Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục

Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 88 Chương III BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 3.1 Mở Đầu Trong chương này, chúng ta sẽ dùng công cụ toán học biến đổi Fourier để chuyển việc biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc từ miền biến số độc lập n sang miền tần số liên tục ω. Chúng ta xem xét sự liên hệ biểu diễn ở hình 3.1. 3.2 Biến Đổi Fourier Của Tín Hiệu Rời Rạc 3.2.1 Định Nghĩa Biến Đổi Fourier a. Định Nghĩa Biến đổi Fourier của một tín hiệu rời rạc x(n) ∑∞ −∞= −= n njj enxeX ωω )()( (3.1) Công thức trên cho thấy, ta biến đổi tín hiệu x(n) trong miền biến số độc lập n sang tín hiệu X(ejω) trong miền tần số ω (tần số f = (ω/2π)). Ta ký hiệu sử dụng tóan tử sau : FT[x(n)] = X(ejω) )()( ωjFT eXnx → b. Phương Pháp Thể Hiện X(ejω) • Thể hiện dưới dạng phần thực và phần ảo. Bởi vì X(ejω) )(Im)](Re[)( ωωω jjj eXjeXeX += (3.2) Miền n Miền Z Miền ω Hình 3.1 ZT IZT FT IFT Quan hệ giữa ZT và FT Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 89 )](Re[ ωjeX : Phần thực của X(ejω) )](Im[ ωjeX : Phần ảo của X(ejω) • Thể hiện dưới dạng Modun và argument )](arg[)()( ωωω jexjjj eeXeX = (3.3) | | : là modun arg : gọi là argument. )( ωjeX : gọi là phổ biên độ của x(n). )(arg ωjeX : gọi là phổ pha của x(n). Quan hệ giữa phổ biên độ, phổ pha, phần thực và phần ảo của X(ejω). )]([Im)]([Re)( 22 ωωω jjj eXeXeX += (3.4) )](Re[ )](Im[)](arg[ ω ω ω j j j eX eXarctgeX = (3.5) )](arg[)( ωωϕ jeX≡ (3.6) Vậy ta có : )]()()( ωϕωω jjj eeXeX = (3.7) • thể hiện dưới dạng độ lớn và pha Giả sử ta thể hiện )( ωjeX ở dạng sau đây : )(jjj e)e(A)e(X ωϕωω = (3.8) )()( ωω jj eXeA = (3.9)   <π+ ±±=≥π= ω ω ω , 0)e(A,)1k2( ...2,1,0k;0)e(Ak2 )]e(Aarg[ j j j (3.10) 3.2.2. Sự Tồn Tại Của Biến Đổi Fourier Chuỗi trong phương trình (3.1) là hội tụ nếu và chỉ nếu x(n) thoã mãn điều kiện sau : ∑∞ −∞= ∞< n nx )( (3.11) Nếu điều kiện thoả mãn thì chuổi (3.1) sẽ hội tụ tuyệt đối về một hàm liên tục của ω. Nhận xét : Về mặt toán học, chúng ta có quan hệ sau đây luôn đúng. 2 2 )()(∑ ∑∞ −∞= ∞ −∞=   ≤= n n x nxnxE (3.12) nếu Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 90 ∑∞ −∞= ∞< n nx )( thì ∞<  ∑∞ −∞= 2 )( n nx và ta cũng có : ∑∞ −∞= ∞<= n x nxE 2)( (3.13) Nếu tín hiệu x(n) thoả mãn điều kiện (3.11) thì x(n) là tín hiệu năng lượng. Biến đổi Fourier của tín hiệu năng lượng hữu hạn là luôn luôn tồn tại. Ví dụ 3.1: Hãy xét sự tồn tại của biến đổi Fourier và tính năng lượng Ex của dãy x(n) sau : a. x1(n) = u(n) b. x2(n) = r(n) c. x3(n) = δ(n) d. x4(n) = rectN(n) Giải : a. ∑∑∑ ∞ = ∞ −∞= ∞ −∞= ∞=== 0 1 1)()( nnn nunx ∑∞ = ∞== 0 2 1 1 n xE Vậy X1(ejω) là không tồn tại. b. ∑∑∑ ∞ = ∞ −∞= ∞ −∞= ∞=== 0 2 )()( nnn nnrnx ∑ ∑∞ −∞= ∞ = ∞=== n n x nnrE 0 22 2 )( vậy X2(ejω) là không tồn tại. c. ∞<==∑∑ ∞ −∞= ∞ −∞= 1)()(3 nn nnx δ ∑∞ −∞= == n x nE 1)( 2 3 δ vậy X3(ejω) là tồn tại. d. ∑∑∑ − = ∞ −∞= ∞ −∞= ∞<=== 1 0 4 1)()( N nn N n Nnrectnx ∑∞ −∞= == n Nx NnrectE 2 4 )( Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 91 Vậy X4(ejω) là tồn tại. 3.2.3 Biến Đổi Fourier Ngược (IFT) Chúng ta biết rằng X(ejω) là một hàm tuần hoàn của biến tần số ω có chu kỳ là 2π và X(ejω) tồn tại nếu điều kiện (3.11) được thoả mãn. Vậy chúng ta có thể khai triển hàm X(ejω) thành chuổi Fourier trong khoảng (-π, π) vì thế, chúng ta có thể xem những hệ số sau khi khai triển là x(n), có nghĩa chúng ta có thể tìm thấy x(n) từ X(ejω). Từ công thức (3.11) ta có : ∑∞ −∞= −= n njj enxeX ωω )()( nhân hai vế phương trình với ejωl , lấy tích phân trong khoảng (-π, π) ta có : ωω ω π π ωω π π ω deenxdeeX lj n njljj ∫ ∑∫ − ∞ −∞= − −   = )()( ta biết rằng : ∫ − −   ≠ == π π ω πω nj,0 nl,2 de )nl(j nếu nếu (3.14) vậy : ∫∑ − −∞ −∞=   ≠ == π π ω πω nj0 nl)l(x2 de)n(x )nl(j n nếu , nếu , cuối cùng ta có : ∫ − = π π ωω ωπ deeXlx ljj )( 2 1)( (3.15) Vậy ta có cặp biến đổi Fourier sau đây : ∫ − = π π ωω ωπ deeXnx njj )( 2 1)( (3.16) nj n j enxeX ωω − ∞ −∞= ∑= )()( Ta có thể dùng toán tử sau đây để biểu diễn biến đổi Fourier ngược : IFT[X(ejω)]=x(n) (3.17) Hoặc : )()( nxeX IFTj →ω (3.18) và để biểu diễn cặp biến đổi Fourier ta có : FT[x(n)]= X(ejω) )()]([ nxeXIFT j =ω (3.19) Ví dụ 3.2 : Cho   ≤= − lại còn ω ωωωω 0 e )e(X c nj j 0 Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 92 với n0 : số nguyên Hãy tìm x(n), hãy vẽ X(ejω) và x(n) với ωc = π/2, n0 = 4 Giải : Từ biểu thức (3.15) ta có : )]([sin )( )](sin[ )( 1 2 1 2 1)( 2 1)( 0 0 0)( 0 )( 0 0 nnc nn nne nnj dedeeXnx c c c cc c cnnj nnjnjj −= − −=−−= == − − − − ∫∫ ωπ ω ω ω π ω ω ω π ωπωπ ω π π ω π π ωω với ωc = π/2, n0 = 4 ta có :   ≤= − lại còn ω ωωωω 0 e )e(X c nj j 0 -2π -π -π/2 0 π/2 π 2π |X(ejω)| ω Hình 3.2a -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 arg[X(ejω)]=ϕ(ω) ω 10π Hình 3.2b Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 93 )4( 2 )4( 2 sin 2 1)( − − = n n nx π π x(n) và X(ejω) được vẽ trên hình 3.2.3.1   ≤= lại cònω πωω 0 2/1 )e(X j 3.3 Các Tính Chất Của Biến Đổi Fourier 3.3.1. Tính Chất Tuyến Tính Giả sử có hai tín hiệu x1(n) và x2(n) và biến đổi Fourier của chúng là : FT[x1(n)]= X1(ejω) FT[x2(n)]= X2(ejω) Chúng ta coi x(n) được tạo bởi tổ hợp tuyến tính của hai dãy x1(n) và x2(n) như sau : x(n) = a1x1(n) + a2x2(n) (3.20) ở đây a và b là hai hằng số. nj 22 n 11 j e)]n(xa)n(xa[)e(X)]n(x[FT ω− ∞ −∞= ω +== ∑ 3.3.2 Tính Chất Trễ Giả sử y(n) là phiên bản trễ của x(n) là : y(n) = x(n – n0) (3.21) n0 : số nguyên. Ta có nj n nj n j ennxenynyFTeY ωωω − ∞ −∞= −∞ −∞= ∑∑ −=== )()()]([)( 0 Đổi biến số : l = n – n0, ta có : )()()( 00 ωωωωω jnjnjlj n j eXeeelxeY −−− ∞ −∞= == ∑ (3.22) )n(x Hình 3.2 1 n 1/2π -1/3π 1/π Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 94 Biểu thức (3.21) và (3.22) thể hiện tính chất trễ của biến đổi Fourier. Nếu ta biểu diễn )( ωjeY ở dạng modul và argument, ta có : )()( ωω jj eXeY = (3.23) )](arg[)](arg[ 0 ωω ω jj eXneY +−= Từ biểu thức (3.23), ta thấy rằng tín hiệu x(n) trễ đi n0 mẫu trong miền số độc lập n, thì trong miền tần số phổ biên độ của nó giữ nguyên không đổi, còn phổ pha của nó sẽ tăng thêm một lượng -ωn0. Ví dụ 3.3: Cho x(n) = rectN(n – n0) - Hãy tìm X(ejω) - Hãy tìm phổ biên độ và phổ pha của x(n). Giải : áp dụng tính chất trễ ta có : )]([)]([)()]([ 00 nrectFTennrectFTeXnxFT N nj N j ωω −=−== lần lượt tính ta có : 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin )( ) 2 1( 2 )1( 0 0 ω ω ω ω ωωωω N e N eeeX NnjNjnjj −+−−−− == Vậy phổ biên độ và phổ pha của x(n) như sau : 2 sin 2 sin )( ω ω ω N eX j = [ ]         +−+−= 2 sin 2 sin arg) 2 1()(arg 0 ω ω ωω N NneX j 3.3.3 Tính Chất Đối Xứng Trong trường hợp tổng quát, tín hiệu x(n) là tín hiệu phức, ta có thể viết : x(n) = Re[x(n)] + jIm[x(n)] (3.24) Vậy dãy liên hợp của x(n) là x*(n) có dạng x*(n) = Re[x(n)] - jIm[x(n)] (3.25) Bây giờ ta tìm quan hệ giữa FT[x*(n)] và FT[x(n)] : Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 95 ∑∞ −∞= −== n njj enxeXnxFT ωω )()()]([ ** *** )()()]([         == ∑∑ ∞ −∞= −∞ −∞= − n nj n nj enxenxnxFT ωω { } )()()( **** ωωω jj n nj eXeXenx −− ∞ −∞= ==   = ∑ Vậy )()]([ ** ωjeXnxFT −= (3.26) Nếu x(n) là thực thì : )()(* nxnx ≡ và )]([)]([ * nxFTnxFT = Vậy đối với tín hiệu x(n) thực, ta có quan hệ sau đây : )()(* ωω jj eXeX =− (3.27) hay )()(* ωω jj eXeX −= (3.28) Từ quan hệ (3.27) hay (3.28) ta có thể nói rằng phổ của tín hiệu thực có tính đối xứng Hermit (Hermitian Symmetry). Từ đây ta thấy rằng, đối với x(n) thực ta có : )](Re[)](Re[ ωω jj eXeX −= (3.29) )](Im[)](Im[ ωω jj eXeX −−= (3.30) Tức là )](Re[ ωjeX : là hàm chẵn của ω )](Im[ ωjeX : là hàm lẻ của ω Tương tự đối với modun và argument ta cũng có : )()( ωω jj eXeX −= (3.31) )](arg[)](arg[ ωω jj eXeX −−= (3.32) Vậy ta nói rằng )( ωjeX là đối xứng (hoặc đối xứng chẵn), còn )](arg[ ωjeX là phản đối xứng (hoặc đối xứng lẻ). Ví dụ 3.4: Cho )( 4 3)( nunx n   = Hãy tính )](arg[,)()],(Im[)],(Re[),( ωωωωω jjjjj eXeXeXeXeX . Giải : Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 96 ∑∑∑ ∞ = −∞ = −∞ −∞= −   =  === 00 4 3 4 3)()()]([ n n j n nj n n njj eeenxeXnxFT ωωωω n jj j j j ee e e   +− −− =    −   − − = − = −− 4 3cos 2 31 sin 4 3cos 4 31 4 31 4 31 4 31 4 31 1 ω ωω ωω ω ω Vậy ta có 2 4 3cos 2 31 cos 4 31 )](Re[   +− − = ω ω ωjeX 2 4 3cos 2 31 sin 4 3 )](Im[   +− = ω ω ωjeX áp dụng quan hệ (3.4) và (3.5) ta có : 2 4 3cos 2 31 1)(   +− = ω ωjeX ω ω ω cos 4 31 sin 4 3 arg)](arg[ − −=jeX 3.3.4 Tính Chất Biến Số n Đảo Giả sử có tín hiệu x(n) và biến đổi Fourier của nó là : [ ])(arg)()()]([ ωωω jeXjjj eeXeXnxFT == Bây giờ ta tính biến đổi Fourier của tín hiệu x(-n) : ∑∞ −∞= −−= n njenxnxFT ω)()]([ đổi biến số l = - n, ta có : ∑∞ −∞= −− ==− l ljj elxeXnxFT ωω )()()]([ vậy )()]([ ωjeXnxFT −=− Nếu x(-n) là thực thì từ tính đối xứng Hermit ta có : [ ] [ ])(arg)(arg )()()()]([ ωω ωωω jj eXjjeXjjj eeXeeXeXnxFT −−−− ===− − Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 97 Vậy với tín hiệu x(n) thực, ta có thể nói rằng : nếu tín hiệu bị đảo biến số n ngược lại quanh gốc toạ độ thì phổ biên độ của nó giữ nguyên không đổi, còn phổ pha của nó bị đổi dấu. 3.3.5 Tích Chập Của Hai Tín Hiệu Giả xử ta có hai tín hiệu x1(n) và x2(n) )()]([ 11 ωjeXnxFT = ; )()]([ 22 ωjeXnxFT = Ta có dãy x3(n) như sau : x3(n) = x1(n) *ø x2(n) bây giờ ta tìm biến đổi Fourier của x3(n) theo hàm của )(1 ωjeX và )(2 ωjeX )()](*)([)]([ 3223 ωjeXnxnxFTnxFT == nj nkn nj k eknxkxeknxkx ωω − ∞ −∞= ∞ −∞= ∞ −∞= −∞ −∞= ∑∑∑ ∑ −=   −= )()()()( 2121 áp dụng tính chất trễ (3.3.2.2) ta có : kj k jjkj k j ekxeXeXekxeX ωωωωω − ∞ −∞= −∞ −∞= ∑∑ == )()()(.)()( 12213 vậy : )().()( 213 ωωω jjj eXeXeX = 3.3.6 Tích Của Hai Dãy Nếu ta có : )()]([ 11 ωjeXnxFT = )()]([ 22 ωjeXnxFT = thì ( ) '2(11321 )(.21)())]([)]().([ '' ωπ ω π π ωωω deXeXeXnxFTnxnxFT jjj ∫ − −=≡≡ Chứng minh : ( ) njjj n nj n j edeeXnxenxnxeX ωω π π ωωω ωπ − − ∞ −∞= −∞ −∞=   == ∫∑∑ ..21)()().()( '21213 '' ( ) '2)(1 '')(21 ωπ π π ωωω deXenx jj n ∫ ∑ − −−∞ −∞= = Vậy ta có : ( ) ( ) '2)(13 '' )(21 ωπ π π ωωωω deXeXeX jjj ∫ − −−= (3.33) )(*)( 21 ωω jj eXeX= )e(X*)e(X j1 j 2 ωω= (3.34) Quan hệ (3.33) và (3.34) được gọi là tích chập liên tục và tuần hoàn với chu kỳ 2π. Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 98 3.3.7 Vi Phân Trong Miền Tần Số Nếu )()]([ ωjeXnxFT = Thì ω ω d edXjnnxFT j )()]([ = (3.35) Chứng minh : nj n j enxeX ωω − ∞ −∞= ∑= )()( nj n nj n nj n j ennxje d dnxenx d d d edX ωωωω ωωω −∞ −∞= −∞ −∞= −∞ −∞= ∑∑∑ −==  = )()()()( Vậy ta có : )]([)()( nnxFTennx d edXj nj n j == − ∞ −∞= ∑ ωωω 3.3.8 Trễ Tần Số Nếu ta có : )()]([ ωjeXnxFT = thì : )e(X)]n(xe[FT )(jnj 00 ω−ωω = (3.36) Chứng minh : Theo định nghĩa của biến đổi Fourier ta có : )()()()]([ )()( 0000 ωωωωωωω −−− ∞ −∞= −∞ −∞= === ∑∑ jnj n njnj n nj eXenxeenxnxeFT Nhận xét : Việc nhân dãy x(n) với nje 0ω trong miền biến số n sẽ tương đương với việc dịch chuyển tần số của phổ )( ωjeX đi một lượng ω0. Phổ )( ωjeX được minh hoạ trong hình 3.3 dịch đi một lượng 3 2π . -2π -π 0 π/3 2π/3 π 2π ω X(ejω) Hình 3.3a Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 99 3.3.9 Quan Hệ Parseval Nếu ta có )()]([ 11 ωjeXnxFT = )()]([ 22 ωjeXnxFT = thì ( ) ( ) ωπ π π ωω deXeXnxnx n jj n ∫ ∑∑ − ∞ −∞= ∞ −∞= = *21*21 2 1)()( (3.37) Quan hệ (3.37) gọi là quan hệ Parseval Chứng minh : ( ) ( ) ωπωπ π π ωω π π ωω deeXnxdeeXnxnxnx njj n njj nn ∫∑∫∑∑ − −∞ −∞=− ∞ −∞= ∞ −∞= == *2121*21 2 1)( 2 1)()()( ( ) ( ) ( ) ωπωπ π π ωω π π ωω deXeXdenxeX jj n njj ∫∫ ∑ −− ∞ −∞= − =  = 1*21*2 2 1)( 2 1 trong trường hợp x1(n) = x2(n) = x(n) quan hệ Parseval cho ta : ( ) ωπ π π ω deXnx j n ∫∑ − ∞ −∞= = 22 2 1)( (3.38) 2 )( ωjeX gọi là phổ mật độ năng lượng của x(n), nó thể hiện sự phân bố năng lượng theo hàm của tần số. Ta ký hiệu nó là SXX(ejω) 2 )()( ωω jjXX eXeS = (3.39) Ta biết rằng năng lượng của tín hiệu x(n) là Ex : ∑∞ −∞= = n x nxE 2)( -2π -π 0 π/3 2π/3 π 2π ω X(ejω) Hình 3.3b Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 100 Như vậy quan hệ Parseval chính là quan hệ giữa năng lượng tìn hiệu và phổ mật độ năng lượng của tín hiệu đó. Trong trường hợp x(n) là thực thì )( ωjeX là đối xứng : )()( ωω jj eXeX −= Vậy ta có thể nói rằng, nếu x(n) là thực thì SXX(ω) cũng là đối xứng : )()( ωω jXX j XX eSeS −= (3.40) 3.3.10 Định Lý Tương Quan Và Định Lý Wiener Khintchine Nếu ta có : )()]([ 11 ωjeXnxFT = )()]([ 22 ωjeXnxFT = thì [ ] ( ) ( )ωωω jjjxxxx eXeXeRnrFT −== 21)()( 2121 (3.41) Chứng minh : [ ] nj n m nj n xxxx enmxmxenrnrFT ωω −∞ −∞= ∞ −∞= −∞ −∞= −== ∑ ∑∑ )]()([)()( 212121 nj m n enmxmx ω− ∞ −∞= ∞ −∞= ∑ ∑ −= )()( 21 đổi biến m – n = l mj m jlmj m n eeXmxelxmx ωωω − ∞ −∞= −−−∞ −∞= ∞ −∞= ∑∑ ∑ == )()()()( 21)(21 )()()()( 2112 ωωωω jjjj eXeXeXeX −− == Nhận xét : Nếu x2(n) là thực ta có : ( ) ( ) ( ) ( )ωωωωω jjjjjxx eXeXeXeXeR −− == *2121)(21 (3.42) Nếu x1(n) = x2(n) = x(n) ta có hàm tự tương quan ( ) ( )ωωω jjjxx eXeXeR −=)( Nếu hàm tự tương quan của x(n) thực, ta có : ( ) ( ) ( ) )()( 2* ωωωωω jxxjjjjxx eSeXeXeXeR === − Vậy biến đổi Fourier của hàm tự tương quan sẽ bằng phổ mật độ năng lượng của tín hiệu. Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 101 ( ) 2)()( ωωω jjxxjxx eXeSeR == (3.43) Quan hệ (3.43) ở trên gọi là định lý Weiner-Khintchine. Đối với biến đổi Fourier của hàm tương quan chéo, ta còn gọi là )e(R jxx 21 ω là phổ mật độ năng lượng chéo của x1(n) và x2(n) và ký hiệu là )(21 ωj xx eS . ( ) ( )ωωωω jjjxxjxx eXeXeSeR −=≡ 21)()( 2121 (3.44) 3.3.11 Tổng Kết Các Tính Chất Của Biến Đổi Fourier Đối Với Tín Hiệu Rời Rạc Bảng 3.1. Tính chất Miền biến số n Miền tần số liên tục ω Ký hiệu Cặp biến đổi Fourier Tuyến tính Trễ Đối xứng Liên hợp phức Biến số đảo Tích chập Tích (đại số) x(n) x1(n) x2(n) ∫ − = π π ωω ωπ deeXnx njj )( 2 1)( )()( 21 nbxnax + x(n – n0) x(n) thực X*(n) x(-n) x1(n) * x2(n) x1(n) . x2(n) )( ωjeX )(1 ωjeX )(2 ωjeX ∑∞ −∞= −= n njj enxeX ωω )()( aX1(ejω) + bX2(ejω) )(0 ωω jnj eXe− )()(* ωω jj eXeX −= )](Re[)](Re[ ωω jj eXeX −= )](Im[)](Im[ * ωω jj eXeX −−= )()( ωω jj eXeX −= )](arg[)](arg[ ωω jj eXeX −−= )(* ωjeX − )( ωjeX − )().( 21 ωω jj eXeX ∫ − − π π ωωω ωπ ' 2 )( 1 )()(2 1 1' deXeX jj Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 102 Vi phân trong miềm ω Trễ tần số Điều chế Quan hệ Parseval Tương quan Định lý Weiner – Kintchine nx(n) )(0 nxe njω x(n) cosω0n ∑∞ −∞=n nxnx )()( *21 ∑∞ −∞=n nx 2)( ∑∞ −∞= −= m xx nmxmxnr )()()( 221 )( 21 nr xx ω ω d edXj j )( − )( )( 0ωω−jeX )( 2 1)( 2 1 )()( 00 ωωωω ++ + jj eXeX ∫ − π π ωω ωπ deXeX jj )()( 2 1 * 21 ∫ − π π ω ωπ deX j 2)( 2 1 )().( 21 ωω jj eXeX − 2 )()()( ωωω jjxx j xx eXeSeR == 3.4 So Sánh Biến Đổi Fourier Với Biến Đổi Z Quan Hệ Giữa Biến Đổi Fourier Với Biến Đổi Z Biến đổi Z của dãy x(n) được định nghĩa như sau : [ ] ∑∞ −∞= −== n nz)n(x)z(X)n(ZT (3.45) Miền hội tụ là ROC: 21 rZr << , r1 : bán kính vòng trong, r2 : bán kính vòng ngoài Chúng ta có thể biểu diễn biến đổi Z dưới dạng toạ độ cực sau đây: ωjrez = (3.46) ở đây rZ = và ω=]arg[Z Tiếp tục chúng ta có : [ ] ∑∑ ∞ −∞= −−∞ −∞= − ==== n njn n njj ernxrenxreXzXnxZT ωωω )())(()()()( (3.47) Từ biểu thức (3.47) ta có thể biến đổi Z X(z) như là biến đổi Fourier của dãy tín hiệu