh rằng (P ) song song với (Q)”. a) Trình bày lời giải của bài toán trên. b) Trình bày những hiểu biết của mình về phương pháp chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên. Trong những lời giải sau, lời giải nào đúng, lời giải nào sai, vì sao? Lời giải 1: a) Giả sử mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng a; b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) nhưng (P ) cắt (Q). Gọi c là giao tuyến của (P ) và (Q), do a==(Q) và a ⊂ (P ) nên c==a. Tương tự c==b. Suy ra a==b (mâu thuẫn với giả thiết). Vậy giả sử là sai, từ đó suy ra điều phải chứng minh. b) Phương pháp chứng minh đã sử dụng là chứng minh phản chứng. . . Lời giải 2: a) Mặt phẳng (P ) chỉ có thể song song với mặp phẳng (Q) hoặc mặt phẳng (P ) cắt mặt phẳng (Q). Nếu mặt phẳng (P ) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến c thì do a==(Q) và a ⊂ (P ) nên c==a. Tương tự c==b. Suy ra a==b (mâu thuẫn với giả thiết). Vậy mặt phẳng (P ) song song với mặp phẳng (Q). b) Phương pháp chứng minh đã sử dụng là chứng minh loại dần. . . Lời giải 3: a) Mặt phẳng (P ) chỉ có thể song song vớ