Bộ đề thi tuyển sinh cao học - Môn toán

Câu 2. Giả sử X là nhóm Xyclic cấp m và Ylà nhóm Xyclic cấp n. Chứng minh rằng: a) Nhóm con của nhóm X là nhóm Xyclic. b) X chỉ có một số hữu hạn nhóm con. c)X =Y khi và chỉ khi m=n. d)X x Y là nhóm Xyclic cấp m x n khi và chỉ khi (m,n)=1. Câu 3. Giả sư X là một vành giao hoán có đơn vị. Một IđêanA # X của X được gọi là Iđêan tối đại nếu cvà chỉ nếu các Iđêan của X chứa A chính là X và bản thân A. Một Iđêan P của X được gọi là nguyên tố nếu và chỉ nếu với u,v thuộc X thì tích u.v thuộc P kéo theo u thuộc P hoặc v thuộc P . Giả sử I là Iđêan của X. Chứng minh rằng: a)X/I là một miền nguyên khi và chỉ khi I là Iđêan tối đại. b) X/I là một trường khi và chỉ khi I là Iđêan tối đại. c) Nếu I là Iđêan tối đại thì I là Iđêan tối đại.