Bộ đề ôn tập Giải tích 2

Giải tích 2 – Đề số 1 Câu 1: Tìm khai triển Taylor của 2 ( , ) x y f x y x y    tại điểm (2,1) đến cấp 3. X=x-2, Y=y-1 f(X,Y)= = 1+ = 1 + [1-(X/3 +Y/3)+ (X/3 +Y/3)2 -(X/3 +Y/3)3 + o(ρ3)] = + X - Y - X2 + Y2 + XY + X3 - Y3 - XY2 + o(ρ3) = + (x-2) - (y-1) - (x-2)2 + (y-1)2 + (x-2)(y-1) + (x-2)3 - (y-1)3 - (x-2)(y-1)2 + o(ρ3) Câu 2:tìm cực trị của hàm 2 2 12 3z x y xy x y     Điểm dừng: x=7, y=-2 A= z’’xx=2, B=z’’xy=1, C=z’’yy=2 Δ=AC-B2=3>0, A=2>0 =>z(x,y) đạt cực tiểu tại (7,-2) Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số   1n n n v u với un= n n        2 1 2 và vn= 2 2 1 n n        = = = 2/e2   1n n n v u hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 1 2 1 ( 1) 4 (3 1) n n n n x n      ρ= = =1/4 => -4 -2<x<2 x= 2 : = hội tụ theo tc Leibnitz Miền hội tụ: [-2;2] Câu 5: Tính tích phân kép 2 2 1 D I dxdy x y    , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 22 6 ,x x y x y x    x=rcosφ, y=rsinφ 2 2 1 D I dxdy x y    = = = 4-2 Câu 6: Tính tích phân    2 2cosx C I e xy dx y y x dy    với C là chu vi tam giác ABC, A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ. Các đk công thức Green thỏa Chiều C ngược chiều quy ước    2 2cosx C I e xy dx y y x dy    = = =-7/2 Câu 7: Tính ( )    C I ydx z x dy xdz , với C là giao của 2 2 1 x y và 1z y  , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. Công thức Stokes I = = = = = = Câu 8: Tính tích phân mặt loại một  2 2  S I x y dS , trong đó S là phần mặt nón 2 2 2z x y  , nằm giữa hai mặt phẳng 0, 1z z  . D=prxOyS là hình chiếu của phần mặt nón xuống xOy, D={x 2+y2=1}  2 2  S I x y dS = = /2 Giải tích 2 – Đề số 2 Câu 1. Cho hàm 2 ( , ) xyf x y xe . Tính 2 (2,1)d f . f'’x= +xy 2 f’’xx= 2y 2 + xy4 => f’’xx(2,1)= 4e 2 f’’xy= 4xy + 2x 2y3 => f’’xy(2,1)=16e 2 f’y=2x 2y f’’yy= 2x 2 +4x3y2 => f’’yy(2,1)=40e 2  d2f(2,1)=4e2dx2 + 32e2dxdy + 40e2dy2 Câu 2. Tìm gtln, gtnn của 2 22 2 1( , ) ( ) x yf x y y x e    trên miền 2 2{( , ) | 4}D x y x y    x=0,y=0 v x=1,y=0 v x=-1,y=0 Xét: L(x,y,λ)= +λ(x2+y2-4)  x=0,y= , λ=-5e5 v x= ,y=0, λ=-3e-3 f(0,0)=0 f(1,0)=-1 f(-1,0)=1 f(0,2)= f(0,-2)=4e5 f(2,0)= f(-2,0)=-4e-3 Maxf=4e5 x2+y2 4 Minf=-1 x2+y2 4 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/ )2( 2 2 1            nn n n n b/ 1 1 3. )2...(6.4.2 )12...(5.3.1      n n n n a) = = =1/e3 <1  )2( 2 2 1            nn n n n hội tụ theo tc Cauchy b) = = 6>1  1 1 3. )2...(6.4.2 )12...(5.3.1      n n n n phân kỳ theo tc D’alembert Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3 1 ( 1) ( 3) 2 ln n n n x n n       ρ= = = 1 => -1 2<x<4 x=2: phân kỳ theo tc so sánh x=4: hội tụ theo tc Leibnitz Miền hội tụ (2,4] Câu 5. Tính tích phân kép 2 2x y D I e dxdy   , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 21 4, 0, 3x y y y x     2 2x y D I e dxdy   = = (e -4-e-1) Câu 6. Tính tích phân     C I x y dx x y dy    , với C là phần đường cong siny x x  , từ (0,0)A đến ( , )B   . = => tích phân ko phụ thuộc đường đi     C I x y dx x y dy    = = Câu 7. Tìm diện tích phần mặt cầu 2 2 2z R x y   nằm trong hình trụ 2 2x y Rx  . Gọi S là phần mặt cầu 2 2 2z R x y   nằm trong hình trụ 2 2x y Rx  D=prxOyS, D={x 2+y2 Rx} S= dxdy = rdr =2R( Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai 3 3 3   S I x dydz y dxdz z dxdy , với S là biên vật thể giới hạn bởi 2 2 2 2 24,    x y z z x y , phía trong. Các đk công thức Gauss thỏa 3 3 3   S I x dydz y dxdz z dxdy = - =-3 = ( Giải tích 2 – Đề số 3 Câu 1. Cho hàm ( , ) (2 )ln x f x y x y y   . Tính 2 (1,1)d f f’x= 2ln + (2x+y)/x f’’xx= 2/x –y/x2 => f’’xx(1,1)=1 f’’xy= -2/y +1/x => f’’xy(1,1)=-1 f’y= ln - (2x+y)/y = ln -2x/y -1 f’’yy= -1/y +2x/y2 => f’’yy(1,1)=1  d2f(1,1)=dx2-2dxdy+dy2 Câu 2. Tìm cực trị của hàm số z = xy + x 3 + y 9 với x > 0, y > 0 Điểm dừng:  x=1, y=3 A=z’’xx=6/x 3 B=z’’xy= 1 C=z’’yy=18/y 3 Δ=AC-B2= -1 x=1, y=3 => Δ=3>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại x=1, y=3 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 1 4 7 (3 2) (2 1)!!n n n         Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 1 !( 4)n n n n x n     ρ= = = n =1/e => -e -e+4<x<e+4 x= -e+4: = phân kỳ x= e+4: phân kỳ theo so sánh Miền hội tụ (-e+4,e+4) Câu 5. Tính tích phân kép ( 2) D I x dxdy  , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 1, 0 9 4 x y y   x=3rcosφ, y=2rsinφ ( 2) D I x dxdy  = = 6 Câu 6. Tính tích phân    2 3 2 C I x y dx x y dy    , trong đó C là biên của miền phẳng giới hạn bởi 22 ,y x y x    , chiều kim đồng hồ. S là biên của miền phẳng giới hạn bởi 22 ,y x y x    Các đk CT Green thỏa, C ngược chiều quy ước    2 3 2 C I x y dx x y dy    = = -2 = -9 Câu 7. Tìm diện tích phần mặt 2 2z x y  nằm trong hình cầu 2 2 2 2x y z z   . S là phần mặt 2 2z x y  nằm trong hình cầu 2 2 2 2x y z z   . D=prxOyS, D={x 2+y2 1} S= dxdy = rdr = Câu 8. Tính 2  S I xdS , với S là phần mặt trụ 2 2 4 x y nằm giữa hai mặt phẳng 1, 4z z  . S1={x= }, S2={ x= } D1=pryOzS1=D2=pryOzS2 2  S I xdS = + = 2 dydz + 2 dydz =0 Giải tích 2 – Đề số 4 Câu 1. Cho hàm 2 2( , ) 4 sin ( )f x y y x y   . Tính 2 (0,0)d f f’x= 2sin(x-y)cos(x-y)=sin2(x-y) f’’xx= 2cos2(x-y)=> f’’xx(0,0)=2 f’’xy= -2cos(x-y)=> f’’xy(0,0)=-2 f’y= 8y-2sin(x-y)cos(x-y)=8y-sin2(x-y) f’’yy= 8+2cos2(x-y) => f’’yy(0,0)=10  d2f(0,0)=2dx2-4dxdy+10dy2 Câu 2. Tìm cực trị của hàm 3 212 8 .z x y x y   Điểm dừng:  x=2, y=-4 A=z’’xx=6xy+24 B=z’’xy= C=z’’yy=0 Δ=AC-B2= -9 =-144<0  z(x,y) ko có cực trị Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 2 5 8 (3 1) 1 5 9 (4 3)n n n            = =3/4 <1  1 2 5 8 (3 1) 1 5 9 (4 3)n n n            hội tụ theo tc D’alembert Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3 1 ( 1) ( 1) 2 ( 1)ln( 1) n n n n x n n        = =1/8 => -8 -9<x<7 x=-9: phân kỳ theo tc tích phân x=7: hội tụ theo tc Leibnitz  Miền hội tụ (-9,7] Câu 5. Tính tích phân )2222 ln(. yxyx D  dxdy với D là miền 1  x 2+y2  e2 x=rcosφ, y=rsinφ )2222 ln(. yxyx D  dxdy = )rdr = (2/9e 3+1/9) Câu 6. Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-yey. Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(y) vừa tìm, tính tích phân    L dyyxQyhdxyxPyh ),()(),()( trong đó L là đường cong có phương trình: 4x2+9y2=36, chiều ngược kim đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2). h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó  = => h(y) =y+c h(1)=1 => c=0  h(y)= y    L dyyxQyhdxyxPyh ),()(),()( = = = -2e2+2 Câu 7. Tìm diện tích phần mặt 2 2 2z x y   nằm trong hình paraboloid 2 2z x y  . S là phần mặt 2 2 2z x y   nằm trong hình paraboloid 2 2z x y  . D=prxOyS, D={x 2+y2 1} S= dxdy= dxdy= rdr= -1) Câu 8. Tính 2 2 2   S I x dydz y dxdz z dxdy , với S là nửa dưới mặt cầu 2 2 2 2  x y z z , phía trên. 2 2 2   S I x dydz y dxdz z dxdy= dydz+ dydz+ dydz dydz= + = - + =0 Tương tự dydz=0 dydz = 2 rdr = I= = Giải tích 2 – Đề số 5 Câu 1. Tính 2 f x y    , với 3( ) sin ; 2        x f f u u u u xy e Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: 2 2 2 2( , ) 2 12 ; 4 25f x y x xy y x y     L(x,y,λ)= 2x2+12xy+y2 +λ(x2+4y2-25)  x=3,y= , λ=2 v x=-3,y= , λ=2 v x=4,y= , λ=-17/4 v x=-4,y= , λ=-17/4 d2L= (4+2λ)dx2 + (2+8λ)dy2 + 24dxdy x2 = -4y2+25 => 2xdx=-8ydy x=3,y= , λ=2 v x=-3,y= , λ=2 =>d2L>0  f(x,y) đạt cực tiểu tại (3,-2), (-3,2) x=4,y= , λ=-17/4 v x=-4,y= , λ=-17/4 => d2L<0  f(x,y) đạt cực đại tại (4,3/2), (-4,-3/2) Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 3 3 1 2 2 1 n n n n n          = = 8 >1  3 3 1 2 2 1 n n n n n          phân kỳ theo tc Cauchy Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi: )1ln()1( )5(2)1( 11 1      nn x nnn n = = 2 => -1/2 9/2<x<11/2 x=9/2: phân kỳ theo tc tích phân x=11/2: hội tụ theo tc Leibnitz Miền hội tụ (9/2,11/2] Câu 5. Tính tích phân  dxdyyxarctg D   22 với D là hình tròn: x2+y2  3 I=  dxdyyxarctg D   22 = = 2 = 2 Câu 6. Chứng tỏ tích phân  (1 ) (1 )x y C I e x y dx x y dy      không phụ thuộc đường đi. Tính tích phân I với C là phần ellipse 2 2 1 9 4 x y   từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ. =  (1 ) (1 )x y C I e x y dx x y dy      = + = -3e 3 + 2e-2 Câu 7. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi 22 , 1, 0, 3y x y z z x     , lấy phần 0.z V= = 2 = 2 =2 = 3/2 Câu 8. Tính   22 3    S I xdydz y z dxdz z dxdy , với S là phần mặt phẳng 4  x y z nằm trong hình trụ 2 2 2x y y  , phía trên.   22 3    S I xdydz y z dxdz z dxdy = = = x=rcosφ, y-1=rsinφ I= = = = = Giải tích 2 – Đề số 6 Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y) = 32 3 yxe . Tính dz(1,1) và )1,1( 2 yx z   dz = 6xy3 dx + 9x2y2 dy => dz(1,1) = 6edx+9edy 6xy3 = 18xy2 + 6xy33x2y2 = 18xy2 + 18x3y5 => )1,1( 2 yx z   = 36e Câu 2. Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1 Điểm dừng:  x=0, y=1 v x=-1,y=0 A= z’’xx=6x+6 B=z’’xy=-3 C=z’’yy=6y Δ=AC-B2=36(x+1)y-9 x=0, y=1 => Δ=27>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại (0,1) x=-1,y=0 => Δ=-9 ko có cực trị Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 2 1 1 4 9 (4 3)!!n n n        Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa n n n nn x n )1( 1.4 3.)1( 0 32 1         ρ= = =3/4 => -4/3 -1/3<x<7/3 x= -1/3: phân kỳ x= 7/3: hội tụ theo tc Leibnitz Miền hội tụ (-1/3,7/3] Câu 5. Tính tích phân kép 2 24 D I x y dxdy   , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 1,x y y x   2 24 D I x y dxdy   = = Câu 6. Tính tích phân 2 2( ) ( ) C I x y x y dx y x xy dy      , với C là nửa bên phải của đường tròn 2 2 4 ,x y y  chiều kim đồng hồ. 2 2( ) ( ) C I x y x y dx y x xy dy      = - = - 8= 12 Câu 7. Tính tích phân đường loại một I= , với C là nửa trên đường tròn 2 2 2 x y y . x=rcost, y=rsint => r= 2sint I= = = 4 Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính ( ) (2 )     C I x y dx x z dy ydz , với C là giao của 2 2 2 4  x y z và 0x y z   , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. S là mặt giao của C là giao của 2 2 2 4  x y z và 0x y z   ( ) (2 )     C I x y dx x z dy ydz = (S có n=( ) = = = - S = - = -4 Giải tích 2 – Đề số 7 Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2). Tính dz( )1,2 và 2 2 x z   ( )1,2 dz= => dz( )1,2 = => 2 2 x z   ( )1,2 = -6 Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: 2 2( , ) 1 4 8 ; 8 8f x y x y x y     . L(x,y,λ)= 1-4x-8y+λ(  x=-4,y=1, λ=-1/2 v x=4,y=-1, λ=1/2 d2L= dx2 - dy2 x2 = 8y2+8 => 2xdx=16ydy x=-4,y=1, λ=-1/2 => d2L>0 => f(x,y) đạt cực tiểu tại (-4,1) x=4,y=-1, λ=1/2 => d2L f(x,y) đạt cực đại tại (4,-1) Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 2 !n n n n n    Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa          0 62 1.5 12 n n n n xn ρ= => -5 -6<x<4 x=-6: x=4: Miền hội tụ [-6,4] Câu 5. Tính tích phân  0 223 yx dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x2+y2= 1(x, y  0), x2+y2=33 (x, y 0 ), y=x, y = x 3 .  0 223 yx dxdy = Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= 2yexy + e x cosy, Q(x,y)= 2xexy- e x siny trong đó  là hằng số. Tìm  để biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với  vừa tìm được, tính tích phân đường dyxyxQdxyyx ]),([]),[( 33   trong đó ( ) là đường tròn x2+y2 = 2x lấy theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ). Câu 7. Tính tích phân mặt loại một 2  S I x dS , với S là nửa trên mặt 2 2 2 4  x y z 2  S I x dS = Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính 2 2 2(3 ) (3 ) (3 )      C I x y dx y z dy z x dz , với C là giao của 2 2 z x y và 2 2z y  , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. S là mặt giao của của 2 2 z x y và 2 2z y  , n= (0, 2 2 2(3 ) (3 ) (3 )      C I x y dx y z dy z x dz = = = Giải tích 2 – Đề số 8 Câu 1. Tìm ' ',x yz z của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình 3 2 lnx y yz z   F(x,y)= x3+y3+yz-lnz z'x = z’y= Câu 2. Tìm gtln, gtnn của 2 2 2( , ) 4f x y x y x y    trên miền {( , ) | | | 1,| | 1}D x y x y    x=0,y=0 x= : f(y) =y2+y+5 f’(y)=2y+1=0 =>y=-1/2 y=-1: f(x)= 5 với mọi x y=1: f(x)=2x2+5>0 f(0,0)= 4 f(-1,-1)=f(1,-1)=5 f( f(1,1)=f(-1,1)=7 Maxf= 7 Minf= 4 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/ )1( 2 12 2           nn n n n b/ 2 1 2 5. !)12...(5.3.1 ...9.4.1      n n nn n a) b) => 2 1 2 5. !)12...(5.3.1 ...9.4.1      n n nn n phân kỳ theo tc D’alembert Câu 4. Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa 1 4 23 1 ( 1) ( 2) 3 1 n n n n x n n         ρ= =>-3 -1<x<5 x=-1 hội tụ x=5 hội tụ theo tc Leibnitz Miền hội tụ [-1,5] Câu 5. Tính tích phân kép   D yx 229 dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa đường tròn x2 + y2 = 9, y 0 và các đường thẳng y = x, y = -x   D yx 229 = Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e-y, ( , ) (1 ) yQ x y x y e   . Tìm hàm h(x) để biểu thức h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(x) vừa tìm, tính tích phân    L dyyxQxhdxyxPxh ),()(),()( trong đó L là nữa đường tròn x2 + y2 = 9 nằm bên phải trục tung, chiều đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3).  h(x)= ex    L dyyxQxhdxyxPxh ),()(),()( = 3e-3 + 3e3 Câu 7. Tính 2  V I zdxdydz , với V giới hạn bởi 2 2 2 2  x y z z và 2 2 1  z x y . D= prxOyV , D={x 2 + y2 =1/2} 2  V I zdxdydz = Câu 8. Tính tích phân mặt    ( 2 ) 2 2      S I x y dydz y z dxdz z x dxdy , với S là phần mặt paraboloid 2 2 z x y , bị cắt bởi 2 2z x  , phía dưới. D =prxOyS={ (x+1) 2+y2 =3}, x+1=rcosφ,y=rsinφ    ( 2 ) 2 2      S I x y dydz y z dxdz z x dxdy = = = = Giải tích 2 – Đề số 9 Câu 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của 2 2 1 , if ( , ) (0,0)( , ) 3, if ( , ) (0,0) x ye x yf x y x y          Miền xác định: {R\ xy=0} f(x,y)= , (x,y) khác (0,0)  lnf(x,y) = , (x,y) khác (0,0)  , (x,y) khác (0,0)   0<f(x,y)<1 Miền giá trị: {(0,1) với (x,y) khác (0,0)} {-3 với (x,y)=(0,0)} Câu 2. Tìm cực trị của hàm f(x, y)= x2- 2xy+ 2y2- 2x+ 2y +4 Điểm dừng:  x=1, y=0 A= f’’xx=2 B=f’’xy=-2 C=f’’yy=4 Δ=AC-B2=4>0, A=2>0  f(x,y) đạt cực tiểu tại (1,0) Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của      1n nn vu với )14( 14 14           nn n n n u , !).13...(10.7.4 ).2...(6.4.2 nn nn v n n   => hội tụ theo tc Cauchy => phân kỳ theo tc D’alembert       1n nn vu phân kỳ Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa       0 4 32 1.4 )3( n n n n x ρ= => -4 -7<x<1 x=-7: hội tụ theo tc Leibnitz x=1: phân kỳ  Miền hội tụ [-7,1) Câu 5. Tính J=  D dxdy với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn x2+y2 = 2x, x2+y2 = 6x và các đường thẳng y = x, y = 0. J=  D dxdy= Câu 6. Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi I=  dxyxydyyxxyxh AB )()()( 222222  với AB là cung không cắt đường x 2 = y2.  h(x2-y2)= c h(1)=1 => c=1  h(x2-y2)= 1 Câu 7. Tính ( ) V I x yz dxdydz  , với V giới hạn bởi 2 2z x y  và 2 2 2z x y   . ( ) V I x yz dxdydz  = = Câu 8. Tính tích phân mặt    2 3 2 4     S I xdydz y z dxdz z y dxdy , với S là phần mặt 2 2 2 2  x y z x , phần 0z , phía dưới. Thêm mặt z=0 Công thức Gauss    2 3 2 4     S I xdydz y z dxdz z y dxdy = = Giải tích 2 – Đề số 10 Câu 1. Tính // (0,0)xyf 2 2 , if ( , ) (0,0) ( , ) 0, if ( , ) (0,0)       xy x y f x y x y x y (x,y) khác (0,0): f’x(x,y) = f ‘x(0,0) = =0 f ‘’xy(0,0) = Câu 2. Tìm cực trị của hàm 4 4 2 2 2 , 0.z x y x y xy x      Điểm dừng:  x=1, y=1 v x=-1,y=-1 A= f’’xx=12x 2 -2 B=f’’xy=-2 C=f’’yy=12y 2 -2 Δ=AC-B2= (12x2 -2)( 12y2 -2)-4  => Δ= 96>0, A= 10>0  f(x,y) đạt cực tiểu tại (1,1), (-1,-1) Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 2 1 1 2 1 n n n n          => 2 1 1 2 1 n n n n          hội tụ theo tc Cauchy Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 1 ( 4) 2 n n x n n      ρ= => -1 3<x<5 x=3: hội tụ theo tc Leibnitz x=5: hội tụ  Miền hội tụ [3,5] Câu 5. Tính tích phân kép ( | |) D I x y dxdy  , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 4, 0x y x   ( | |) D I x y dxdy  = = Câu 6. Tính tích phân (2,3) 22 2 2 2 (1,1) 1x y y I dx dy x xx y x y                     , theo đường cong C không qua gốc O và không cắt trục tung. => tp ko phụ thuộc đường đi (2,3) 22 2 2 2 (1,1) 1x y y I dx dy x xx y x y                     = Câu 7. 2 2 2 1 V I dxdydz x y z     , với V được giới hạn bởi 2 2 2 4  x y z và 2 2 z x y 2 2 2 1 V I dxdydz x y z     = Câu 8. Tính tích phân mặt       S I x z dydz y x dxdz z y dxdy      , với S là phần mặt paraboloid 2 2z x y  nằm dưới mặt 2x z  , phía trên. D=prxOyS={(x+1/2) 2+y2=9/4} Thêm mặt 2x z  Công thức Gauss       S I x z dydz y x dxdz z y dxdy      = - = =